ΘΕΜΑ : ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΑ ΜΕΛΕΤΗΣΟΥΜΕ : Τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = χ 2 Τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = χ 2 Τους διάφορους μςτασχηματισμούς της μορφής : Τους διάφορους μςτασχηματισμούς της μορφής : α) ψ = χ 2 + α α) ψ = χ 2 + α β) ψ = ( χ + α ) 2 β) ψ = ( χ + α ) 2 γ) ψ = αχ 2 γ) ψ = αχ 2 Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ = χ 2 + βχ + γ Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ = χ 2 + βχ + γ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΝΑ ΠΑΡΑΣΤΑΘΕΙ ΓΡΑΦΙΚΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ = Χ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι καμπύλη, που λέγεται παραβολή. Παρατηρούμε ότι η καμπύλη έχει: i) Άξονα συμμετρίας τον άξονα των ψ : x = 0 ii) Ελάχιστη τιμή : ψ min = 0 στο σημείο ( 0, 0 ). Ψ = χ 2

Παράδειγμα 1α: Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ψ = χ Παρατηρήσεις : i) ΄Αξοναs συμμετρίας : χ = 0 ii) Ελάχιστη τιμή : ψ min = 3 iii) Η γραφική παράσταση της ψ = χ 2 +3 είναι μια μετατόπιση της ψ = χ 2 3 μονάδες ως προς τον θετικό ημιάξονα των ψ. ( 3 μονάδες προς τα πάνω) Ψ = χ 2 + 3

Παράδειγμα 1β 1β : Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ψ = χ2 χ2 χ2 χ2 – 4. Παρατηρήσεις : i) Άξονας συμμετρίας : χ = 0 ii) Ελάχιστη τιμή : ψ min = -4 iii) Η γραφική παράσταση της ψ = χ 2 – 4 είναι μια μετατόπιση της ψ = χ 2 4 μονάδες ως προς τον αρνητικό ημιάξονα των ψ ( 4 μονάδες προς τα κάτω ) Ψ = χ 2 - 4

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 1 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = χ 2 + α είναι μια μετατόπιση της παραβολής ψ = χ 2 ως προς τον άξονα των ψ. Συγκεκριμένα : α) Αν α > 0, ο αριθμός α μετακινεί την παραβολή ( την κορυφή της παραβολής ) α – μονάδες προς τα πάνω. α – μονάδες προς τα πάνω. β) Αν α < 0, ο αριθμός α μετακινεί την παραβολή ( την κορυφή της παραβολής ) α – μονάδες προς τα κάτω. α – μονάδες προς τα κάτω. γ) Η παραβολή ψ = χ 2 + α έχει κορυφή το ( 0, α ) και ελάχιστη τιμή ψmin = α.

Παράδειγμα 2α : Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ψ = ( χ – 2)2. Παρατηρήσεις : i) Άξονας συμμετρίας : χ = 2 ii) Ελάχιστη τιμή : ψ min = 0 iii) Η γραφική παράσταση της ψ = (χ-2) 2 είναι μια μετατόπιση της παραβολής ψ = χ 2 2 μονάδες ως προς τον θετικό ημιάξονα των χ. ( 2 μονάδες αριστερά ) Ψ = (χ-2) 2

Παράδειγμα 2β : Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ψ = ( χ + 3 )2. Παρατηρήσεις : i) Άξονας συμμετρίας : χ = -3 ii)Ελάχιστη τιμή : ψ min = 0 iii) Η γραφική παράσταση της ψ = (χ+3) 2 είναι μια μετατόπιση της παραβολής ψ = χ 2 3 μονάδες ως προς τον αρνητικό ημιάξονα των χ. ( 3 μονάδες δεξιά ) Ψ = (χ+3) 2

