ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ….. ΣΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT

Ο ΦΕΡΜΑ

ΕΝΑ ΟΔΟΙΠΟΡΙΚΟ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΚΑΝ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ

1η ΟΜΑΔΑ ΒΕΝΤΟΥΡΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΚΑΛΟΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΟΝΟΚΡΟΥΣΟΣ ΜΙΧΑΗΛ ΤΖΙΜΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΚΟΥΤΣΟΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΝΤΑΣΙΩΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ 2η ΟΜΑΔΑ ΧΑΡΑΚΙΔΑ ΜΑΡΙΑ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΕΙΡΗΝΗ ΖΑΡΑ ΔΗΜΗΤΡΑ ΚΟΥΤΣΟΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΝΤΑΣΙΩΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ

ΖΑΧΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΠΡΙΟΒΟΛΟΥ ΟΛΓΑ ΡΩΜΑΝΤΖΟΓΛΟΥ ΕΛΕΝΗ 3η ΟΜΑΔΑ ΖΑΧΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΠΡΙΟΒΟΛΟΥ ΟΛΓΑ ΡΩΜΑΝΤΖΟΓΛΟΥ ΕΛΕΝΗ ΠΑΠΑΔΑΚΗ ΑΡΓΥΡΩ

4η ΟΜΑΔΑ ΚΡΙΘΙΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ ΜΠΙΝΙΩΡΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΥ ΧΡΥΣΟΥΛΑ

Pierre de Fermat Γεννήθηκε στις 20 Αυγούστου 1601 στην πόλη Μπομόντ της νοτιοδυτικής Γαλλίας και εργάστηκε ως διακεκριμένος νομικός στη δημόσια διοίκηση.

Ο Fermat ως μαθηματικός υπήρξε ερασιτέχνης. Δεν ενδιαφερόταν να γράψει ένα βιβλίο για τις υπόλοιπες γενιές. Απλώς αναζητούσε την προσωπική του ικανοποίηση λύνοντας ένα πρόβλημα. Σημείωνε πρόχειρα σε χαρτιά ότι του ήταν απαραίτητο για την λύση

Θεωρείται ο θεμελιωτής του διαφορικού λογισμού. ενός προβλήματος, χωρίς να καταγράφει μετά την υπόλοιπη απόδειξη και αρκετές φορές πετούσε στα σκουπίδια αυτές τις σημειώσεις, συνεχίζοντας με το επόμενο πρόβλημα. Θεωρείται ο θεμελιωτής του διαφορικού λογισμού.

Γύρω στα 1630 ,ο Fermat μελέτησε τα Αριθμητικά του Διόφαντου του Αλεξανδρέως (3o αιώνα μ.χ) και έγραψε πολυάριθμα σχόλια στο περιθώριο του αντιτύπου των Αριθμητικών που διέθετε.

Μία από τις σημειώσεις του Fermat μεταφρασμένη από τα Λατινικά, λέει: « Είναι αδύνατον να αναλύσουμε ένα κύβο σε δύο τέλειους κύβους ή μια τέταρτη δύναμη σε δύο τέλειες τέταρτες δυνάμεις ή γενικότερα, κάθε δύναμη μεγαλύτερη της δευτέρας σε δύο δυνάμεις ίδιου βαθμού ».

Και συμπληρώνει «Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη, αλλά το περιθώριο είναι πολύ στενό για να την χωρέσει».

Έτσι η απόδειξη του Φερμά δεν βρέθηκε ποτέ… Έκτοτε άρχισε ένας σκληρός αγώνας για να αποδειχτεί αυτός ο ισχυρισμός του.

Από το Πυθαγόρειο στον …Γρίφο Όλοι ξέρουμε από το Γυμνάσιο ότι: Το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας δηλαδή:

c b α

Το ερώτημα που θέτει ο Fermat είναι: Αν αντί για το 2 θέσουμε άλλον φυσικό αριθμό μεγαλύτερο του, θα ισχύει η σχέση; Δηλαδή η εξίσωση: έχει λύση για n μεγαλύτερο του 2;

Ο Fermat είχε διατυπώσει και άλλες εικασίες προηγουμένως, που όμως με τα χρόνια αποδείχτηκαν. Το τελευταίο όμως θεώρημα αρνιόταν πεισματικά να παραδοθεί. Λέγεται τελευταίο γιατί όλα τα άλλα είχαν αποδειχτεί και αυτό επί 350 χρόνια άντεξε στις επιθέσεις μεγάλων Μαθηματικών,

μέχρι που το 1994 αποδείχτηκε από τον Άγγλο Μαθηματικό

Andrew Wiles Άντριου Γουάιλς

Θα δούμε αυτή την συγκλονιστική μάχη που πραγματικά μοιάζει σαν ένα μυθιστόρημα, που το τέλος του το ζήσαμε στις μέρες μας!

