به نام خدا

گذار فاز

پديدة گذار فاز پديده‌‌اي است كه با بروز يك ناپيوستگي در ترموديناميك يك دستگاه همراه است. گذار فاز مرتبة اول: تابع گيبس در طي تغيير فاز ثابت مي‌ماند و شامل تغييراتي در آنتردپي (s) و حجم (v) هستند مانند فرآيند جوش – ميعان گذار فاز مرتبة دوم و بالاتر: گذارهايي كه بدون تغيير ناگهاني در چگالي با يك تغيير ناگهاني در گرماي ويژه همراه است. در اين گذارها شكست تقارن بدون تغيير حالت است. مثل تبديل مواد يا رامغناطيس به مواد فرد مغناطيس در اين حالت پارامتر نظم است و بدون اينكه سيستم تغيير حالت پيدا كند سيستم تقارنش را نسبت به دوران از دست مي‌دهد.

جايگاه پديده گذار در حل مسايل به روش آماري تحليل پديده‌هاي فيزيكي در مكانيك آماري به طور كلي به دو دسته تقسيم مي‌شود: دستة اول: ساختارهاي ميكروسكوپي سيستم غير بر هم كنشي هستند و در نتيجه تابع ترموديناميكي سيستم به طور مستقيم از دانش به ترازهاي انرژي متعدد به دست مي‌آيد. دستة دوم: كه پديدة گذار فاز به اين روش بررسي مي‌شود، تحليل نقطة تكينة تابع ترموديناميمي است.

پديدة فرو مغناطيس در بعضي از فلزات كسري از اسپين اتمها در دماي پايين‌تر از دماي خاصي (دماي بحراني) در يك جهت خاص تطبيده مي‌شوند و يك ميدان مغناطيسي خود بخودي ايجاد مي‌كنند. مطالعة اساسي در گذار فاز مطالعه رفتار سيستم در همسايگي نقطة بحراني است.

مدل آيزينگ هر جا كه با زنجيري از يك خصوصيت و يا با انتشاري كه همسايگي در آن نقش مهمي داشته باشد مدل آيزينگ را مي‌توان آزمود. مثلاً بررسي يك بيماري مسري و انتشار آن در يك جامعه و يا ارتباط شركتهاي تجاري و بر هم كنش آنها با هم و همچنين در موقعيت‌هايي كه پارامتر يا كميت خاصي از سيستم دو انتخاب براي مقدار گيري داشته باشد يا بتوان تعداد اين انتخاب‌ها را به دو مقدار تقليل داد.

مدل آيزينگ در گذار پارامغناطيس- فرو مغناطيس براي حل سيستمهاي شيميايي- فيزيكي كه دستخوش انتقال فاز مي‌شوند بوسيلة آرايش شبكه‌اي كه فقط نيروهاي بر هم كنشي اتمهايي كه در همسايگي هم هستند را در نظر مي‌گيريم كه نحوة‌ آرايش (اشغال فضا) اين برهم كنش‌ها را تغيير مي‌دهد اين مدل خواص ترموديناميكي پديده‌ها را تغيير نمي‌دهد. مدل آيزينگ تلاشي است براي شبيه‌سازي ساختار يك جسم فرومغناطيس و مزيت اصلي آن اينست كه اين مدل در دو بعد به بررسي دقيق در مكانيك آماري منجر مي‌شود.

مدل آيزينگ در گذار پارامغناطيس- فرو مغناطيس در اين مدل سيستم به صورت آرايه‌اي از N نقطة ثابت كه جايگاههاي شبكه ناميده مي‌شود و در نظر گرفته مي‌شود. اين آرايه شبكه n بعدي را تشكيل مي‌دهد كه يك متغيير اسپيني به هر جايگاه شبكه نسبت داده مي‌شود كه عددي برابر 1+ يا 1- است. معرف يك پيكربندي است. شكل يك نمونه‌اي از يك پيكربندي براي سيستمي با 5 جايگاه است كه پيكربندي اين شكل {1-، 1+، 1+، 1-، 1+}={δ1}است. شكل (1)

مدل آيزينگ در گذار پارامغناطيس- فرو مغناطيس انرژي سيستم در يك پيكره بندي {δi } جملة اول ناشي از بر هم كنش اسپيني نزديكترين همسايه است كه در اين رابطه J ثابت جفت شدگي يا متبادلي نام دارد كه تابعي از فاصلة بين دو اسپين است مي‌تواند مثبت (در مواد فرومغناطيس) يا منفي (مواد پارامغناطيس) باشد. فرض مي‌كنيم كه J به مكان ذرة i و j بستگي نداشته باشد. n.n معرف نزديكترين همسايه‌هاي هر جايگاه است و 9 تعداد اين همسايه‌ها، هندسه شبكه از طريق J , q وارد مسأله مي‌شود. جمله دوم ميانگين برهم كنش تك تك اسپين‌ها با ميدان مغناطيسي است.

