Sonli qatorlar

1.Sonli qatorlar tushunchasi (1) ifodaga sonli qator deyiladi. Bu yerda, a1, a2,…, an,… haqiqiy sonlar bo‘lib, qator- ning hadlari, an – had qatorning n – chi hadi yoki umumiy hadi deb ataladi. Har bir (1) sonli qator uchun qismiy yig‘indilar ketma- ketligini qurish mumkin.

sonli qator uchun qismiy yig‘indilar ketma – ketligi: Agar (1) qatorning qismiy yig‘indilari ketma- ketligi chekli S limitga ega bo‘lsa, bu songa

qatorning yig‘indisi deb ataladi: (2) Agar qator (2) chekli limitga ega bo‘lsa, qa- tor yaqinlashuvchi, S esa uning yig‘indisi deyiladi. Misol. Yuqorida keltirilgan misol uchun: Demak, berilgan sonli qator chekli limitga ega ekan. Qator yaqinlashuvchi. Agar bo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, qator uzoqla- shuvchi deb ataladi.

songa qatorning qoldig‘i deyiladi. Yaqinlashuvchi sonli qator uchun bo’ladi va demak, yetarlicha katta n lar uchun S≈Sn o‘rinli bo‘ladi. Misollar: sonli qatorqa garmonik qator deyiladi va u uzoqlashuvchi qatordir. 2) Ushbu sonli qator |q|<1 bo‘lsa, yaqinlashuvchi va yig‘indisi ga teng bo‘ladi.

2.Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning asosiy xossalari 10. Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda istalgan chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish yoki unga chekli sondagi hadlarni qo‘shish natijasida hosil bo‘lgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 20. Yaqinlashuvchi sonli qatorning har bir hadi, bir xil λ soniga ko‘paytirilsa, yaqinlashuvchi bo‘ladi yig‘indisi λ oshadi, ya‘ni

30. Agar va qatorlar yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indilari mos ravishda A va B ga teng bo‘lsa, u holda sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi A±B ga teng. 40. (Yaqinlashuvchanlikning zaruriy alomati) Agar sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning umumiy hadi uchun shart bajariladi. Lekin bu alomat yetarli alo- mat bo‘la olmaydi .

Agar bo‘lsa, u holda berilgan sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Musbat hadli sonli qator

Musbat hadli sonli qatorlar yaqinla-shishining alomatlari Musbat hadli sonli qatorlar uchun quyidagi yaqinlashish va uzoqlashish alomatlarini keltiramiz. 1) Taqqoslash alomati. Nomanfiy hadli ikki (3) (4) sonli qatorlar uchun, biror N nomerdan boshlab an≤bn tengsizlik bajarilsa, u

holda: a) (4) qatorning yaqinlashishidan (3) qa- torning ham yaqinlashishi; (3) qatorning uzoqlashishidan (4) qatorning ham uzoq- lashishi kelib chiqadi. b) Musbat hadli (3) va (4) sonli qatorlar- ning umumiy hadlari uchun mavjud va 0<k<+∞ bo’lsa, u holda (3) va (4) sonli qatorlar bir vaqtda yoki yaqinla- shuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring. Berilgan qatorni uzoqlashuvchi garmonik qator bilan taqqoslaymiz. Buning uchun va kє(0;+∞) ekanligi- ni aniqlaymiz. Bundan berilgan qator uzoqla- shuvchiligi kelib chiqadi. 2) Koshi alomati. Agar nomanfiy hadli (3) qator uchun mavjud bo‘lsa, bu qator k<1 bo‘lganda yaqinlashadi, k>1 da esa uzoqlashadi va k = 1 da masala

ochiq qoladi. 3) Dalamber alomati. Agar musbat hadli (3) qator uchun mavjud bo‘lsa, u holda bu qator: k<1 da uzoqlashadi, k>1 bo‘lganda uzoqlashuvchi va k=1 da masala ochiqligicha qoladi. 4) Koshining integral alomati. Agar (3) sonli qator x≥1 bo‘lganida aniqlangan, uzluksiz, musbat va o‘smaydigan an = f(n), n=1,2,…… funktsiya uchun mos tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda 1 – tur xosmas yaqinlash-

sa, berilgan qator ham yaqinlashadi, xosmas integral uzoqlashsa, sonli qator ham uzoq- lashadi.

Sonli qatorlarning absolyut va shartli yaqinlashishi Aytaylik, hadlari ishorasi o‘zgaruvchi sonli qator (5) berilgan bo‘lsin. (5) sonli qator hadlarining absolyut qiymatlari- dan yangi sonli qator (6) tuzamiz. Agar (6) qator yaqinlashuvchi bo‘l- sa, u holda (5) sonli qator absolyut yaqin- lashuvchi qator deyiladi. Agar (6) qator uzoqlashuvchi bo‘lib, (5) qa-

torning o‘zi yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda (5) sonli qator shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi. Absolyut yaqinlashuvchi sonli qator har doim yaqinlashuvchi bo‘ladi. Ushbu (7) sonli qatorga hadlari ishorasi almashi- nuvchi qator deb ataladi. Bunday qatorlarni tekshirish uchun Leybnits teoremasidan foydalaniladi. Leybnits teoremasi. Agar ishoralari almashi-

almashinuvchi (7) qatorning hadlari uchun: 1) 2) o‘rinli bo‘lsa, berilgan sonli qator yaqinla- shuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi musbat bo‘lib, birinchi haddan katta bo‘lmaydi. Isho- rasi almashinuvchi qator qoldig‘i |rn|≤cn+1 tengsizlik bilan baholanadi. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari:

1. Absolyut yaqinlashuvchi qatorda o‘rinla-rini almashtirishdan tuzilgan yangi qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va yig‘indisi be- rilgan qator yig‘indisi bilan bir xil bo‘ladi. 2. Shartli yaqinlashuvchi qatorda, B soni ixtiyoriy son bo‘lishidan qat‘iy nazar, had- lari o‘rnini shunday almashtirish mum- kinki, natijada olingan yangi sonli qator yaqinlashadi va yig‘indisi aynan B ga

teng bo‘ladi. 3. Shartli yaqinlashuvchi sonli qatorda hadlari o‘rnini shunday almashtirish mum- kinki, natijada uzoqlashuvchi yangi qator olinadi.