Πρώτος στη μάχη ρίχνεται ο Λέοναρντ Όιλερ

1735 ΛΕΟΝΑΡΝΤ ΟΪΛΕΡ Ένας από τους μεγαλύτερους Μαθηματικούς. Έλυσε οποιοδήποτε πρόβλημα με το οποίο καταπιάστηκε. Όταν συνάντησε το θεώρημα του Φερμά, το θεώρησε πολύ απλό. Όμως στη συνέχεια κατάλαβε τη δυσκολία του.

Ο Όϊλερ διέθετε εκπληκτική διαίσθηση και τεράστια μνήμη. Έκανε την πρώτη σημαντική ανακάλυψη προς την κατεύθυνση της απόδειξης του τελευταίου θεωρήματος του Fermat.

Εκατό χρόνια μετά την διατύπωση του προβλήματος κατόρθωσε να κάνει ένα βήμα προόδου. Μετά από μεγάλη προσπάθεια,

απέδειξε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για εκθέτη n=3 Η Εξίσωση Δεν έχει λύση

Αργότερα, απέδειξε επίσης ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις και για ν=4, με εντελώς διαφορετικό τρόπο από αυτόν που χρησιμοποίησε για ν=3. Έτσι απογοητεύτηκε ότι θα μπορούσε να βρει μία γενική αποδεικτική μέθοδο.

Δηλαδή το πρώτο βήμα για την απόδειξη γίνεται (100) εκατό χρόνια μετά την διατύπωση του προβλήματος του Φερμά. Όμως τι γίνεται με τους υπόλοιπους αριθμούς μέχρι το άπειρο;

1805 Sophie Germain Από τη σημαντική ανακάλυψη του Όϊλερ και μετά δεν είχε σημειωθεί καμιά σχετική πρόοδος μέχρι που μια νεαρή Γαλλίδα αναζωπύρωσε το κυνήγι της χαμένης απόδειξης, 70 χρόνια μετά.

Την εποχή εκείνη δεν επιτρεπόταν στις γυναίκες να σπουδάζουν Μαθηματικά. Γι αυτό στην αλληλογραφία της με τον Μεγάλο Μαθηματικό Γκάους χρησιμοποίησε ψεύτικο όνομα, εμφανιζόμενη ως άντρας, ως κύριος Λε Μπλάνκ.

Άμεσος στόχος της δεν ήταν να αποδείξει μια συγκεκριμένη περίπτωση, αλλά να αποδείξει κάτι για πολλές περιπτώσεις μαζί.

Έτσι ανέπτυξε μία νέα μέθοδο προσέγγισης του προβλήματος, που αργότερα θα χρησιμοποιούσαν άλλοι Μαθηματικοί.

Μετά τις σημαντικές ανακαλύψεις της Ζερμαίν, η Γαλλική Ακαδημία προκήρυξε μία σειρά από βραβεία και ένα χρηματικό έπαθλο 3.000 γαλλικών φράγκων, για όποιον έδινε τέλος στο μυστήριο του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά.

1825 Με βάση τη θεωρία της Ζερμαίν ο Γάλλος Λετζεντρέ και ο Γερμανός Ντιρικλέ αποδεικνύουν το θεώρημα για ν=5 και για ν=14.

1847 Ο Gabriel Lame χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Germain, αποδεικνύει την περίπτωση για τον πρώτο αριθμό n=7.

Η Εξίσωση Δεν έχει λύση για ν=7

Ο Lame όμως δεν σταματάει εδώ Ο Lame όμως δεν σταματάει εδώ. Συνεχίζει την προσπάθεια για την απόδειξη του Θεωρήματος. Την ίδια εποχή εργάζεται για τον ίδιο σκοπό και ένας άλλος μεγάλος Μαθηματικός, ο Cauchy.Κάποια στιγμή υποστηρίζουν και οι δύο ξεχωριστά,

ότι απέδειξαν το Θεώρημα και υπέβαλαν σε σφραγισμένους φακέλους τις εργασίες τους στην Ακαδημία.

