Ορισμός Με τον όρο Χρονοσειρές εννοούμε μια σειρά από παρατηρήσεις που παίρνονται σε ορισμένες χρονικές στιγμές ή περιόδους που ισαπέχουν μεταξύ τους. Συμβολίζοντας με Χi τις n χρονικές στιγμές (έτη, μήνες, μέρες κ.λπ.) και με Yi τις τιμές των αντίστοιχων παρατηρήσεων, δημιουργούμε n ζεύγη της μορφής M(Xi,Yi) που μπορούμε να παραστήσουμε στο σύστημα αξόνων

Ανάλυση Χρονοσειρών Ενώνοντας τα σημεία αυτά δημιουργούμε το χρονοδιάγραμμα, η μελέτη του οποίου μας δίνει μια γενική εικόνα της διαχρονικής εξέλιξης του υπό έρευνα φαινομένου ή χαρακτηριστικού Την ανάλυση Χρονοσειρών τη χρησιμοποιούμε για να καθορίσουμε μοντέλα που μετατρέπουν πληροφορίες από κανονικά χρονικά διαστήματα σε στατιστικά μέτρα

Γιατί; Για να προβλέψουμε μελλοντικές τιμές Για να έχουμε μια καλύτερη κατανόηση του μηχανισμού δημιουργίας των δεδομένων Για το βέλτιστο έλεγχο του συστήματος

Ανάλυση Χρονοσειρών Η χαρακτηριστική ιδιότητα μιας χρονοσειράς είναι ότι τα δεδομένα δε δημιουργούνται ανεξάρτητα και η διασπορά (dispersion) τους ποικίλει στο χρόνο Στατιστικές διαδικασίες που υποθέτουν ανεξάρτητα και ταυτόσημα κατανεμημένα δεδομένα αποκλείονται από την ανάλυση χρονοσειρών

Παραδείγματα Χρονοσειρών

Δύο κατηγορίες προσεγγίσεων στην ανάλυση χρονοσειρών Η πρώτη κατηγορία αναπαριστά τη χρονοσειρά με ένα κινητικό μοντέλο (ανάλυση συνιστωσών) xt = f(t) οι παρατηρήσεις θεωρούνται μια συνάρτηση του χρόνου

Δύο κατηγορίες προσεγγίσεων στην ανάλυση χρονοσειρών Η δεύτερη κατηγορία αναπαριστά τη χρονοσειρά με ένα δυναμικό μοντέλο (μοντέλο ARIMA, διαδικασία Box-Jenkins) xt = f(xt-1, xt-2, xt-3,…) οι παρατηρήσεις θεωρούνται ως συναρτήσεις του παρελθόντος τους (και πιθανόν του παρελθόντος και άλλων μετρούμενων ή παρατηρούμενων μεταβλητών

Η κλασική διαδικασία: Μοντέλο Συνιστωσών Μακροχρόνια Τάση (Secular Trend) Κυκλική Κύμανση (Cyclical Fluctuation) Περιοδική – Εποχιακή μεταβολή (Seasonal Variation) Ακανόνιστη μεταβολή (Irregular Variation) Στην πράξη οι χρονοσειρές παρουσιάζουν μία ή περισσότερες από τις παραπάνω συνιστώσες

Μακροχρόνια Τάση (Secular Trend) Η τιμή της μεταβλητής τείνει να αυξηθεί ή να ελαττωθεί για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Κυκλική Κύμανση Cyclical Fluctuation Αυξομειώσεις της τιμής της μεταβλητής γύρω από μια γραμμή τάσης σε μια μακροχρόνια περίοδο Στην πράξη τα σημεία της χρονοσειράς για μια σειρά ετών βρίσκονται κάτω από τη γραμμή τάσης και στη συνέχεια για μια άλλη σειρά ετών πάνω από τη γραμμή τάσης. Ο χρόνος για να έχουμε μια κυκλική αυξομείωση δεν είναι σταθερός