بررسي مدل آيزينگ در يكبعد در بررسي اين مدل ما از مدل ماتريس انتقال پيروي مي‌كنيم. با استفاده از خاصيت تبادلي شبكه بلوري ما مي‌توانيم ساختار بسته و متناهي را جايگزين شبكه متناوب بكنيم. بنابراين ساختار مربوط به شبكه يكبعدي منحني بسته‌اي است كه N امين عضو شبكه در كنار اولين اسپين قرار مي‌گيرد.

بررسي مدل آيزينگ در يك بعد تابع پارش سيستم

ويژه مقادير ماتريس p ، تابع پارش يك جايگاه است كه چون مي‌توان گفت نقش اساسي را در توصيف خواص فيزيكي سيستم ويژه مقدار بزرگتر دارد.

محاسبه كميتهاي ترموديناميكي سيستم و دماي گذار

در غياب ميدان مغناطيسي، مغناطيسدگي سيستم صفر است البته اين در شرايطي است كه سيستم به دماي گذار و پس از آن نرسيده باشد در آن صورت ما مغناطيسدگي خودبخودي خواهيم داشت. براي تمامي مقادير معين B يا بعبارتي 0 ≠ T براي پس M در T= 0 پيوسته نمي‌باشد TC= 0 C نقطه‌گذار مي‌ناميم

اما بر اساس تقريب اول (تقريب Beth) كه در آيزينگ يكبعدي مي‌توان نشان داد كه به نتايج دقيق فيزيكي مي‌رسد ما در يكبعد گذار نداريم. تقريب اول در اين تقريب وقتي يك جايگاه سيستم را جايگاه مركزي مي‌گيرد علاوه بر هم كنش‌هايي كه در مدل آيزينگ در نظر گرفته مي‌شود برهم كنش اسپينهاي همسايه با ميدان مغناطيسي كل (شامل ميدان مغناطيسي خارجي + ميدان ذاتي متوسط) هم وارد مي‌شود. يكي از دلايل مطرح كردن مدل آيزينگ در يكبعد نشان دادن اين است كه تقريب اول در يكبعد به نتايج دقيقي مي‌رسد

كميتهاي ترموديناميكي در غياب B در غياب ميدان مغناطيسي گرماي ويژه به سمت صفرمين مي‌كند. درحد

تئوري پديده شناختي لاندائو اين پديده در مورد گزارهاي فاز مرتبة دوم كه در نقطة گذار شكست تقارن داريم اتفاق مي‌‌افتد. لاندائو از نظريه گروهها استفاده كرد و تغيير تقارن در شبكه به هنگام گذار را به صورت بسطي از زيرگروهها در نظر گرفت و انرژي ترموديناميكي سيستم را به صورت تابعي از كميتهاي ترموديناميكي اختياري در نظر گرفت و بر حسب پارامتر منظم بسط داد و با استفاده از اين نكته كه انرژي سيستم در نقطة گذار كمترين مقدار خود را دارد پارامتر نظم را محاسبه كرد و بر اساس آن ناپيوستگي در گرماي ويژه را توجيه كرد.

محاسبة انرژي آزاد سيستم در نزديكي نقطة بحراني

فرضية مقياسي

محاسبة انرژي آزاد سيستم در نزديكي نقطة بحراني

محاسبة تابع پارش بوسيلة مدل آيزينگ براي زنجيرة باز

آيزينگ مدل در دو بعد مي‌خواهيم تابع توزيع را براي دماي بالا و دماي پائين استخراج كنيم و يك رابطه بين اين دو به دست آوريم

مدل كروي با ابعاد دلخواه:

برای Nj>>1 ,جمع روی nj می تواند با انتگرال جايگزين شود. با نوشتن بدست مي آوريم: که I0(x) تابع تغيير يافته است.

پس که تابع داتسون است که به شکل زير تعريف می شود : که تابع داتسون است که به شکل زير تعريف می شود : رابطه های (19) و (21) به شکل زير در مي آيند : (19) 

رفتار مجانبی برای به صورت زير آمده است: For d < 2 For d = 2 For 4 < d <2 For d = 4 For d > 4 وقتی از بالا به دمای بحرانی نزديک شويم ، پارامتر کمتر مي شود ودر Tc وتمام دماهاي کمتر از Tc صفر می شود.

(II) رفتار بحرانی : می خواهيم خصوصيات فيزيکی مختلف مدل کروی ميانگين را برای رده های مختلف d بررسي کنيم. الف)d<2 . با توجه به تابع داتسون برای d<2 و جايگذاري در رابطه (32a) با B=0 ، به دست مي آوريم: KB ثابت بولتزمن است. ميبينيم که در اين حالت در صورتی صفر ميشود که T0 يعني گذار فاز در Tc=0 اتفاق مي- افتد.روابط (20b) و (23) و(24) و(25) پذيرفتاری در دمای پايين و گرماي ويژه را مي دهند.