Όμως τον Μάιο του 1847, ο Γερμανός Μαθηματικός Κούμερ απέδειξε τελικά ότι οι αποδείξεις τους ήταν λανθασμένες.

Ο Κούμερ επίσης με μία ευφυέστατη μαθηματική λογική υποστηρίζει, ότι η απόδειξη του Θεωρήματος βρίσκεται πέρα από τις υπάρχουσες γνώσεις. Αυτό απογοητεύει όλους τους επίδοξους λύτες του γρίφου…

Έχουν περάσει δύο αιώνες και το Θεώρημα ακόμη αντιστέκεται…

Βόλκσφελ Δεν υπήρξε μεγάλος μαθηματικός. Όμως ,από μια παράξενη αλληλουχία γεγονότων, σχετίστηκε για πάντα με το θεώρημα του Φερμά και ενέπνευσε χιλιάδες άλλους να ασχοληθούν με την πρόκληση.

Ο Βόλκσφελ ερωτεύθηκε μία μυστηριώδη γυναίκα, η οποία τον απέρριψε και εκείνος βρέθηκε σε κατάσταση τέτοιας απελπισίας, που αποφάσισε να αυτοκτονήσει.

Ο Βόλκσφελ άνθρωπος με πάθος αλλά όχι απερίσκεπτος σχεδίασε το θάνατό του μέχρι την τελευταία λεπτομέρεια. Αφού καθόρισε την ημερομηνία της αυτοκτονίας του, σκόπευε να αυτοπυροβοληθεί στο κεφάλι ακριβώς τα μεσάνυχτα .

Περιμένοντας να φτάσει η ώρα δώδεκα, πήγε στην βιβλιοθήκη και άρχισε να ξεφυλλίζει κάποιες δημοσιεύσεις στα μαθηματικά .

Λίγο μετά, βρέθηκε να φυλλομετρά την κλασική εργασία του Κούμερ, που εξηγούσε την αποτυχία των Κοσί και Λαμέ.

Όμως παρατήρησε ότι υπήρχε κενό στη λογική αλληλουχία Όμως παρατήρησε ότι υπήρχε κενό στη λογική αλληλουχία. Είδε ότι ο Κούμερ είχε αποτύχει να δικαιολογήσει ένα από τα βήματα της επιχειρηματολογίας του .

Ο Βόλκσφελ άρχισε λοιπόν να διερευνά το ανεπαρκές τμήμα της απόδειξης και απορροφήθηκε τόσο, ώστε ξέχασε να αυτοκτονήσει…

Τελικά κατέληξε ότι ο Κούμερ δεν είχε κάνει λάθος και έτσι, το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά του έσωσε τη ζωή.

Ο Βόλκσφελ πέθανε αργότερα,το 1908 και όταν διαβάστηκε η διαθήκη του κληροδότησε 100.000 μάρκα (που ισοδυναμούν με 1.000.000 δολάρια σε σημερινά χρήματα) για το πρώτο άτομο που θα αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά .

Το βραβείο θα ίσχυε μέχρι τις 13 Σεπτεμβρίου του 2007, δηλαδή για 100 χρόνια. Τότε, συστήθηκε επιτροπή, η οποία θα εξέταζε όλες τις προτεινόμενες λύσεις.

Μόνο τον πρώτο χρόνο φτάνουν στην επιτροπή 629 αποδείξεις και βέβαια όλες λανθασμένες…

Μέχρι το τέλος της ιστορίας της επιτροπής Βόλκσφελ, δηλαδή μέχρι το 1994, μόνο οι κατάλογοι των ονομάτων των ανθρώπων που είχαν υποβάλει λανθασμένες αποδείξεις, γέμιζαν τρία μέτρα ραφιού μιας βιβλιοθήκης.

Μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, η λύση δεν έχει ακόμη βρεθεί… Τότε εμφανίζονται και οι πρώτοι υπολογιστές και οι Μαθηματικοί τους χρησιμοποιούν για να αποδείξουν το Θεώρημα.

