Grafikaj operacioj je fortoj Postuloj 1 forto 2 fortoj agas en punktoj 1 1, 2 n fortoj agas en punktoj 1 1, 2 .. n C R=0 a% R=0 b% Trabo libere apogita Trabo sur risortoj Pezocentro de figuro Rimarko: Tradiciaj grafikaj operacioj je fortoj estas ofte de komputil-orientitaj teknikistoj ne shatataj pro ghiaj malprecizaj rezultoj. Oni devas tamen scii, ke komputila kalkulado de konstru-mekanikaj taskoj ofte donas rezultojn, kies precizeco ne kongruas kun realeco, krome enkondukas negarantiatan konfidon al tiuj rezultoj. Povas okazi, ke komputila rezulto estos erara rilate al antausigno - tion oni ne povas verifiki sen denova kalkulado surbaze de alia sendependa programo. Rezultoj de grafikaj operacioj estas sufiche precizaj por chiutaga praktiko kaj posedas tiun valoron, ke ili ne estas sharghitaj per signa eraro. Estas necese, ke konstruingheniero flue uzadu grafikajn operaciojn kiel unua verifikec-rimedo de iu ajna rezulto. Versio 03

Grafikaj operacioj je fortoj Grafikaj operacioj implikas, ke aplikataj estas nur simplaj geometriaj laboriloj: blanka papero, krajono, cirklo liniilo kaj 2 trianguliloj. Estas mirige, ke per tiaj rimedoj oni povas solvi komplikajn mekanikajn taskojn, ofte kun praktike suficha ekzakteco! Krome, tiu metodo posedas rimarkindan didaktikan valoron, do ni pristudu ghin profunde. Mekanikan forton oni povas plej bone figuri per streketo orientita. La kvanton de la forto figuras la longo de streketo. Agaddirekton montras ghia sageto. El matematika vidpunkto forto estas vektoro, pro tio validas chiuj reguloj de vektora algebro, kiu estas tre valora pro ghia simpla priskribo de mekanikaj rilatoj. Postuloj

Regulo de superpozicio grafikaj operacioj Postuloj (1) El mekanika vidpunkto oni devas konscii, ke mekanikaj fortoj agas chiam al reala objekto, do oni devas konsideri iliajn agadpunktojn. (Dum nur pure vektoraj operacioj oni tion neglektas.) (2) Se la objekto, al kiu agas forto estas traktata kiel rigida korpo, tiam la agadpunkto de forto povas esti teorie delokita lau ghia agadlinio (kompreneble konservante la agaddirekton). (3) Eksperimente evidentighas, ke se rigida korpo trovighas en ekvilibro, tiam tiu ekvilibro ne shanghos se oni aldonos al ghi du egalaj, kontraùdirektitaj fortoj (F, -F), agantaj je du punktoj a, b, trovighantaj je agadlinio de fortoj. Punktoj a, b povas eventuale unuighi. La sumo de aldonitaj vektoroj estas nulvektoro. (F-F=0) Regulo de superpozicio Efiko de forto-kunmetado (matematike dirite: forto-sumado) estas la rezultforto. Rezultforto anstataùas la konsistigajn fortojn, kaj la forto-sumado estas sendependa de aplikita forto-vico. Oni resumas tiun econ dirante, ke “validas la regulo de superpozicio”. Nu, povas ankaù okazi, ke variaj agadvicoj de fortoj elvokas variajn finajn efikojn. En tiu kazo oni diras, ke ne validas legho de superpozicio (baza postulo de t.n. teorio de unua grado) kaj la mekanika tasko farighas pli komplika kaj malfacile solvebla.

Tasko 1. Kunmeti du fortojn A, B je rezultforto R.. grafikaj operacioj Tasko 1. Kunmeti du fortojn A, B je rezultforto R.. a) speciala kazo: komuna agadpunkto . Bazaj nocioj vektoro (grando kun valoro kaj direkto): - A, B, C . . vektor-valoro (lau fortoskalo): - |A| , |B| , . . vektor-direkto (difinita per inklin-angulo) forto-vektoro - vektoro kun sia agadpunkto agadpunktoj : - a, b . .1, 2, ... 0 fortoskalo 5 N A |A| = 3 N a B |B| = 4 N |R| = B+A = 6,2 N B A R A R = A+B R = B+A A B paralelogramo de fortoj B b) ghenerala kazo: du agadpunktoj ; trovu rezultforton kaj ghian agadpunkton r Laù postulo (2) oni rajtas shovi la fortojn laù iliaj agadlinioj ghis ilia fiktiva tranchpunkto (o) kaj solvi taskon laù kazo (1a) b a A B b a o r R=A+B

Tasko 2. Kunmeto de du paralelaj fortoj A, B je rezultforto R grafikaj operacioj Tasko 2. Kunmeto de du paralelaj fortoj A, B je rezultforto R a) speciala kazo: komuna agadlinio. Regulo de kunmetado: Al fina punkto (sageto) de unua forto metu la komenc-punkton de dua forto. La rezultforto egalas distancon el komencpunkto de unua ghis finpunkto de dua forto. B A ! B A Rezulto ne dependas de sinsekvo de fortoj R R b) ghenerala kazo: du fortoj A, B agas je paralelaj linioj; trovu agadlinion r de rezultforto B Lau postulo 3, aldonu sur linio (1,2) nulvektoron (v,-v) - du egalaj, kontraudirektitaj fortoj. A 1 2 r -v ! 3 v

