YFO0010 Sissejuhatus okeanograafiasse ja limnoloogiasse 7. Veekogude modelleerimise põhimõtted

Käsitleme: Mudelite üldpõhimõtted Mittelineaarsed protsessid ja kaos Numbrilised mudelid Rakenduslik modelleerimine Mudelite terminoloogia

Modelleerimise ülesanded operatiivne prognoos toimub reaalajas operatiivtegevuse planeerimiseks olulised loodusnähtused: üleujutused, tormid, sissevoolud, jäätingimused, vetikate vohamine inimetegevuse mõjud: avariilised lekked, setete kaadamine jne stsenaariumide hinnang pikaajalise mõjuga meetmete efektiivsuse hinnang, võrdlevad arvutused eri variantide jaoks puhastusseadmete ehitamine, hajureostuse piiramine jne + kliima stsenaariumid uuringuline modelleerimine

Mudelite usaldusväärsus Verifitseerimata mudel on “COMPUTER GAME” kalibreerimine verifitseerimine “töötamine” Varieeritakse kontrollparameetreid, kuni saadakse parim kokkulangevus vaatlusandmetega Mudeli tulemusi kontrollitakse selle perioodi vaatlusandmetega, mida ei kasutatud kalibreerimisel Verifitseerimise alusel usutakse, et mudel töötab ka nendel tingimustel, mida pole otseselt kontrollitud Verifitseerimata mudel on “COMPUTER GAME”

Dünaamilised välismõjud Mereprotsesside mudelid K S M Atmosfäär jää (paksus, liigid, kontsentratsioon ) tsirkulatsioon (hoovused, veetase, T/S ) turbulents Tuul T T Kiirgus K Sademed S triiv (õlireostus, pinnavetikad jne ) K N H Jõed (kõrgus, periood, suund ) lained ökosüsteem (hapnik, toitained, füto- ja zooplankton /süsinik, primaarproduktsioon ) toitahelad Magevesi M Toitained N setted (resuspensioon, transport, settimine ) Heljum H

Füüsikaline süsteem Atmosfäär-ookean süsteem Päikesekiirgus Pikalaineline kiirgus Atmosfäär-ookean süsteem Potentsiaalne energia Kineetiline energia Dissipatsioon hõõrdumise tõttu

Veekogude dünaamika võrrandite iseloom Newtoni II seadus massiühiku kohta Kiirendus võib olla vedelikus (vesi, õhk) mittelineaarne Lineaarses süsteemis on käitumise täpsus määratud algtingimuste ja välisjõudude täpsusega. Mittelineaarses süsteemis ei ole käitumine välisjõududega võrdeline ning võib esineda kaose tunnuseid - süsteem võib käituda nii, et tema olek pole täpselt prognoositav. Väikesed algtingimuste ja välismõjude muutused võivad põhjustada süsteemi oleku suuri kõrvalekaldeid. Kiirenduse mittelineaarsusest on tingitud turbulents. Ökosüsteemi olekumuutujate seosed (kiskja-saak ahelad) on üldjuhul samuti mittelineaarsed. Keskmistatud suuruste jaoks sõltub mittelineaarsuse aste liikumise mastaabist.

Mittelineaarsus ja kaos Poincare  kaos on eriline tundlikkus algtingimuste vigadele Kaos = determineeritud korrapäratus, stabiilsuskadu esineb teatud rezhiimidel Kaootiline süsteem on täpselt prognoosimatu bifurkatsioon Lorentz’i “liblika efekt”

Stohhastiline ja determininistlik süsteem võivad käituda väliselt sarnaselt deterministlik

“Lihtsad” mittelineaarsed süsteemid Deterministlik: Kõik on määratud olekuruumis ühe punktiga. See kirjeldus määrab üheselt tuleviku. Stohhastiline: Praeguse oleku ükskõik kui täpne teadmine ei määra tulevikku. Kas süsteem on stohhastiline või deterministlik? Paljudimensioonilist deterministlikku kaootilist (mittelineaarset) süsteemi saab modelleerida kui stohhastilist. Autonoomse deterministliku süsteemi faasitrajektoor ei lõika kunagi iseennast. Prognoosi ebatäpsuse põhjused: algtingimuste vead mudeli ebatäpsused (parameetrid, struktuur) Mere- ja atmosfääridünaamika mudelid aluseks mittelineaarsed osatuletistega diferentsiaalvõrrandid diskretiseerimise ja lineariseerimisega taandatakse harilike võrrandite süsteemile, see on üks ebatäpsuste põhjus võrgupunkte on tohutu arv (piiratud arvuti võimsusega)