μετά μέχρι το ν=1.000 και κατόπιν μέχρι το ν=10.000. Κατορθώνουν να το αποδείξουν μέχρι και για ν=500, μετά μέχρι το ν=1.000 και κατόπιν μέχρι το ν=10.000. Τη δεκαετία του 1980 ο Ουόγκσταφ από το Πανεπιστήμιο του Ιλλινόις έφτασε μέχρι το ν=4.000.000

αριθμούς ισχύει η άποψη του Φερμά ότι : . Το 1990 ο Μπούλερ το αποδεικνύει μέχρι και ν=40.000.000. Για όλους αυτούς τους αριθμούς ισχύει η άποψη του Φερμά ότι :

Η Εξίσωση Δεν έχει λύση για n>2

Όμως αυτό δεν σημαίνει ότι το θεώρημα αποδείχτηκε Όμως αυτό δεν σημαίνει ότι το θεώρημα αποδείχτηκε. Διότι σε αντιδιαστολή με τις άλλες Φυσικές Επιστήμες στα Μαθηματικά όταν λέμε απόδειξη, εννοούμε το απόλυτο.

Δηλαδή, κάτι που θα αποδειχτεί, δεν πρόκειται στο μέλλον να αλλάξει Δηλαδή, κάτι που θα αποδειχτεί, δεν πρόκειται στο μέλλον να αλλάξει. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχει αποδειχτεί και ισχύει για οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο μέσα στο Σύμπαν και θα ισχύει για πάντα.

Όμως το άπειρο δεν κατακτάται από τους υπολογιστές! Άρα , αν κάτι αποδειχτεί ακόμη και για ένα τρισεκατομμύριο, στα Μαθηματικά δεν γίνεται δεκτό αν δεν αποδειχτεί μέχρι το άπειρο… Όμως το άπειρο δεν κατακτάται από τους υπολογιστές! Πρέπει να βρεθεί γενική αποδεικτική μέθοδος.

Ένα ωραίο παράδειγμα που δικαιολογεί τον παραπάνω ισχυρισμό, είναι το εξής: Εδώ σας θυμίζουμε ότι ένας αριθμός λέγεται πρώτος όταν διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και από τη μονάδα.

Οι αριθμοί : 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331, 33.333.331 είναι πρώτοι.

Όμως ο επόμενος αριθμός Πολλοί πίστεψαν ότι όλοι οι αριθμοί που ακολουθούν με αυτή τη μορφή είναι πρώτοι! Όμως ο επόμενος αριθμός

δεν είναι πρώτος γιατί γράφεται ως γινόμενο δύο αριθμών: 333.333.331 δεν είναι πρώτος γιατί γράφεται ως γινόμενο δύο αριθμών: 17χ19.607.843 = 333.333.331

Για 200 χρόνια όλοι πίστευαν ότι Όιλερ είχε δίκιο. Ένα άλλο καλό παράδειγμα αποτελεί η εικασία του Όιλερ ότι η εξίσωση: Δεν έχει λύσεις. Για 200 χρόνια όλοι πίστευαν ότι Όιλερ είχε δίκιο.

Όμως το 1988 ο Έλκινς του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ βρήκε την ακόλουθη λύση:

Έτσι λοιπόν αφού στο πρόβλημα του Φερμά δεν είχε βρεθεί γενική αποδεικτική μέθοδος, κάποιοι είχαν αρχίσει να υποπτεύονται ότι το πρόβλημα θα μπορούσε να είναι έως και αδύνατο.

Ίσως ο Fermat είχε εξαπατηθεί και ο λόγος για τον οποίο κανείς δεν είχε ανακαλύψει εκ νέου την απόδειξη, ήταν ότι δεν υπήρχε.

1954-Ιαπωνια Δύο νεαροί Γιαπωνέζοι Μαθηματικοί οι Τανιγιάμα και Σιμούρα κάνουν μια παράξενη εικασία που γίνεται γνωστή ως εικασία Τανιγιάμα - Σιμούρα.

Τι λέει αυτή η εικασία; Για κάθε ελλειπτική αντιστοιχεί μία και μόνο μία μορφή Μοdular και αντιστρόφως. Ελλειπτικές Καμπύλες Μορφές Μοdular

Η Εικασία αυτή θεωρήθηκε εντελώς κουφή… Πώς είναι δυνατόν οι Ελλειπτικές καμπύλες και οι Μοdular να έχουν σχέση αφού εκφράζουν δύο εντελώς διαφορετικούς χώρους;

Δείτε πώς περίπου είναι οι ελλειπτικές και πώς οι Modular (ή Μορφικές)

1985 Ο Γκέρχαρντ Φράϊ ένας Γερμανός Μαθηματικός διατυπώνει μία άλλη εικασία: Αν υπάρχει λύση στο Θεώρημα του Φερμά, τότε αυτή θα εκφράζεται με μία ελλειπτική καμπύλη που θα είναι τόσο παράξενη, ώστε δεν μπορεί να είναι Μοdular.

