VaR Η VaR ενός χαρτοφυλακίου ορίζεται σαν η μέγιστη ζημιά που αναμένεται να πραγματοποιηθεί αναφορικά με το χαρτοφυλάκιο μέσα σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα με μια συγκεκριμένη πιθανότητα (επίπεδο εμπιστοσύνης π.χ. 99%)

VaR Η VaR αποτελεί μια προσπάθεια για να εκτιμηθεί ο συνολικός κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου και να αποδοθεί σε χρηματικούς όρους με έναν και μόνο αριθμό

VaR Η VaR είναι η απάντηση της ερωτήσεως: Ποια είναι η μέγιστη ζημία στην διάρκεια μιας δεδομένης περιόδου (έστω 1 ημέρα) ώστε η πιθανότητα πραγματοποίησης ακόμη μεγαλύτερης ζημίας να είναι μικρή (έστω 1%).

VaR Αν μια τοποθέτησή μας έχει ημερήσια VaR =10 εκατ. σε επίπεδο εμπιστοσύνης 99%, τότε κατά μέσο όρο θα έχουμε ζημία περισσότερο από 10 εκατ. μία ημέρα στις 100. Η VaR του χαρτοφυλακίου συναλλαγών υπολογίζεται για σύντομες περιόδους 1 ή 10 ημερών.

VaR Για τον υπολογισμό της VaR απαιτείται η κατανομή των τιμών (αξίας) ή των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου στον επιλεγμένο χρονικό ορίζοντα. Η κατανομή υπολογίζεται είτε από ιστορικά δεδομένα (μη παραμετρική) είτε υποτίθεται ότι οι τιμές ή αποδόσεις ακολουθούν μιαν αναλυτική κατανομή (κανονική ή άλλη)

VaR Η VaR είναι η απόσταση της μέσης τιμής (αναμενόμενης απόδοσης) του χαρτοφυλακίου και του πρώτου εκατοστημορίου (για επίπεδο εμπιστοσύνης 99%)

VaR VaR= Expected Profit/Loss- worst case loss at the 99% confidence level Alternatively (Absolute VaR): VaR’=Worst case loss at the 99% confidence level

VaR Η VaR καθορίζει το οικονομικό κεφάλαιο που απαιτείται να καταβληθεί από τους μετόχους ενός Π.Ι. ώστε να προστατευθεί από χρεοκοπία. Ο υπολογισμός του RAROC γίνεται με βάση το Οικονομικό Κεφάλαιο

VaR Έστω V = η τρέχουσα αγοραία αξία της θέσης (χαρτοφυλακίου) R*=η απόδοση για την περίοδο Η που αντιστοιχεί στην χειρότερη περίπτωση με πιθανότητα 1-c (c= επίπεδο εμπιστοσύνης, π.χ. 99%)

VaR V*=V(1+R*) VaR(H,c)=E(V)-V*=V(1+μ)-V(1+R*)= =V(μ-R*)

Aν R N(μ, σ2) Ζ=(R-μ)/σ Ν(0,1) R=σΖ+μ Prob (R<R*)=Prob(σΖ+μ< R*)= =Prob(Ζ< (R*-μ)/σ)=1-c= N[(R*-μ)/σ] N[(R*-μ)/σ]=N(a) a= (R*-μ)/σ R*=μ+aσ VaR(H,c)=-aσV

Threshold limits (a) as a function of (c ) a=(R*-μ)/σ 99,97% -3,43 99,87% -3,00 99% -2,33 95% -1,65

From 1-day VaR to 10 day VaR Υποθέτοντας ότι Rt είναι i.i.d. R(10)=Σt Rt N(10μ, 10σ2) VaR(10,c)=100,5VaR(1,c)

Πως υπολογίζεται η VaR; Ιστορική Προσομοίωση (Historical or Back Simulation) Απαιτούνται ημερήσιες παρατηρήσεις για τις μεταβολές στις τιμές των μεταβλητών που καθορίζουν την αξία του χαρτοφυλακίου μας (έστω οι 500 τελευταίες παρατηρήσεις, επίπεδο εμπιστοσύνης 99%) Για κάθε ένα από τα 500 σενάρια υπολογίζουμε την ημερήσια μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου μας

Historical Simulation Οι 500 τιμές αποτελούν μια εμπειρική κατανομή των ημερήσιων μεταβολών στη αξία του χαρτοφυλακίου μας Η 5η χειρότερη ημερήσια μεταβολή αντιστοιχεί στο 1% της κατανομής Η εκτίμηση της VaR είναι η ζημία που αντιστοιχεί στο 1% της κατανομής

Πως υπολογίζεται η VaR; Αναλυτική Μέθοδος Γραμμικό υπόδειγμα (παράδειγμα με μετοχές και ομόλογο) Μη γραμμικό (quadratic) για δικαιώματα