Prognoositäpsuse suurendamine  “ansambli” prognoos erinevad mudelprognoosid lahknevad (andmete ja mudelite erinevuse tõttu) teatud aja jooksul erinevaid mudelprognoose võrreldakse ja leitakse keskmine (parim) veekogude lühiajalise prognoosi suurim määramatus tuleneb sageli ilmaprognoosist Ilmaprognoosi vead Sesoonsed ja pikaajalised prognoosid vaadeldakse aeglasemalt muutuvaid keskmisi suuruseid, lühiajalised muutused (ilm, keerised, frondid) ei huvita ajaline keskmistamine tähendab üldjuhul ka ruumilist keskmistamist lühiajaliste muutuste mõju tuleb parametriseerida (nagu ka turbulentsi mõju)

Numbrilised mudelid Veekogude mudelite (mittelineaarseid) võrrandeid ei saa reaalse topograafia korral analüütiliselt lahendada. Olulised olekumuutujad (kiirus, rõhk, temperatuur jne) on vaja esitada ligikaudselt lõpliku hulga arvuliste väärtuste kaudu, mida saab panna arvutiprogrammi massiividesse (vektorid, maatriksid jne). Olekumuutujate evolutsioon ühest ajahetkest teise ajahetkeni (ajasamm Δt) kirjutatakse lahti lõplike vahede abil “vabaliikme” (sisaldab tundmatuid olekumuutujaid) paiknemine ajasammu suhtes määrab mudeli ajalise skeemi, millest sõltub lähendustäpsus, numbriline stabiilsus ja arvutusmahukus ilmutamata skeem pool-ilmutamata skeem ilmutatud skeem

Võrgupunktide (diferents-) meetod esimene tuletis Taylori rea kaudu on teist järku täpsusega  võrgusammu kahanemisel viga kahaneb võrdeliselt võrgusammu ruuduga Olekumuutujate paigutamiseks ristvõrgule on palju võimalusi, igal skeemil on oma plussid/miinused Arakawa töötas välja terve rea konservatiivseid skeeme:  massi/koguhulkade jäävus  energia minimaalne dissipatsioon  minimaalne “malelaua” muster Arakawa C-võrk

Horisontaalsed ristvõrgud igas punktis on võrgusihid teineteisega risti (ortogonaalsed) ristvõrk võib olla ka kõverjooneline globaalsete ülesannete ja suuremate piirkondade jaoks kasutatakse sfäärilisi võrke  koordinaatideks on geograafiline laius ja geograafiline pikkus

Horisontaalsete ristvõrkude tüüpe seotud arvutusvõrgud

Hoovuste 4-tasemeline 3D mudel Võrk 2;dx=1 miil Võrk 3; dx=1/4 miili=463 m Võrk 1 dx=4 miili 7.411 km Võrk 4; dx=1/16 miili= 115 m Jüri Elken

Modelleeritud ja mõõdetud hoovuste võrdlus Jüri Elken

Lõplike elementide meetod kasutab horisontaalvõrgu konstrueerimiseks muutuva sammuga triangulatsiooni

z-koordinaatides võrk Vertikaalsed võrgud probleemiks on stratifikatsiooni hüppekihtide ja põhjareljeefi üheaegne võimalikult täpne esitus z-koordinaatides võrgud järgivad halvasti põhjareljeefi σ-koordinaatides võrgud järgivad halvasti stratifikatsiooni isopüknilistes koordinaatides liigub võrk koos hüppekihtidega, halvasti järgitakse läbisegunenud kihte kus tiheduse kihistus puudub hübriidsed võrgud kasutavad tugevalt stratifitseeritud kihtides isopüknilisi koordinaate ning vähe stratifitseeritud kihtides vertikaalselt liikuvaid σ-koordinaate z-koordinaatides võrk σ-koordinaatides võrk “välja venitatud” veepinna ja põhja vahel “füüsiline” “arvutuslik”