1986 Ο Κέν Ρίμπετ ένας άλλος Μαθηματικός αποδεικνύει την εικασία του Φράϊ. Οπότε για να αποδειχθεί το θεώρημα του Φερμά αρκεί να αποδειχτεί η εικασία Τανιγιάμα -Σιμούρα

Για πρώτη φορά βρίσκεται τόσο κοντά η λύση….

Άντριου Γουάιλς Ο Μαθηματικός που απέδειξε το Θεώρημα του Φερμά.

Σε ηλικία 10 ετών

Έκτοτε έβαλε στόχο του να το αποδείξει. Γεννήθηκε το 1953 και σε ηλικία 10 ετών διάβασε το βιβλίο του Eric Bell «Το Τελευταίο Πρόβλημα», που εξιστορούσε την ιστορία του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Έκτοτε έβαλε στόχο του να το αποδείξει.

1975-1978 Ο Γουάιλς είναι μεταπτυχιακός φοιτητής στο Καίμπριτζ υπό την επίβλεψη του Τζον Κόουτς και αναλαμβάνει σαν θέμα: την μελέτη των Ελλειπτικών Καμπύλων.

1978 Από τη σκέψη του δεν έχει φύγει ποτέ το θεώρημα του Φερμά. Μεταβαίνει στο Πρίνστον, ως καθηγητής πλέον. Τη στιγμή εκείνη ήταν ίσως ο μοναδικός άνθρωπος στον κόσμο, που γνώριζε τόσο πολλά για τις ελλειπτικές καμπύλες. Από τη σκέψη του δεν έχει φύγει ποτέ το θεώρημα του Φερμά.

1986 Ο Γουάιλς βρίσκεται στο σπίτι ενός φίλου του, όπου εντελώς τυχαία μαθαίνει για την απόδειξη του Ρίμπετ… Νιώθει για πρώτη φορά ότι το παιδικό του όνειρο μπορεί να πραγματοποιηθεί. Αρκεί να αποδείξει την εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα.

Ο Ερημίτης της Σοφίτας Θα δουλέψει κρυφά για να αποδείξει την εικασία Ο Γουάιλς επιστρέφει στο σπίτι του και παίρνει τη μεγάλη απόφαση! Θα δουλέψει κρυφά για να αποδείξει την εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα

που σημαίνει ότι έτσι θα επιτύχει και την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά.

Θυμίζουμε ότι: Αν ο Φερμά έκανε λάθος και υπάρχει λύση τότε η εξίσωση γίνεται μία ελλειπτική. Αυτή η ελλειπτική είναι πολύ παράξενη και δεν μπορεί να είναι modular. Όμως κάθε ελλειπτική πρέπει να είναι modular.

Άρα το θεώρημα δεν έχει λύση, δηλαδή η άποψη του Φερμά θα είναι σωστή.

Ο Γουάϊλς Για δύο ολόκληρα χρόνια μελέτησε όλες τις εργασίες που είχαν γίνει μέχρι τότε ! Ο μόνος άνθρωπος που γνώριζε την έρευνά του ήταν η γυναίκα του η Νάντα, η οποία και του συμπαραστέκεται.

Πρέπει να αποδείξει ότι κάθε ελλειπτική είναι modular και αντιστρόφως

. . .

και αυτό πρέπει να γίνει για κάθε ν μέχρι το άπειρο και αυτό πρέπει να γίνει για κάθε ν μέχρι το άπειρο. Για τέτοιες περιπτώσεις οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν μια μέθοδο που λέγεται

Μαθηματική επαγωγή Δηλαδή: Πρώτα δείχνουμε ότι ισχύει για ν=1 και μετά υποθέτουμε ότι ισχύει για ν=κ και δείχνουμε ότι ισχύει για ν=κ+1. Τότε ισχύει για όλα τα ν μέχρι το άπειρο.

Για να το πετύχει αυτό παίρνει τη θεωρία ενός Γιαπωνέζου Μαθηματικού, του Ιγουασάουα και μετά από ένα χρόνο κατορθώνει να τα στήσει σαν ντόμινο, ώστε αν κατορθώσει και ρίξει το πρώτο, τότε όλα θα αρχίσουν να πέφτουν μέχρι το άπειρο.