ب)d=2 .با توجه به داتسون برای d=2 داريم : دوباره در Tc=0 گذار اتفاق مي افتد.اما در دماهاي پايين : ج)2 < d < 4 .با توجه به تابع داتسون برای اين d و رابطه (32a) داريم :

اکنون نقطه بحرانی با قرار دادن B=0 و 0 تعيين ميشود و تغييرات با T وقتی که به نقطه بحرانی نزديک مي شويم با رابطه زير داده مي شود: وقتی صفر مي شود ، برای همه دماهای پايين تر صفر مي ماند. و در نتيجه : و برای T <= Tc بينهايت ميشود.

و برای T <= Tc ب صفرميل می کند. با توجه به رابطه (32b) و (40) وقتی B  0 قرار دهيم: و نهايتا اگر در رابطه (39) ، B را نگه داريم اما T= Tc قرار دهيم بدست می آوريم: با استفاد ازتعريف m به شکل و روابط (20a)و(24) و(25) داريم :

در نتيجه ميتوان توانهای بحرانی را برای اين سيستم پيدا کرد در نتيجه ميتوان توانهای بحرانی را برای اين سيستم پيدا کرد .اينها ، پارامترهايي برای تعيين چگونگی رفتار بحرانی سيستم هستند.زيرا مسئله اصلی در گذار فاز ،بررسی رفتار سيستم در نزديکی نقطه بحرانی است و ميدانيم که اين رفتار با کميتهای فيزيکی مختلفی از سيستم که درنقطه بحرانی يکتا هستند تعيين ميشود يکی از آنها مربوط به m است که m کميت نظم تعريف مي شود و مربوط به نظم ميدان h است که در حد h0 ، m به مقدار محدود m0 ميل ميکند که برای T>= Tc ،m0=0 و برای T< Tc ، m0≠0 است .برای يک سيستم مغاطيسی m همان و h همان کميت است.کميت β به شکل زير تعريف مي شود : با توجه به اينکه وقتی از بالا به دمای گذار نزديک مي شويم ،پذيرفتاری x0 در ميدان ضعيف واگرا مي شود،کميتγبه شکل زير تعريف مي شود: For h0 , T>Tc

درنهايت α را برحسبcv تعريف می کنيم : وکميت γ به شکل زير تعريف ميشود: ( T=Tc , h  0 ) درنهايت α را برحسبcv تعريف می کنيم : ( T>Tc ) بنابراين توانهای بحرانی برای اين سيستم عبارتند از :

د)d>4 .تابع داتسون برای ای حالت عبارتست از : برای اين حالت هم شرط حالت بحرانی همان معادله (40) است . کميتهای فيزيکی سيستم با روابط زير مشخص ميشوند: (32a)و(52) (46)

پس توانهای بحراني برای اين حالت عبارتند از : ه)d=4. برای اين حالت داريم : دوباره برای حالت تعادل داريم : و با توجه به رابطه (32a) داريم: با معرفی يک پارامتر قراردادي : به دست مي آوريم :

و کميتهاي ترموديناميکي از روابط زير بدست مي آيند:

اهميت فيزيکی مدل کروی با در نظر گرفتن قيد (3 ) حتی قيد (19) بايد ببينيم مدل کروی چگونه از ديد فيزيکی تعبير مي -شود.همانطورکه استنلی(1968-1969) اولين بار نشان داد ، مدل کروی نمايش درستی از مدل n-بردار (n∞) با بر همکنش با نزديکترين همسايه را نشان مي دهد.کاکوتامسون(1971) هم اين مسئله را نشان دادند.اين ارتباط از ماهيت قيدی که بر مدل اعمال شده است حاصل می شود که يک بردار سوپر اسپين با N درجه آزادی را معرفی می کند. مي توان انتظار داشت که وقتیN∞ مدل همانگونه آزادی را پيدا می کند که مدلn-برداری وقتی n∞ دارد .اين ارتباط مدل کروی را به عنوان راهنمای خوبی برای همه مدلهای با تقارن پيوسته قرار مي دهد مثلا برای n>2 از آنجا که اين مدل ابعاد دلخواه دقيقا حل می شود،اين ايده را می- دهد که انتظاری بايد از بقيه مدلها با n دلخواه داشت .مثلا برای d>4 ،توانهای بحرانی ،همان مقاديری هستند که از تئوری ميدا ميانگين بدست می آيند. درنظريه ميدان ميانگين ، افت وخيزها قابل چشم پوشی هستند .اما در ميان تمام مدلهای مختلفی که در نظر گرفتيم ،افت و خيزها در مدل کروی از همه بيشتر است،زيرا بزرگترين درجه آزادی را دارد .برای d>4 ،افت وخيزها در مدل کروی قابل چشم پوشی می شوند ،پس در مدلهای با n محدود ،اين افت و خيزها به مراتب کم اهميت تر می شوند .پس نتيجه می دهد بدون توجه به مقدار واقعی n ،تئوری ميدان ميانگين بايد برای تمام مدلها وقتیd>4 است، برقرار باشد. اما برای d<4 ،نتيجه نهايي به n بستگی دارد . در اين حالت مدل کروی می تواند نقطه شروعی باشد که نشان می دهد هر يک از مدلها با n محدود، چگونه رفتار می کند.

پايان