Parametriseerimine Protsesse, mille mastaap on väiksem kui võrgupesa (grid cell) suurus, ei ole võimalik otseselt lahendada ja nende mõju olekumuutujatele tuleb avaldada lahendatavate olekumuutujate kaudu = parametriseerimine. Näide: kui keskmisel kiirusel on suurem nihe (samasuunaliste kiiruste muutus risti kiiruse suunaga), siis tavaliselt tekib suurem segunemine (väikeste keeriste tõttu), ning parametriseerimine suurendab sel juhul turbulentse viskoossuse/difusiooni koefitsienti. Näide: võrgul sammuga 1 x 1 miili (kogu Läänemere mudelite praegu väikseim võrgusamm) pole võimalik arvesse võtta üksikuid pinna- ja siselaineid. Nende mõju parametriseeritakse kui täiendav segunemine. Näide: tuule poolt veepinnale mõjuv hoovuseid tekitav jõud - tuulepinge - parametriseeritakse ruutsõltuvusega keskmisest tuule kiirusest ja tuulepuhanguid ei arvestata

Mudeli soojenemine (spinup) Pole võimalik ette anda mudeli täpseid algtingimusi. Samuti ei tarvitse erinevad olekumuutujad olla omavahel kooskõlas. Tsirkulatsioonimudeli lähtestamisel antakse tavaliselt ette vaatlusandmetest interpoleeritud temperatuuri ja soolsuse jaotused, mis võrreldes tegelike väljadega on liiga “siledad”. Kiirusväli ja veetase on nii väikeste ruumiliste ja ajaliste korrelatsioonimastaapidega, et neid pole võimalik interpoleerida. Seetõttu võetakse kiirused ja veetase nulliks. Kiirusvälja “mälu” on väiksemates veekogudes sageli ainult mõned päevad. Mudeli soojenemise aeg (olekumuutujate vastastikune kohandumine, algtingimuste mõju osaline “kadumine”) kestab sõltuvalt algtingimuste täpsusest kuni kaks-kolm basseini viibeaega. Mudeli soojenemise aeg jäetakse tulemuste analüüsist kõrvale.

Veekogude mudelite eelised kvantitatiivsed, korratavad ja varieeritavad stsenaariumid ning prognoosid üha realistlikumates lähendustes Veekogude mudelite piirangud Lähendused: võrrandid (diskretiseerimine, mastaapide piirangud), püütakse ületada suurema lahutusvõime kaudu lahendamata võrgualused protsessid (parametriseerimine), püütakse ületada paremate seoste ja “kalibreerimise” kaudu mudelite soojenemine: ebatäpne algolek (süsteemi kaootiline iseloom), püütakse ületada edasi-tagasi adjoint andmete assimileerimise kaudu ebatäpsed (kooskõlastamata) välismõjud, püütakse ületada eri süsteemide mudelite “paaritamise” (model coupling) kaudu Tulevik: kõrgem lahutus (võimsamad arvutid), parem parametriseerimine, kuid ideaalselt “täpne” lahend pole kunagi võimalik

Mida on rakenduslikuks modelleerimiseks vaja? ülesande püstitus, probleemid ja meetmed mudeli püstituse valik ja mudeli variandi ehitus välismõjude, sh. koormuse andmed eriotstarbeline seire eriotstarbelised uuringud mudeli kalibreerimine ja verifitseerimine võimalike meetmete tagajärgede arvutused

Näide Tallinna lahe reostuskoormuse mõjude projektist Baas-aasta 1994 põhjal uuriti: P, N koormuse muutuse mõju meetmeid kolibakterite vähendamiseks Urmas Lips, Urmas Raudsepp

Reostuskoormuse mõõtmise punktid

Eriotstarbeline seire

Mudeli kalibreerimine aastase käigu põhjal

Stsenaariumide arvutus Järeldused Tallinna lahele annab suurima paranemise Pirita jõe kogutud hajureostuse vähendamine Kopli lahele annab suurima paranemise väikeste puhastusseadmetega ühendamata sisselaskude vähendamine

