Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnunar - Tölfræðileg gæðastjórnun - 21.9.2018 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnunar - Tölfræðileg gæðastjórnun - Eggert Þ. Þórarinsson M.sc. í vélaverkfræði 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 1 Nafn fyrirlesara

Stýririt - heimaverkefni Stýririt fyrir og s eru notuð til þess að fylgjast með tiltekinni framleiðslu. Fjöldi mælinga í sýni er n = 4. Eftir 30 sýnatökur fengust eftirfarandi niðurstöður: i) Finnið +/- 3σ stjórnmörk fyrir og s stýriritin. ii) Finnið +/- 2σ stjórnmörk fyrir s stýriritið. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 2

Sýnatökuáætlanir - Hvað er til ráða? Verið er að skoða innköllun á fæðubótarefni frá erlendum framleiðanda (fyrir Íslandsmarkað) þar sem rangur fylgiseðill var í umbúðum (í einni öskju). Í kjölfarið var ákveðið að skoða allar lotur 100% vegna þess að slíkur galli má ekki eiga sér stað. Það er búið að taka út framleiðandann, en hugmyndin er að innleiða móttökueftirlit til að meta hvort framleiðslan sé í lagi. Á hvaða forsendum byggjum við slíkt móttökueftirlit? 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 3

Tölfræðileg gæðastjórnun 21.9.2018 Tölfræðileg gæðastjórnun Stýririt Sýnatökuáætlanir Tilgátupróf Sætispróf 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 4 Nafn fyrirlesara

Stýririt Stýririt byggja á mælingum. Lykilatriði að mælingarnar endurspegli ástand ferlisins þegar ekkert er að gerast. Safna a.m.k. 100 mælingum. Fylgjast vel með ferlinu á meðan. Leita að mynstrum eða leitni sem gefur til kynna óstaðnað ferli. Finna skýringar á öllu óeðlilegu sem kemur upp á meðan mælingum er safnað. Lágmarka mælióvissu; starfslið, mælitæki, efni, aðferðir, umhverfi o.s.frv. Teikna deplarit. Kanna mögulega fylgni. Lykilatriði að vanda smíði stýririta. Rangar forsendur;  Inngrip tíð, hár kostnaður.  Gæðum hugsanlega ábótavant. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 5

Val á stýriritum 21.9.2018 Nafn fyrirlesara 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 6 Nafn fyrirlesara

Val á stýririt Normaldreift ferli á við þegar: Samfelldar mælingar. Stundum þarf að varpa mælingum til að gera þær normaldreifðar. Margir þættir hafa áhrif á ferlið. X, R, s, MR og fleiri stýririt. Tvíkosta ferli á við þegar: Útkoman er já/nei, 0/1, gölluð/ekki gölluð o.s.frv. Útkoma úr einni mælingu er óháð fyrri mælingum. p og np stýririt. Poisson ferli á við þegar: Verið er að telja fjölda á eining; 0,1,2,3 o.s.frv gallar. c og u stýririt. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 7

Stýrimörk á X – stýriritinu: Stýrimörk á R – stýriritinu: X og R - stýririt X er mælikvarði á meðaltalið. R, meðalspönnin, er mælikvarði á breytileikann. Skiptum mæligildunum í m hópa með n gildum innan hvers hóps. Stýrimörk á X – stýriritinu: Stýrimörk á R – stýriritinu: 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 8

Stýrimörk á X – stýriritinu: Stýrimörk á s – stýriritinu: X og s - stýririt X er mælikvarði á meðaltalið. s, staðalfrávikið, er mælikvarði á breytileikann. Eins og áður skiptum við mæligildunum í m hópa með n gildum innan hvers hóps. Stýrimörk á X – stýriritinu: Stýrimörk á s – stýriritinu: 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 9

Stuðlar fyrir stýririt 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 10

X, R og s - stýririt Ef ekki er notast við +/- 3σ sem stýrimörk þarf að huga að hvernig stuðlarnir A2, D3, D4, A3, B3 og B4 eru reiknaðir út. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 11

Aðrar leiðir en +/- 3σ (e. zone-testing) 1 gildi lendir utan A. 2 gildi af 3 lenda utan B sömu megin við CL. 4 gildi af 5 lenda utan C sömu megin við CL. 8 gildi í röð sömu megin við CL. 15 gildi í röð lenda í C, annað hvort fyrir ofan eða neðan CL. 8 gildi í röð lenda utan C, annað hvort fyrir ofan eða neðan. Aukinn fjöldi af stýrireglum, eykur líkurnar á fölskum viðvörunum; 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 12