Κυκλική Κύμανση Cyclical Fluctuation

Κυκλική Κύμανση Cyclical Fluctuation Η κυκλική κίνηση δεν ακολουθεί κανένα κανονικό μοντέλο αλλά κινείται απρόβλεπτα Γι’ αυτό το λόγο στην πράξη οι κυκλικές αυξομειώσεις είναι οι πλέον δύσκολες να αντιμετωπιστούν

Περιοδικές μεταβολές Seasonal Variation Έχουμε στις χρονοσειρές που παρουσιάζουν κάποια περιοδικότητα στις χαρακτηριστικές κινήσεις σε ορισμένα χρονικά διαστήματα Π.χ. μεταβολές στη διάρκεια των εποχών του έτους Ακολουθούν κανονικό μοντέλο και είναι χρήσιμες για να κάνουμε προβλέψεις για το μέλλον

Περιοδικές μεταβολές Seasonal Variation

Ακανόνιστες μεταβολές Irregular Variations Οι μεταβολές που είναι άλλοτε μικρές, άλλοτε μεγάλες, θετικές ή αρνητικές χωρίς καμία κανονικότητα Διακρίνονται σε συμπτωματικές (οφειλόμενες σε απρόβλεπτα γεγονότα) και τυχαίες

Σχέσεις μεταξύ των συνιστωσών Y = T + S + C + I Οι συνιστώσες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και εκφράζονται στις μονάδες μέτρησης των αρχικών μονάδων της μεταβλητής Y = T · S · C · I Μόνο η τάση εκφράζεται στις μονάδες μέτρησης των αρχικών δεδομένων. Οι υπόλοιπες συνιστώσες είναι δείκτες

Ανάλυση Τάσης Trend Analysis Η μακροχρόνια τάση εκφράζει τη χρονοσειρά για μια εκτεταμένη περίοδο Λόγοι μελέτης: 1. Κατανόηση της ιστορίας της μεταβλητής 2. Πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της μεταβλητής 3. Εξάλειψη τάσης από τα αρχικά δεδομένα χρονοσειράς – για να προσδιορίσουμε βραχυπρόθεσμες κινήσεις (S, C)

Μέθοδοι προσδιορισμού μακροχρόνιας Τάσης Πολλές και διάφορες! Μέθοδος των των δύο μέσων σημείων Μέθοδος των κινητών μέσων Μέθοδος της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων Μέθοδος της καμπύλης ελαχίστων τετραγώνων

Κυκλική Μεταβολή Μία από τις τέσσερις συνιστώσες, η κυκλική μεταβολή είναι αυτή που τείνει να ταλαντώνεται πάνω και κάτω από τη γραμμή της μακροχρόνιας τάσης για περιόδους μεγαλύτερες του έτους Η διαδικασία που ακολουθούμε για να διαπιστώσουμε την κυκλική μεταβολή ονομάζεται μέθοδος των καταλοίπων (Residual Method)

Κυκλική Μεταβολή Μια χρονοσειρά που αποτελείται από ετήσια δεδομένα, μόνο η μακροχρόνια τάση, η κυκλική μεταβολή και η ακανόνιστη μεταβολή παίρνονται υπόψη. Η εποχιακή μεταβολή κάνει ένα πλήρη κύκλο στη διάρκεια ενός έτους και δεν επηρεάζει ένα χρόνο περισσότερο από έναν άλλο

Κυκλική Μεταβολή Αφού μπορούμε να περιγράψουμε τη μακροχρόνια τάση χρησιμοποιώντας τη γραμμή τάσης, μπορούμε να απομονώσουμε τα εναπομείναντα κυκλικά και ακανόνιστα συνθετικά από την τάση. Έτσι συμπεραίνουμε ότι οι κυκλικές συνιστώσες εξηγούν τα περισσότερα από αυτά που μένουν ανεξήγητα από τη συνιστώσα της τάσης

Μέθοδος Αν είναι Υi είναι η πραγματική τιμή και είναι η εκτιμούμενη τιμή από τη γραμμή τάσης τότε ορίζουμε τη σχετική τάση ως