Meremudelite terminoloogia (1) Programmitekst (Source code) Arvutiprogramm, mis realiseerib numbrilisi meetodeid, andmete sisendeid ja väljundeid. Tavaliselt kasutatakse programmeerimiskeelt FORTRAN. Tavaliselt koosneb paljudest alamprogrammidest, mida koordineerib põhiprogramm. Arvutusvõimsuste paremaks ärakasutamiseks on sageli võimalus teha paralleelselt arvutusi paljudel protsessoritel (nt Linux Cluster). Erinevate mudelite (tsirkulatsioon, atmosfäär, lained jne) koostöötamine on tagatud skriptidega (batch processing) ja paaritamisliidestega (coupling interface). Arvutusvõrk, lahutusvõime (Grid or resolution) Reaalne bassein diskretiseeritakse sobivate horisontaalsete ja vertikaalsete võrgusammudega. Valiku juures on esmatähtis majanduslik “kulud-tulud” (cost-benefit) planeerimine. Mida väiksemad võrgusammud, seda rohkem arvutusi ning pikem arvutusaeg (või võimsam “superkompuuter”). Väiksem võrgusamm tähendab tavaliselt ühtlasi ka väiksemat ajasammu. Etteantud perioodi arvutus võib seetõttu kõrgema lahutusvõime korral veelgi pikeneda. Ajasamm (Timestep) Ajavahemik järjestikuste mudelivõrku olekukute vahel. Ajasammu kuldreegel: peab olema väiksem kui “signaali” (erinevate protsesside tõttu) ühest võrgupunktist teise võrgupunkti leviku aeg. Ilmutamata ajaliste skeemide korral võib ajasamm olla pikem kõrgsageduslike protsesside moonutamise hinnaga.

Meremudelite terminoloogia (2) Prognostilised muutujad (prognostic variables) Süsteemi olekumuutujad (näiteks horisontaalkiirused, temperatuur jne), mille evolutsiooni arvutatakse otseselt ajalisi tuletisi sisaldavate võrrandite abil, või kombinatsioonina nende kaudu. Numbriline meetod (Numerical method) Lähtevõrrandite (tavaliselt vedeliku hüdro- ja termodünaamika võrrandite) diskretiseerimise ja lahendamise meetodid. Lähtevõrranditel võivad enestel olla eelnevad lihtsustused (primitiivsed võrrandid hüdrostaatilises ja/või Boussinesq’i lähendused, 2D madala vee võrrandid, kvaasigeostroofilised võrrandid jne). Mudeli parameetrid (Parameters) Mudeli võrgualuste protsesside parametriseerimisel ilmnevad konstandid, mille valikust sõltub mudeli tulemuste kokkulangevus vaatlusandmetega. Parameetrite parima lähenduse leidmist nimetatakse kalibreerimiseks. “Heas” parametriseerimises pole parameetrid koht/aeg-spetsiifilised, vaid universaalsed konstandid antud protsesside “perekonna” jaoks. Initsialiseerimine, lähtestamine (Initialization) Tavaliselt antakse algtingimustena ette temperatuur ja soolsus, ökosüsteemi korral toitained, hapnik, plankton jne. Kiiruse ja veetaseme osas alustatakse tavaliselt “puhkeolekust” (rest) (st kõikjal u = v = w = 0).

Meremudelite terminoloogia (3) Mudeljooks, mudeli integreerimine (Model run or integration) Mudeliga tehtavad arvutused, mille kestel mudeli olekud arenevad järjestikuste ajasammude võrra. Tavaliselt piiratakse ühekordne mudeljooksu arvutusaeg mõne päevaga (vahel ka mõni päev, erandjuhul mõned kuud). Sõltuvalt mudeli lahutusvõimest ning arvutuspiirkonna suurusest jõuab üks mudeljooks simuleerida füüsilist aega mõni kuu kuni mõnikümmend aastat. Pikemate ajavahemike modelleerimiseks kasutatakse vähendatud komplekssusega ja/või lahutusvõimega mudeleid. Mõjud läbi veepinna (Surface forcing) Tsirkulatsioonimudelid vajavad atmosfääri mõjusid: tuul, soojusvahetus (Päiksekiirgus, pikalaineline kiirgus, soojusjuhtivus, peitsoojus) ja magevee vahetus (sademed, aurumine, magevee vool maismaalt). Tavaliselt antakse atmosfääri mõjud ette vaatlusandmete põhjal. Vastasmõjude paremaks arvestamiseks kasutatakse üha rohkem seotud meri-atmosfäär mudeleid. Võrdse arvutusmahuga mudelite dünaamilise seostamise tehnoloogiat nimetatakse mudelite paaritamiseks (model coupling). Rajatingimused (Boundary conditions) “Avatud radadel”, kus mudeli arvutuspiirkonna “äär” paikneb meres, tuleb ette anda vee voolamine ning teiste prognostiliste muutujate vood. Kui avatud raja tingimused võetakse suurema piirkonna väiksema lahutusvõimega mudelist, siis vastava tehnoloogia nimetus on nesting (seotud arvutusvõrgud).