1991-1992 Έχει δουλέψει ήδη τέσσερα χρόνια, έχει φτάσει ήδη την απόδειξή του στο 90%, αλλά παρακάτω δεν μπορεί να προχωρήσει…

Πηγαίνει ένα ταξίδι και εκεί συναντάει εντελώς τυχαία έναν Ρώσο Μαθηματικό, τον Κολιβάγκιν, ο οποίος του λέει ότι μαζί με έναν φοιτητή του, τον Γερμανό Ματθίας Φλάχ, έχουν αναπτύξει μία καινούργια μέθοδο που προχωράει σε άλλους δρόμους τη θεωρία του Ιγουασάουα.

Επιστρέφει στο σπίτι του και αρχίζει να δουλεύει την μέθοδο Κολιβάγκιν – Φλάχ για έναν ολόκληρο χρόνο, μέχρι που φτάνει στην απόδειξη!

23 Ιουλίου 1993 Τον καλούν σε ένα συνέδριο στο Καίμπριτζ που είναι η ιδιαίτερη πατρίδα του. Τίτλος της διάλεξής του: «Ελλειπτικές, καμπύλες modular και αναπαραστάσεις Γκαλουά» Κανείς δεν ξέρει ότι έχει αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ούτε καν το υποψιάζεται…

Την Τρίτη ημέρα του συνεδρίου τελειώνει την απόδειξη και η αίθουσα ξεσηκώνεται από τα χειροκροτήματα. Για πρώτη φορά γίνεται πρώτη είδηση στα ΜΜΕ θέμα από τα Μαθηματικά. Γίνεται πρωτοσέλιδο στις μεγαλύτερες εφημερίδες και περιοδικά.

Από το όνειρο στον εφιάλτη Συστήνεται ειδική επιτροπή από τους έξι καλύτερους Μαθηματικούς του κόσμου, οι οποίοι θα ελέγξουν την απόδειξη του Γουάϊλς εξονυχιστικά! Μεταξύ αυτών ο Νίκ Κάτζ και ο Πήτερ Σάρνακ από το Χάρβαρντ.

Δημιουργούνται τρεις επιτροπές από δύο άτομα κάθε μία και χωρίζουν το 200 σελίδων έργο του Γουάϊλς σε τρία μέρη. Δεκάδες μικρολάθη εντοπίζονται καθημερινά, στέλνουν με email τις παρατηρήσεις τους στον Γουάϊλς και εκείνος τα διορθώνει…

Σεπτέμβριος 1993 Εμφανίζεται όμως ένα λάθος που η επιτροπή περιμένει από τον Γουάϊλς να το διορθώσει, αλλά αυτός αργεί… Περνάει μία ημέρα, δύο ημέρες, τρεις… τους λέει, «Δώστε μου μία εβδομάδα ακόμη… θα το διορθώσω, κάτι μου έχει ξεφύγει….»

Κάπου η μέθοδος Κολιβάγκιν – Φλάχ καταρέει και δεν λειτουργεί…. Όμως το λάθος παραμένει και παραμένει και παραμένει….. Κάπου η μέθοδος Κολιβάγκιν – Φλάχ καταρέει και δεν λειτουργεί…. Είναι ένα λάθος, ας πούμε, σαν να διαίρεσε με το μηδέν…..

Αυτό όμως το λάθος είναι αρκετό για να θεωρηθεί η απόδειξη του Γουάϊλς λανθασμένη…

Κλείνεται ατέλειωτες ώρες στη σοφίτα του και προσπαθεί να βρεί τη λύση στο πρόβλημα που προέκυψε…

Κανείς δεν γνωρίζει τίποτα, παρά μόνο η επιτροπή, η οποία το κρατάει μυστικό από την Μαθηματική κοινότητα, και η γυναίκα του η Νάντα, η οποία του συμπαραστέκεται λέγοντάς του:

« Τον άλλο μήνα (Οκτώβριο) που έχω τα γενέθλιά μου, θέλω να μου κάνεις δώρο την απόδειξη του Θεωρήματος! Συνέχισε, πιστεύω ότι θα το αποδείξεις»

Πέρασε όμως ο Οκτώβριος, ο Νοέμβριος, αλλά το λάθος δεν μπορούσε να διορθωθεί… Ατελείωτες ώρες πάνω από τα χαρτιά του, προσπαθεί να βρεί γιατί δεν λειτουργεί η μέθοδος Κολιβάγκιν-Φλάχ, αλλά τίποτα..