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = (χ + α) 2 είναι μια μετατόπιση της παραβολής ψ = χ 2 ως προς τον άξονα των χ. Συγκεκριμένα : α) Αν α > 0, ο αριθμός α μετακινεί την παραβολή ( την κορυφή της παραβολής ) α – μονάδες προς τα δεξιά ( ). α – μονάδες προς τα δεξιά ( ). β) Αν α < 0, ο αριθμός α μετακινεί την παραβολή ( την κορυφή της παραβολής ) α – μονάδες προς τα αριστερά ( ). α – μονάδες προς τα αριστερά ( ). γ) Η παραβολή ψ =( χ + α ) 2 έχει κορυφή το ( -α, 0 ) και ελάχιστη τιμή ψ min = 0. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 2

Παράδειγμα 3α : Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: ψ = 2χ 2, ψ = 5χ 2, ψ = ½ χ 2 και ψ = ¼ χ 2 Παρατηρήσεις : Οι πιο πάνω γραφικές παραστάσεις έχουν άξονα συμμετρίας τον άξονα των ψ ( χ = 0 ) και ελάχιστη τιμή ψ min = 0 στο σημείο ( 0, 0 ). Ψ = ¼ χ 2 Ψ = ½ χ 2 Ψ = χ 2 Ψ = 5χ 2 Ψ = 2χ 2

Παράδειγμα 3β : Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: ψ = -χ 2, ψ = -4χ 2, ψ = - ½ χ 2 και ψ = χ 2. Ψ = -0.2χ 2 Ψ =- ½ χ 2 Ψ =- 4χ 2 Ψ =- χ 2 Παρατηρήσεις : Οι πιο πάνω γραφικές παραστάσεις έχουν άξονα συμμετρίας τον άξονα των ψ ( χ = 0 ) και μέγιστη τιμή ψ mαχ = 0 στο σημείο ( 0, 0 ).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ 2 είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας τον άξονα των ψ. α) Αν α >0 τότε η καμπύλη έχει ελάχιστη τιμή ψ min =0 στο σημείο ( 0, 0 ). β) Αν α <0 τότε η καμπύλη έχει μέγιστη τιμή ψ mαχ =0 στο σημείο ( 0, 0 ). γ) Όσο μεγαλώνει η τιμή του | α |, τόσο η παραβολή πλησιάζει τον άξονα των ψ.

Παράδειγμα 4α : Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ψ = χ 2 – 4χ + 3. Λύση : Αρχικά η συνάρτηση γράφεται ψ = χ 2 – 4χ + 3 = ( χ – 2 ) 2 – 1. ( Μέθοδος συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου) 2 1 Ψ = χ 2 Ψ = (χ – 2) 2 Ψ = (χ – 2) 2 -1 Η γραφική παράσταση της ψ = χ 2 – 4χ + 3 έχει άξονα συμμετρίας την χ=2, ελάχιστη τιμή ψ min = -1 και τέμνει τους άξονες στα σημεία : ( 1, 0 ), ( 3, 0 ), ( 0, 3 ).

Παράδειγμα 4β : Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ψ = -χ 2 – 6χ. Λύση : Με τη μέθοδο συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου η συνάρτηση γράφεται ψ = - χ 2 – 6χ = - ( χ + 3 ) Η γραφική παράσταση της ψ = - χ 2 – 6χ έχει άξονα συμμετρίας την χ = - 3, μέγιστη τιμή ψ max = 9 και τέμνει τους άξονες στα σημεία : ( 0, 0 ), ( -6, 0 ). Ψ=χ 2 Ψ=-χ 2 Ψ=-(χ+3) 2 Ψ=-(χ+3) 2 +9

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 4 Για να παραστήσουμε γραφικά μια συνάρτηση της μορφής ψ = ±χ2 + βχ + γ i) Μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου : ψ = ±χ2 + βχ + γ = ±( χ + κ )2 + δ. ii) Η καμπύλη είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία χ = - κ. iii) Αν ο συντελεστής του χ2 είναι 1 τότε παρουσιάζει ελάχιστη τιμή ψmin = δ στο σημείο ( - κ, δ ). iv) Αν ο συντελεστής του χ2 είναι -1 τότε παρουσιάζει μέγιστη τιμή ψmαχ = δ στο σημείο ( - κ, δ ).

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΜΟΝΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