ΜΠΣ ΠΡΑΣΙΝΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΜΗΜΑ ΗΜ&ΤΥ

Παρουσίαση με θέμα: "ΜΠΣ ΠΡΑΣΙΝΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΜΗΜΑ ΗΜ&ΤΥ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΠΣ ΠΡΑΣΙΝΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΜΗΜΑ ΗΜ&ΤΥ
ΜΠΣ ΠΡΑΣΙΝΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΜΗΜΑ ΗΜ&ΤΥ ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Καθηγητής Πέτρος Π. Γρουμπός Εργαστήριο Αυτοματισμού και Ρομποτικής Τμήμα ΗΜ&ΤΥ Πανεπιστήμιο Πατρών Α ΕΞΑΜΗΝΟ

2 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3 ΔΙΑΛΕΞΗ – ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Η Έννοια της κατάστασης y(t) h(t) u(t) Θεμελιώδες Θεώρημα Συνέλιξης Όπου η h(t) είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος. Η έξοδος y(t) γράφεται: 3

4 Η είσοδος του συστήματος είναι γνωστή στο διάστημα (to, ∞)
Η είσοδος του συστήματος είναι γνωστή στο διάστημα (to, ∞). Από τη (2) η έξοδος του συστήματος y(t) είναι πλήρως γνωστή, μόνο υπό την προϋπόθεση ότι το σύστημα ήταν σε πλήρη ηρεμία τη χρονική στιγμή to y (t, to) = (3) Δηλαδή η αρχική συνθήκη του συστήματος είναι μηδέν (Μετασχη-ματισμός Laplace). Εάν αυτό δεν ισχύει δεν μπορώ να προσδιορίσω την έξοδο για χρόνο t > to. Χρειαζόμαστε μια επί πλέον πληροφορία, ήτοι το y(t, to) (αρχική συνθήκη του συστήματος). 4

5 Βασικό μειονέκτημα των τριών πρώτων τρόπων μελέτης του συστήματος, είναι πως περιγράφουν το σύστημα μόνο δια μέσου των συσχετίσεων που υφίστανται ανάμεσα στην είσοδο u(t) και την έξοδο του y(t) χωρίς να εισχωρούν στα ενδότερά του. ΔΕΝ ΜΕΛΕΤΟΥΝ ΤΗΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Αυτή η αδυναμία έχει ως αποτέλεσμα να οδηγούμεθα αρκετά συχνά σε εσφαλμένα συμπεράσματα όσον αφορά και άλλα χαρακτηριστικά του συστήματος (ελεγξιμότητα, παρατηρησιμότητα , ευστάθεια κ.α). Μπορούμε να μελετήσουμε τα άλλα χαρακτηριστικά ενός δυναμικού συστήματος, εισάγοντας την έννοια του χώρου κατάστασης και καταφεύγοντας στη χρήση ενός συνόλου Ν μεταβλητών – Καταστατικές Μεταβλητές.

6 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE)
H καταστατική μεταβλητή, ή κατάσταση (state) ενός δυναμικού συστήματος, ορίζεται ως το σύνολο της ελάχιστης πληροφορίας τη χρονική στιγμή t0 που πρέπει να είναι γνωστή, η οποία μαζί με τη γνώση της εισόδου u(t) για tt0 . Η κατάσταση (state) συμβολίζεται x(t) 6

7 Παρατηρήσεις: Η κατάσταση (state) x(t) ενός δυναμικού συστήματος συσσωρεύει όλη την απαραίτητη ιστορία του συστήματος μέχρι και τη χρονική στιγμή t0. Η τιμή της κατάστασης, τη χρονική στιγμή t0 x(t0) είναι ανεξάρτητη από τη συγκεκριμένη πορεία που ακολούθησε το σύστημα για να φθάσει στην τιμή αυτή. Ο ορισμός της καταστατικής μεταβλητής x(t) δεν περιορίζεται σε γραμμικά ή/και χρονικά αμετάβλητα συστήματα. Ένα δυναμικό σύστημα συνήθως έχει παραπάνω από μια κατάσταση (state) x(t). Το σύνολο των μεταβλητών που καθορίζουν την συνολική κατάσταση ενός συστήματος, είναι γνωστές ως μεταβλητές κατάστασης, θεωρούνται ότι αποτελούν τις Ν, συνιστώσες ενός διανύσματος που ορίζεται ως διάνυσμα κατάστασης. Ν είναι η διάσταση του διανύσματος κατάστασης. 7