Αναλυτική μέθοδος (Μέθοδος Διακύμανσης Συνδιακύμανσης): VaR χαρτοφυλακίου 2 μετοχών Παράδειγμα με χαρτοφυλάκιο 2 μετοχών, την μετοχή 1 και την μετοχή 2. Το χαρτοφυλάκιο περιλαμβάνει n1 μετοχές 1 με τιμή S1 και n2 μετοχές 2 με τιμή S2 Αξία του χαρτοφυλακίου: V = n1 S1 + n2S2

Αναλυτική μέθοδος: VaR χαρτοφυλακίου 2 μετοχών Υποθέτουμε ότι η τιμή ακολουθεί λογαριθμοκανονική κατανομή. Ακριβέστερα η Ri ακολουθεί πολυμεταβλητή κανονική με μέσο μi, τυπική απόκλιση σi και συντελεστή συσχέτισης ρ.

Αναλυτική μέθοδος: VaR χαρτοφυλακίου 2 μετοχών Ένα χαρτοφυλάκιο είναι γραμμικό στον κίνδυνο, όταν η μεταβολή της αξίας του είναι γραμμική συνάρτηση των παραγόντων κινδύνου (Ri) ΔV=Δ Σ ωi Ri VaRi(1;99)=2,33 σiSi VaRi(10;99)= 101/2 VaRi(1;99)=2,33 101/2 σiSi RV~N(μv, σV) μV =

Αναλυτική μέθοδος: VaR χαρτοφυλακίου 2 μετοχών

VaRV(1;99)=2,33 σV V VaRV(10;99)=101/2 VaRV(1;99)= 2,33 101/2σV V VaRV(1;99)=2,33 [wσCσwT]1/2 V VaRV(1;99)=[ VaR C VaRT ]1/2 Όπου VaR= [ VaR1 VaR2 ] Υπολογίστε την VaR για μ1=0,155%, μ2=0,0338, σ1=2,42%, σ2=1,68%, ρ=0,14 και n1=100, n2=120, S1=91,7 e, S2=79,1

Zero07Bond VaR Παράδειγμα υπολογισμού της VaR zero coupon ομολόγου: F=100 m., M=10 έτη Ο παράγοντας κινδύνου είναι η μεταβλητή y (YTM), y=7,96% με ημερήσια σ(y)=9,63 bp (0,0963%) και κανονική κατανομή για την μεταβλητή Δy. ΔB =- B x MD x Δy= -430,63 Δy Αρα, η μεταβλητή ΔΒ έχει κανονική κατανομή με: σ(Β)= -Β x MD x σ(y) =0,415 m VaR (1,99)= 2,33 σ(Β)=0,967 m.

Προσομοίωση Monte Carlo Χρήση 1η φορά στο Los Alamos 1942 Αποτελεί μια λύση στο πρόβλημα της εύρεσης της κατάλληλης κατανομής πιθανοτήτων για την αξία του χαρτοφυλακίου (ή τις μεταβολές στην αξία), ιδίως για μη γραμμικά χαρτοφυλάκια. Γραμμικά χαρτοφυλάκια: η μεταβολή της αξίας του Χ είναι γραμμική συνάρτηση των μεταβολών στην τιμή των μεταβλητών της αγοράς (μετοχές ομολογίες ισοτιμίες κλπ) οι οποίες είναι και οι (δευτερογενείς) παράγοντες κινδύνου.

Monte Carlo Υποθέτουμε ότι οι μεταβολές στις τιμές των μεταβλητών (παράγοντες κινδύνου) περιγράφονται από μια στοχαστική διαδικασία όπως το υπόδειγμα γενικευμένης κίνησης Brown (GBM). Σύμφωνα με τη υπόθεση αυτή οι λογαριθμικές αποδόσεις των μεταβλητών ακολουθούν την πολυμεταβλητή κανονική κατανομή. 1ο βήμα: υπολογισμός των αποδόσεων.

Monte Carlo 2ο βήμα: αποτίμηση του χαρτοφυλακίου στις τρέχουσες τιμές. 3ο βήμα: επιλέγουμε τυχαία μια τιμή για όλες τις μεταβλητές (αποδόσεις) από την πολυμεταβλητή κανονική κατανομή και τις χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε την αξία του χαρτοφυλακίου την επόμενη μέρα (απαιτείται ο υπολογισμός της μήτρας ΔΣ). 4ο βήμα: από τις δύο χρονικά διαδοχικές τιμές της αξίας του Χ υπολογίζουμε την μεταβολή στην αξία του ΔΧ.

Monte Carlo 5ο βήμα: επανάληψη του 4ου βήματος πολλές φορές π.χ. 5.000 φορές για την δημιουργία μια κατανομής πιθανότητας της μεταβλητής ΔΧ. 6ο βήμα: Υπολογισμός (πρόβλεψη) της VaR. Η VaR (1,99%) για την περίπτωση των 5.000 τιμών ΔΧ θα είναι η τιμή ΔΧ που αντιστοιχεί στο 50στό χειρότερο αποτέλεσμα.