4 Δεκεμβρίου 1993 Το email της ήττας

« Στη διάρκεια των τελευταίων μηνών παρατηρήθηκαν πολλά κενά στην εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα, τα περισσότερα από τα οποία απαντήθηκαν. Ένα όμως δεν κατόρθωσα να το απαντήσω…» Άντριου Γουάϊλς

Ο Γουάϊλς δεν απογοητεύεται και συνεχίζει να ψάχνει την απόδειξη, παρά τους χλευασμούς εκ μέρους μερικών συναδέλφων του…οι οποίοι χάρηκαν για την αποτυχία του!

Αυτή τη φορά ζητάει βοήθεια από έναν παλιό του φοιτητή τον Ρίτσαρντ Τέϊλορ, (σήμερα μεγάλος Μαθηματικός στο Χάρβαρντ) και αποφασίζουν μαζί να επιτεθούν στο κομμάτι του προβλήματος που παραμένει άλυτο!

Αγωνίζονται για μήνες μαζί αλλά δυστυχώς δεν βρίσκεται η λύση…Το πρόβλημα αντιστέκεται και η μέθοδος Κολιβάγκιν-Φλάχ φαίνεται πως δεν λειτουργεί…

Ένα πρωταπριλιάτικο αστείο Την Άνοιξη του 1994 κυκλοφόρησε η φήμη μέσω email, ότι ο Νόαμ Έλκινς ανακάλυψε, πως το Θεώρημα του Φερμά δεν ισχύει! Ήταν ένα τραγικό χτύπημα για τον Γουάϊλς! Γι αυτό ίσως δεν μπορούσε να διορθώσει την απόδειξή του!

Αργότερα κάποιος παρατήρησε ότι το αρχικό email είχε ημερομηνία 1η Απριλίου. Ήταν ένα πρωταπριλιάτικο αστείο του Καναδού Μαθηματικού Χένρι Ντάρμον!

19 Σεπτεμβρίου 1994 Όχι, για να βρεί τη λύση… Τελευταία ημέρα! Αποφασίζει να πάει στο γραφείο του για να δεί γιατί δεν λειτουργεί η μέθοδός του… Όχι, για να βρεί τη λύση… Αλλά να καταλάβει γιατί δεν λειτουργεί… Ώρα 10.30

Ξαφνικά βλέπει ότι αυτό που δεν μπορεί να το λειτουργήσει η μέθοδος Κολιβάγκιν – Φλάχ, μπορεί να το προχωρήσει η μέθοδος Ιγουασάουα που είχε εγκαταλήψει πριν τρία (3) χρόνια.

Ακούστε τον ίδιο να το διηγείται συγκινημένος…

6 Οκτωβρίου 1994 «Το δώρο μου για τα γενέθλιά σου» Έχει ετοιμάσει πλήρως την απόδειξή του και κατεβαίνοντας το πρωΐ από το γραφείο του, δίνει στη Νάντα το φάκελο με την απόδειξη, λέγοντάς της: «Το δώρο μου για τα γενέθλιά σου»

Καιρός του θερισμού Η απόδειξη δημοσιεύεται στα πιο έγκυρα μαθηματικά περιοδικά και αναγνωρίζεται διεθνώς… Την αφιερώνει στη γυναίκα του και στα τρία παιδιά του, που τόσο του συμπαραστάθηκαν στην προσπάθειά του.

Η περίπτωση του Γουάϊλς αποτελεί ένα αντιπαράδειγμα στο μύθο, ότι δήθεν τα μεγάλα μαθηματικά μυαλά είναι τύποι μοναχικοί και απομονωμένοι, χωρίς οικογένεια και κοινωνική φυσιολογική ζωή.

Τα βραβεία που του απενεμήθησαν Βραβείο Βόλκσφελ (ι.οοο.οοο δολλάρια) Βραβείο Cole για την Άλγεβρα Βραβείο Βόλφ Βραβείο Πιέρ Ντε Φερμά Βραβείο Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών Η.Π.Α.