PCR - færni ferils (e. process capability ratio) Færni ferils, PCR, er skilgreind sem; Yfirleitt notast við raunverulega færni ferils, PCRk; PCR mælir mögulega færni en PCRk raunverulega færni. PCRk > 1, gildir alltaf. PCRk ≥ 11/3, oftast lágmark. PCRk ≥ 2, ferlið kallað 6σ ferli. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 13

ARL (e. average run length) ARL er mælikvarði á hvenær stýririt sýnir útslag (að meðaltali) eftir breytingu á ferlinu (hliðrun). kσ: hliðrun í stýribreytunni. L(kσ): líkur á að lenda innan stjórnmarkanna eftir hliðrun. Y: fjöldi gilda þangað til við lendum utan stjórnamarkanna. Góð stýririt hafa stór ARL(0) gildi (þegar ferlið er í tölfræðilegu jafnvægi) sem eiga að minnka hratt þegar kσ (hliðrunin) fer stækkandi. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 14

Stýrimörk á p – stýriritinu: Stýrimörk á np – stýriritinu: p, np - stýririt Ef flokka má sýni í 2 flokka, 0/1 eða galla/ógallað er unnt að nota p eða np stýririt. p er gallahlutfall og n er fjöldi sýna, np lýsir því fjölda galla í hóp. Eins og áður skiptum við mæligildunum í m hópa með n gildum innan hvers hóps. D lýsir fjölda gallaðra sýna innan hvers hóps. Stýrimörk á p – stýriritinu: Stýrimörk á np – stýriritinu: 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 15

Stýrimörk á c – stýriritinu: Stýrimörk á u – stýriritinu: c og u - stýririt Hér skiptir máli hversu margir gallar eru í sýni, geta verið 0,1,2,3…. c lýsir fjölda galla í sýni. Meta má c með einföldu meðaltali mælninga. Sambandi c og u er lýst með jöfnunni u = c/n, þar sem n er fjöldi eininga í sýni. u lýsir því fjölda galla per einhverja einingu. Stýrimörk á c – stýriritinu: Stýrimörk á u – stýriritinu: 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 16

Tölfræðileg gæðastjórnun 21.9.2018 Tölfræðileg gæðastjórnun Stýririt Sýnatökuáætlanir Tilgátupróf Sætispróf 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 17 Nafn fyrirlesara

Sýnatökuáætlanir (e. sampling plan) Stýririt eru notuð til að fylgjast með hvort ferli eru í tölfræðilegu jafnvægi. Sýnatökuáætlanir eru hins vegar eftirá eftirlit. Tekin eru sýni, t.d. úr sendingu og á grundvelli þeirra skorið úr um hvort samþykkja eigi sendinguna eða hafna henni. Sýnatökuáætlanir segja til um hversu mörg sýni, n, á að taka og hversu marga galla, c, eigi að leyfa. Þegar teknar eru ákvarðanir á grundvelli sýnatöku geta tvenns konar mistök átt sér stað; 1. Góðu safni er hafnað með líkunum α (e. producers risk). 2. Slæmt safn er samþykkt með líkunum β (e. consumers risk). OC kúrfa sýnir líkurnar á að samþykkja safn sem fall af p, hlutfalli galla í safninu. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 18

OC - kúrfa Dæmigerð einföld sýnatökuáætlun gæti t.d. i) n = 125, c ≤ 5 ii) n = 100, c ≤ 4 OC – kúrfan hér til hliðar sýnir að ef p = 0,05 eru 40% og 25% líkur á að samþykkja safnið í tilvikum i) og ii). Viljum mjög sjaldan lenda í því að hafna söfnun með p < p1 = AQL (Acceptable Quality Level). Þar með er búið að festa einn punkt á OC kúrfunni, venja að nota α = 0,05 Viljum nær alltaf hafna safni með p > p2 = LTPD (Lot Tolerance Percent Defective). Þar með er búið að festa annan punkt á OC kúrfunni, venja að nota β = 0,10. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 19

N, stærð safns, skiptir venjulega litlu máli! OC – kúrfur framhald Algengt er álykta að sýnatökuáætlun eigi að innihalda, t.d. 5%, 10% eða 20% af safni. Skoðum eftirfarandi dæmi: 1. N = 50, n = 5 og c = 0 2. N = 100, n = 10 og c = 0 3. N = 200, n = 20 og c = 0 4. N = 500, n = 50 og c = 0 Með öðrum forsendum fæst: 1. N = 50, n = 20, c = 0 2. N = 100, n = 20, c = 0 3. N = 200, n = 20, c = 0 4. N = 1000, n = 20, c = 0 N, stærð safns, skiptir venjulega litlu máli! 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 20