Tasko 3. Dispartigo de forto F je du komponantoj lau direktoj 1, 2 grafikaj operacioj Tasko 3. Dispartigo de forto F je du komponantoj lau direktoj 1, 2 Inversa tasko, rilate al ekz. 1. 1 B F A 2 1 1 2 B A 1 A F 2 F B 2 Tasko 4. Kunmeto de fortoj A, B, C . . , agantaj en komuna punkto, je rezultforto R Agu kelkfoje lau ekz.1; desegnu fortopoligonon: A+B=R1 , R1 + C = R2 , R2 + D = R3 R3 +E = R C B A D A E E R C R Se la branchoj de fortopoligono fermighas, tiam la rezultforto estas nulo (R=0). Konsistigaj fortoj trovighas en ekvilibro. D ! B Poligono de fortoj en fortoskalo: 1 cm = 10 N A

Tasko 6. Kunmeto de fortoj agantaj en variaj punktoj grafikaj operacioj Tasko 5. Trovu forton F , kiu ekvilibrigos fortaron agantan en komuna punkto Trovu unue rezultforton R, Forto F ekvilibrigos forton R, do F = -R *) Se la fortaro ekvilibrighas, tiam branchoj de fortopoligono formas fermitan rondiron. Tiu eco difinas tuj direkton de fermiganta forto F. ! *) R F F fortoskalo: 1 cm = 10 kN Tasko 6. Kunmeto de fortoj agantaj en variaj punktoj Oni povas apliki solvon de ekz.1b (kunmeto po 2 fortoj) C B 3 2 4 1 A D R A Se la branchoj de fortopoligono fermighas, tiam la rezultforto estas nulo (R=0). Konsistigaj fortoj trovighas en ekvilibro. R1 R ! R2 C B D fortoskalo: 1 cm = 10 N R2 R1

Tasko 7. Trovu ekvilibrig-forton R , kiu ekvilibras fortojn Fi grafikaj operacioj Tasko 7. Trovu ekvilibrig-forton R , kiu ekvilibras fortojn Fi 1 3 F3 Desegnu forto-poligonon kaj forto-planon F2 F4 4 Fortoplano 2 F1 F F3 c F4 F4 F2 IV III b 3 d IV V R 4 F3 II 2 O Chiu fortotriangulo formita en poligono respondas je tranchpunkto de tri fortoj sur fortoplano; ekzemple: Δ(F1,I,II) ~ a(F1,I,II) Δ(F2,II,III) ~ b(F2,II,III) ! III 1 I a V Fortopoligono fortoskalo: 1 cm = 10 kN II F2 F1 R F1 I e Grandon kaj direkton de ekvilibriga forto R oni trovas en fortopoligono, kiu devas fermighi.Elektu fortoskalon kongrue kun dezirata precizeco de rezultoj. Agadlinion de forto R oni trovas jene: 1) Elektu en fortopoligono lauvolan punkton O kaj dispartigu chiun forton F2 rilate al punkto O, respektive je du direktoj (chi tie lau linioj I, II, III, IV, V) 2) Transmetu konsistigajn forto-komponantojn I, II, . .V al fortoplano jene: - elektu lauvolan punkton a sur fortolinio F1 - dispartigu forton F1 je direktoj I, II - krucigu linion II kun agadlinio de forto F2 (punkto b) kaj dispartigu forton F2 je direktoj II, III - krucigu linion III kun agadlinio de forto F3 (punkto c) kaj dispartigu forton F3 je direktoj III, IV - simile trovu punktojn d kaj e - tra punkto e trapapsas ekvilibrigforto R , kies grando kaj direkto elfluas el fortopoligono. - transloku forton R el poligono al plano; ghia agadpunkto estas la tranchpunkto kun la korpo Fortaro ekvilibrighas, tial branchoj en fortopoligono formas fermitan rondiron. Tiu eco difinas direkton de fermiganta forto R.

Kunmeto de paralelaj fortoj grafikaj operacioj Kunmeto de paralelaj fortoj Metodo de kunmetado demonstrita en tasko 7 taugas ankau en kazo de paralelaj fortoj. Tasko 8. Kunmetu paralelajn fortojn Fi je rezultforto R Desegnu forto-poligonon kaj forto-planon F1 F3 1 3 F2 F4 Fortoplano I F1 F1 a II F2 F4 F3 V I b F2 III IV R II III F3 O ! Chiu fortotriangulo formita en poligono respondas je tranchpunkto de tri fortoj sur fortoplano; ekzemple: Δ(F1,I,II) ~ a(F1,I,II) Δ(F2,II,III) ~ b(F2,II,III) IV F4 R V Fortopoligono fortoskalo: 1 cm = 10 kN