8 5. Οι μεταβλητές κατάστασης x(t) μπορεί να είναι ή και να μην είναι μετρήσιμα (με πειραματικό ή πραγματικό τρόπο) μεγέθη, σε αντίθεση με την έξοδο y(t) και την είσοδο u(t) που είναι πάντα μετρήσιμα μεγέθη. 6. Η επιλογή των μεταβλητών κατάστασης, x(t), δεν είναι μονοσήμαντη, αλλά υπάρχουν παραπάνω από ενός τρόπου για να περιγράψουμε ένα δυναμικό σύστημα στο χώρο της κατάστασης, 7. Το σύνολο των αρχικών συνθηκών ενός δυναμικού συστήματος, τη χρονική στιγμή t= t0 είναι γνωστό ως η αρχική κατάσταση του συστήματος, x(t0).

9 2. Θα πρέπει μα είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους.
Ανεξάρτητα από τη διαδικασία επιλογής τους, οι μεταβλητές κατάστασης πρέπει να πληρούν δυο βασικές προϋποθέσεις. Το ελάχιστο πλήθος τους θα πρέπει να είναι ίσο με την τάξη της Διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει το δυναμικό σύστημα προς μελέτη. 2. Θα πρέπει μα είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. 9

10 Παράδειγμα 1 Έστω ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα με κρουστική απόκριση  h(t) = e-t s(t) Τη χρονική στιγμή t0 εφαρμόζουμε την είσοδο u(t), t t0. Εάν το σύστημα είναι σε ηρεμία τη χρονική στιγμή t0, τότε η έξοδος δίνεται ως

11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)
Εάν το σύστημα δεν είναι σε ηρεμία, τότε υποθέτουμε ότι κάποια (άγνωστη σε μας) είσοδος u’(t), έφερε το σύστημα στην ενεργειακή του κατάσταση τη στιγμή t0. Τότε ή όπου Η c(t0) είναι μια μεταβλητή κατάστασης του συστήματος. Η γνώση της για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t0, σε συνδυασμό με τη γνώση της εισόδου από τη στιγμή αυτή και πέρα, μας πληροφορεί πλήρως για τη συμπεριφορά του συστήματος. 11

12 Για Γραμμικά Συστήματα ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
Γενική μορφή των Δυναμικών Καταστατικών εξισώσεων (στο εξής μόνο καταστατικές εξισώσεις) Για Γραμμικά Συστήματα ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) όπου x(t): η κατάσταση –Ν-διαστάσεων u(t): η είσοδος – Κ –διαστάσεων y(t): η έξοδος – L – διαστάσεων 12

13 Η πρώτη εξίσωση είναι γνωστή ως η κατάσταση του συστήματος ενώ δεύτερη ως η εξίσωση εξόδου του. Οι πίνακες που εμφανίζονται στις καταστατικές εξισώσεις χαρακτηρίζονται από τις ακόλουθες ιδιότητες: Ο Α(t) έχει διαστάσεις Ν x N και ονομάζεται πίνακας συστήματος Ο B(t) έχει διαστάσεις Ν x K και ονομάζεται πίνακας εισόδου. Ο C(t) έχει διαστάσεις L x N και ονομάζεται πίνακας μέτρησης. Ο D(t) έχει διαστάσεις L x K και ονομάζεται πίνακας εξόδου (είσοδος) Παρατήρηση: Συνήθως ο πίνακας D είναι μηδέν.

14 (όπου οι διαστάσεις των μεταβλητών και πινάκων ορίζονται αναλόγως)
Για Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα συστήματα οι καταστατικές εξισώσεις είναι ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) όπου οι μεταβλητές x(t), u(t), y(t) και οι πίνακες Α, Β, C και D ορίζονται όπως και στην περίπτωση των γραμμικών αλλά χρονικά μεταβαλλόμενων συστήμάτων Τέλος για SISO (βιβλίο –Θεοδωρίδης) οι καταστατικές εξισώσεις είναι για ΓΧΑ συστήματα. ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = cTx(t) + du(t) (όπου οι διαστάσεις των μεταβλητών και πινάκων ορίζονται αναλόγως) Παρατήρηση: Στα SISO συστήματα, το δυναμικό σύστημα διεγείρεται από μια μόνο είσοδο u(t) και παρέχει μια μόνο έξοδο y(t). 14