Einföld sýnatökuáætlun Hægt að beita nomograf við hönnun á einföldum sýnatökuáætlunum. Ef; N = 10.000 n = 90 c = 2 pinn = 0,01 Þá gefur nomograf að líkur á samþykkt séu P ≈ 0,94. Ef tveir punktar á grafinu eru þekktir er hægt að ákvarða þann þriðja. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 21

Tvöföld sýnatökuáætlun Tekin n1 sýni og fjöldi galla, d1 fundinn. Ef d1 ≤ c1 samþykkjum við safnið. Ef d1 ≥ r1 höfnum við safninu og ef c1 < d1 < r1 tökum við viðbótarsýni, n2 og finnum d2. Ef d1 + d2 ≥ r2 höfnum við safninu, annars ekki. Oft notað n1 = n2 eða n2 = 2n1 Aðalkosturinn við tvöfalda sýnatöku umfram einfalda er að hún er betri mælikvarði á sveiflandi gæði vöru. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 22

ASN (e. average sample number) Meðalfjöldi sýna sem þarf til að taka ákvörðun um samþykki eða höfnun á safni sem hefur p sem hlutfall galla. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 23

ATI (e. average total inspection) Meðalgildi heildarfjölda sýna sem er skoðaður í safni með p sem hlutfall galla. Gert er ráð fyrir að hafnað safn sé alskoðað þar sem gölluðum einingum er skipt út eða þær lagfærðar. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 24

AOQ (e. average outgoing quality) Meðalgildi á hlutfalli galla í safni eftir skoðun fyrir gefna sýnatökuáætlun og gefið p-gildi fyrir skoðun. Stærsta gildið sem AOQ(p) tekur fyrir gefið safn og gefna sýnatökuáætlun er AOQL (e. average outgoing quality limit). 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 25

Hönnun á tvöföldum sýnatökuáætlunum Hægt er að hanna tvöfaldar sýnatökuáætlanir beint út frá gildunum á OC-kúrfunni; p1, 1-α, p2 og β. Hönnun: 1. p1, 1-α, p2 og β eru þekkt. 2. Reiknum R = p2/p1 3. Veljum annað hvort n1 = n2 eða n2 = 2n1 4. Veljum viðeigandi töflu og staðsetjum okkur í réttri línu út frá gildinu á R. 5. Lesum c1 og c2 út. n1 má svo reikna út frá gefnum gildum á pn1. n2 fæst í framhaldinu. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 26

Hönnun á tvöföldum sýnatökuáætlunum Dæmi: 1. p1 = 0,01. 1-α = 0,95. p2 = 0,06. β = 0,10. 2. R = p2/p1 = 6. 3. n2 = 2n1 4. R = 6,48, lína 3. 5. c1 = 1. c2 = 3. n1 = 65. n2 = 130. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 27

MIL STD 105D (ISO 2859) Mest notaði staðallinn við sýnatökur. Kerfið hefur 7 stig: I, II, III, S1 S2, S3 og S4, þar sem S1-S4 eru ætluð fyrir tilvik þar sem sýnataka er mjög dýr eða eyðileggja þarf sýni. Því gefa S1-S4 mjög lítil gildi á sýnafjölda. Venjulegt stig er II. Kerfið er þannig uppbyggt, að sýnafjöldi ákvarðast af N og stiginu. c og n gildi eru síðan ákveðin út frá AQL gildinu. Einn af stærstu kostum MIL STD 105D er að það inniheldur reglur um hvenær rétt er að fara frá takmörkuðu eftirliti yfir í venjulegu og þaðan yfir í stífara eftirlit. Sjá hér til hliðar. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 28

MIL STD 105D (ISO 2859) Skref við notkun; Velja AQL. Velja viðeigandi stig. Ákvarða lotustærðina. Finna þann bókstaf sem tilheyrir lotustærðinni. Ákvarða hvort nota á einfalda/tvöfalda/margfalda sýnatöku. Finna viðeigandi áætlun út frá gefnum töflugildum. Dæmi: AQL = 0,65, N = 2000, venjulegt eftirlit => stig II. Það gefur bókstafinn K. Nota á einfalda sýnatöku. i) Venjulegt eftirlit; n = 125, c = 2 og r = 3. ii) Hert eftirlit; n = 125, c = 1 og r = 2. iii) Takmarkað eftirlit; n = 50, c = 1 og r = 3. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 29