grafikaj operacioj Tasko 9. Dispartigu forton F je du paralelaj fortoj F1, F2 lau donitaj direktoj 1, 2 Desegnu forto-poligonon kaj forto-planon 2 a 1 Δ(F1,I,f) ~ a(F1,I,f) F2 F b I F1 I F1 a f f F1 F1 I F x F2 f II b I Chiu fortotriangulo formita en poligono respondas je tranchpunkto de tri fortoj sur fortoplano; ekzemple: Δ(F1,I,f) ~ a(F1,I,f) Δ(F2,II,f) ~ b(F2,II,f) Δ(F,I,II) ~ x(F,I,II) II IV a F2 ! f F Fortopoligono fortoskalo: 1 cm = 10 kN F1 Fortoplano

grafikaj operacioj Tasko 10. Ekvilibrigu paralelajn fortojn Fi pere 2 paralelaj fortoj Ra, Rb Trovu rezultforton F =  Fi kaj ekvilibrigu ghin lau ekz.9. F1 F2 a F3 1 Ra 2 3 b Rb Ra I m F Rb I II a f f II III n III Ra IV IV ! Chiu fortotriangulo formita en poligono respondas je tranchpunkto de tri fortoj sur fortoplano; ekzemple: Δ(Ra, I,f) ~ m(Ra, I,f) Δ(Rb, f,IV) ~ n(Rb, f,IV) b Rb Fortopoligono fortoskalo: 1 cm = 10 kN Fortoplano

grafikaj operacioj Tasko 11. Aparta kazo : Trovu rezultforton R de 2 paralelaj, kontraudirektitaj fortoj F1, F2 Trovu rezultforton R =  Fi kaj ekvilibrigu ghin lau ekz.9. F1 F1 F2 d F2 Fortoplano R II III F1 F2 m III R F1 I ! II Chiu fortotriangulo formita en poligono respondas je tranchpunkto de tri fortoj sur fortoplano; ekzemple: Δ(R, I, III) ~ m(R, I, III) I F2 Fortopoligono fortoskalo: 1 cm = 10 kN F R=0 I F F1= F2 = F R=0 m  II d F III II III I F rotacimomento M = Fd  0

grafikaj operacioj Tasko 12. Fortaro Fi agas al libere apogita trabo; trovu lagrofortojn Ra, Rb Trovu rezultforton F =  Fi kaj ekvilibrigu ghin pere reakcioj Ra, Rb. (identifiku mem uzatajn obiektojn) Fortoplano Fortopoligono fortoskalo: 1 cm = 1 kN Atenton! En movebla cilindra lagro povas agadi nur forto vertikala al lagra movodirekto En nemovebla cilindra lagro povas agadi forto je lauvola direkto

grafikaj operacioj Tasko 13. Trabo apogita estas sur 2 malsamaj risortoj. Trovu punkton z en kiu devas agi forto F, por ke translokoj de apogoj estu egalaj. Rigidec-koeficiento k de risorto eksplikas, kioma forto kauzas translokon je unuo da longeco. Estu: ka = 0,3 N/cm kb = 0,8 N/cm Rilatojn inter forto kaj transloko de risortoj montras la grafikajho kb ka kb N ka 0,8 Rb 0,3 Ra ? F = 5 N 1 2 cm d Ra = 0,3F Fortoplano Fortopoligono fortoskalo: 1 Ħ = 1 N I kb Rb = kbd ka 1 N 2 N 3 N Ħ f Ra = kad d z F = 5 N d δ= 0,1 II F Rb Rb = 0,8F f Ra / ka= Rb / kb = d δ I 0,3 0,8 II

Tasko 14. Trovu pezocentron (C) de lauvola figuro grafikaj operacioj Tasko 14. Trovu pezocentron (C) de lauvola figuro Metodo a) Dividu figuron je elementaj surfacoj, kies pezocentroj estas konataj - ekzemple rektanguloj. Oni imagu, ke chiun elementan surfacon de figuro anstatauas vektoro vi, kies grando estas proporcia al elementa surfaco kaj agas en konata pezocentro de tiu elemento R2 1 C b) Se oni direktos chiun vektoron lau iu ajna direkto (1), tiam la rezultvektoro R1 trapasos serchatan pezocentron (C) de figuro. vi R1 c) Shanghu nun agaddirekton de vektoroj vi lau alia direkto (2) - la rezultvektoro R2 ankau trapasos pezocentron (C). 2 vi d) Tranchopunkto de ambau rezultvektoroj difinas pezocentron (C). Vidu ekzemplon

Tasko 15. Trovu pezocentron de suba figuro grafikaj operacioj Tasko 15. Trovu pezocentron de suba figuro Trovu pezocentron (C) sen aritmetikaj kalkuloj! a) Dividinte figuron je rektangulaj elementoj kun la sama largheco, oni povas eviti kalkulon de elementaj surfacoj char la vektoretoj Fi estos proporciaj al respektivaj altecoj de elementoj. b) shangho de rektangulo je komuna largheco (a) povas okazi lau suba helpkonstruo: a F3 b bc = ax b/a = x/c c F1 F2 c a a a b F2 x = F1 F3 III II IV III II I C R1 IV I F1 F2 F3 R2