Βραβείο Βασιλικής Ομοσπονδίας Ηνωμένου Βασιλείου Το ειδικό μετάλλιο Φίλντς και άλλα πολλά

Επίλογος 1ο Ερώτημα 1. Ποια είναι η χρησιμότητα του Θεωρήματος; Έχουμε δύο ερωτήματα να απαντήσουμε: 1ο Ερώτημα 1. Ποια είναι η χρησιμότητα του Θεωρήματος;

Η Εικασία Τανιγιάμα – Σιμούρα πλέον ονομάζεται Θεώρημα Γουάϊλς. Είναι αυτή που συσχετίζει τις Ελλειπτικές Καμπύλες με τις μορφές τύπου Μ (Modular).

ΓΕΦΥΡΑ Οι ελλειπτικές καμπύλες ανήκουν σε ένα τεράστιο κλάδο των Μαθηματικών που λέγεται Αλγεβρική Γεωμετρία, ενώ οι Modular ανήκουν σε έναν άλλο τεράστιο κλάδο που λέγεται Μιγαδική Ανάλυση.

Ο Γουάϊλς έφτιαξε μία γέφυρα μεταξύ αυτών των δύο μεγάλων κλάδων Ο Γουάϊλς έφτιαξε μία γέφυρα μεταξύ αυτών των δύο μεγάλων κλάδων. Κάτι αντίστοιχο που συνέβη στη Φυσική όταν οι επιστήμονες μελετούσαν τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό, ως δύο εντελώς ξεχωριστά φαινόμενα.

Τον 19ο αιώνα, οι φυσικοί αντελήφθησαν ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός συνδέονταν στενά και έτσι έγινε ο ηλεκτρομαγνητισμός.

ΓΕΦΥΡΑ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΜΕΓΑΛΩΝ ΤΟΜΕΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΟΡΦΕΣ MODULAR ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΜΟΡΦΕΣ MODULAR

Επίσης στην προσπάθεια των Μαθηματικων επί 350 χρόνια να αποδείξουν το θεώρημα, δημιουργήθηκαν νέα Μαθηματικά, αναπτύχθηκαν νέες μέθοδοι και νέες ιδέες. Ο μεγάλος Μαθηματικός Χίλμπερτ το χαρακτήρισε σαν την «Όρνιθα που γεννά χρυσά αυγά»

2ο Ερώτημα Είχε ο Φερμά αποδείξει το Θεώρημα όπως ισχυρίστηκε;

Αν ο Φερμά είχε αποδείξει το θεώρημα, είναι σίγουρο ότι δεν είχε την απόδειξη του Γουάϊλς, γιατί απλούστατα, την εποχή εκείνη, δεν υπήρχαν όλα αυτά τα Μαθηματικά που χρησιμοποίησε ο Γουάϊλς.

Πολλοί πιστεύουν ότι ο Φερμά είχε κάνει λάθος και η απόδειξη που νόμιζε ότι είχε, μάλλον δεν ήταν σωστή.

Άλλοι πάλι νομίζουν ότι ο Φερμά είχε μία πιο απλή απόδειξη, που μέχρι σήμερα κανένας δεν έχει επινοήσει. Ίσως στο μέλλον κάποιος να τη βρεί!

Τελειώνοντας είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι ο Γουάϊλς απέδειξε το Θεώρημα στηριζόμενος σε εργασίες άλλων Μαθηματικών, όπως:

Στους Τανιγιάμα και Σιμούρα που διατύπωσαν το 1954 την εικασία τους. Στον Γκέρχαρντ Φράϊ που το 1985 εκανε την εικασία της Ελλειπτικής του Φερμά.

3. Στον Κέν Ρίμπετ που το 1986 απέδειξε την εικασία του Φράϊ με την βοήθεια του Μπάρι Μέϊζορ. 4. Στον Γιαπωνέζο Ιγουασάουα του οποίου τη θεωρία χρησιμοποίησε.

5. Στους Κολιβάγκιν και Φλάχ των οποίων τη θεωρία επίσης χρησιμοποίησε. Με όλα αυτά τα εργαλεία στα χέρια του, επινόησε και τις δικές του θεωρίες και έφτασε στην απόδειξη.

Αυτό μας δείχνει ότι τα μεγάλα επιτεύγματα γίνονται με την συνεργασία πολλών! Και αυτό ας είναι το μήνυμα που θα πάρουμε από την ιστορία της απόδειξης του τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά που πλέον αποκαλείται Θεώρημα του Άντριου Γουάϊλς.

Σας ευχαριστούμε πολύ για την προσοχή σας και την υπομονή σας.