Dodge - Romig Elsta staðlaða kerfi fyrir sýnatöku. Kerfið inniheldur einfaldar og tvöfaldar sýnatökuáætlanir fyrir ákveðin gildi á LTPD og AOQL. Hugmyndin er að hafa eftirlitið eins ÓDÝRT og hægt er með því að lágmarka ATI út frá gefnu N og pinn gildi. Tilgreining á LTPD gildi gefur mikið strangari áætlun heldur en tilgreining á sama AOQL gildi. Ef t.d. 401 ≤ N ≤ 500 og pinn = 0,6% fæst út frá LTPD = 2% að n = 165 og c = 1, meðan AOQL = 2% gefur n = 39 og c = 1. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 30

Tölfræðileg gæðastjórnun 21.9.2018 Tölfræðileg gæðastjórnun Stýririt Sýnatökuáætlanir Tilgátupróf Sætispróf 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 31 Nafn fyrirlesara

Próf fyrir meðalgildi N~(µ,σ2) með þekkta dreifni 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 32

Líkindaþéttleiki normaldreifingar 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 33

Próf fyrir meðalgildi N~(µ,σ2) með óþekkta dreifni 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 34

Líkindaþéttleiki t-dreifingar 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 35

Próf fyrir dreifni N~(µ,σ2) 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 36

Próf fyrir gallahlutfall í tvíkostadreifingu Er gallahlutfallið p jafnt p0, standard gallahlutfallinu? n fjöldi sýna og x tilheyra gallahlutfallinu p. Er gallahlutfallið í tveimur tvíkostadreifingum jafnt? 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 37

Tölfræðileg gæðastjórnun 21.9.2018 Tölfræðileg gæðastjórnun Stýririt Sýnatökuáætlanir Tilgátupróf Sætispróf 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 38 Nafn fyrirlesara

Sætispróf Byggja á því að raða mælingum eftir vaxandi stærð. Lítum á tvö sætispróf; - Wilcoxon Signed-Rank Test - Wilcoxon Rank-Sum Test 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 39

Wilcoxon Signed-Rank test Dæmi: Til eru 9 mælingar af einhverri stærð. Viljum prófa tilgátuna; i) Drögum 10 frá mælingunum. Þá fæst; ii) Gefum mismuninum sætisgildi, þ.e. minnsta talan fær gildið 1, næst minnsta 2, o.s.frv. (ath. taka tölugildi) 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 40

Wilcoxon Signed-Rank test iii) Bætum við formerki. Þá fæst; iv) Finnum summu sætisgilda með sama formerki. Prófstærðin er; Höfnum H0 ef þar sem fæst úr töflum. (Ef W er lítil stærð liggjum við öðru hvoru megin við og höfnum þar með H0) 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 41

Wilcoxon Signed-Rank test Fáum W = 16. Ef α = 5%, tvíhliða próf og n = 9 fæst; þ.e.a.s. samþykkjum H0. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 42

Wilcoxon Signed-Rank test 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 43

Wilcoxon Rank-Sum test Ef og eru tvö óháð úrtök með úr samfelldum. Viljum við prófa tilgátuna; Dæmi: Loftstýringarbúnaði í kjarnorkuveri var haldið við með 2 mismunandi viðhaldsáætlunum PI og PII. Eftirfarandi gögn fengust (tími þ.t. bilun verður) ; i) Viljum kanna hvort marktækur munur sé á PI og PII; 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 44

Wilcoxon Rank-Sum test ii) Mælingum er gefið sætisgildi líkt og áður; Ef 2 eða fleiri gildi eru jafnstór er notað meðaltal sætisgildanna. Eftirfarandi samband gildir fyrir ; Ef mismunur W1 og W2 (e.t.v. leiðrétt miðað við mismunandi fjölda mælinga) er lítill, samþykkjum við H0 og öfugt. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 45

Wilcoxon Rank-Sum test Prófstærðin er; Höfnum H0 ef þar sem wα fæst út töflu. Miðað við α = 0,05, tvíhliða próf, og n1 = n2 = 5 er W0,05 = 17 < 20, þ.a. við samþykkjum H0. Ekki er marktækur munur miðað við α = 0,05. 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 46

Wilcoxon Rank-Sum test 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 47

Wilcoxon Rank-Sum test 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 48

Takk fyrir Gangi ykkur vel! 23.9.2010 Hugmynda- og aðferðafræði gæðastjórnun cc. Eggert Þ. Þórarinsson Nr. 49