Stærðfræði – stærðfræðinemandinn 1. misseri – haustönn VII

Παρουσίαση με θέμα: "Stærðfræði – stærðfræðinemandinn 1. misseri – haustönn VII"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Stærðfræði – stærðfræðinemandinn 1. misseri – haustönn 2004 - VII
Óendanleiki talnamengja Gagnkvæm samsvörun (one-to-one correspondence) Fjöldatala (cardinality) endanlegra og óendanlegra mengja Rauntölur og tilgáta Cantors Eru til ólíkir (misstórir) “óendanleikar” ? Þéttleiki talnalínunnar Meyvant Þórólfsson Október 2004

2 Óendanleiki talnamengja
Skoðum mengið N: {1, 2, 3, 4, 5, ...} Skoðum mengið Z: {...,-3, -2, -1, 0, 2, 3, ...} Skoðum líka mengið S sem mengi sléttra jákvæðra heilla talna: {2, 4, 6, 8, ...} Ef gefin eru tvö mengi og þau hafa gagnvæma samsvörun (one-to-one correspondence), þá segjum við að þau hafi sömu fjöldatölu (cardinality), enda má para stök þeirra saman.

3 Gagnkvæm samsvörun (One-to-one Correspondence)
Mengi A og B hafa gagnkvæma samsvörun; A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} Af hverju? Dæmi þar sem hugmyndin um gagnkvæma samsvörun gæti komið fyrir: Gestir og sæti í bíósal, jólakort og umslög, pörun í danskennslu, hlutir í tveimur ílátum...sbr. bls. 149 í bókinni. Meginhugmyndin er að bera saman fjöldatölur tveggja mengja án þess að telja í hvoru fyrir sig. Þess í stað eru stökin pöruð saman.

4 Borðtenniskúluþrautin Sjá mynd bls. 151
Við höfum 60 sekúndur til að framkvæma tilraunina: Fyrstu 30 sek. setjum við 10 fyrstu kúlurnar í tunnuna og tökum kúlu nr. 1 upp úr. Höfum nú 15 sek. til að setja næstu 10 kúlurnar í tunnuna og tökum kúlu nr. 2 í burtu. Næst höfum 7,5 sek. til að sturta næstu 10 kúlum í tunnuna og taka kúlu nr. 3 í burtu. Þannig höldum við áfram, en tímabilið styttist alltaf um helming. Hve mikill tími er eftir þegar við tökum kúlu nr. 6 upp? En kúlu nr ? Hver verður staðan að 60 sekúndum loknum?

5 Gagnkvæm svörun milli N og Z
1 2 3 -1 4 5 -2 6 7 -3 ... 2n n 2n+1 -n Skoðum nánar pörun staka úr mengi náttúrulegra talna annars vegar og heilla talna hins vegar: Gagnkvæm svörun er milli þessara tveggja mengja. Fjöldatala (cardinality) er sú sama.

6 Ræðar tölur (p/q) . 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 ... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 1/3
2/3 3/3 4/3 5/3 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 -5/1 -4/1 -3/1 -2/1 -1/1 -5/2 -4/2 -3/2 -2/2 -1/2 -5/3 -4/3 -3/3 -2/3 -1/3 -5/4 -4/4 -3/4 -2/4 -1/4 -5/5 -4/5 -3/5 -2/5 -1/5

7 Gagnkvæm svörun milli N og Q
1 2 1/1 3 -1/1 4 2/1 5 1/2 6 -2/1 7 -1/2 8 3/1 9 3/2 ... Skoðum nánar pörun staka úr mengi náttúrulegra talna annars vegar og ræðra talna hins vegar: Gagnkvæm svörun er milli þessara tveggja mengja. Fjöldatala (cardinality) er nú sama.

8 Mengi rauntalna táknum við með R
Allar ræðar og óræðar tölur tilheyra menginu R. Með öðrum orðum þá tilheyra til dæmis tölurnar -1, -√2, , 3/5 menginu R. Allar rauntölur rR má skrifa sem tugabrot með óendanlegan fjölda aukastafa!! Dæmi: 243, Annað dæmi: 0, Enn annað dæmi: 1, Og enn eitt: √2 = 1, Meyvant - okt. 2004

9 Kenning Georgs Cantors
Milli náttúrulegra talna og rauntalna er ekki gagnkvæm samsvörun. Þegar við reynum að sýna fram á samsvörun byggða á fjöldatölu (cardinality) þessara tveggja talnamengja, þá lendum við alltaf í ógöngum sem felast í því að fyrirfinnast rauntölur sem ekki er búið að para saman við náttúrulegar tölu. Aðferð Cantors: Við búum svokallaða “missing” tölu og köllum hana M. Talan M liggur á milli 0 og 1 og hefur því formið 0,????...

10 Kenning Georgs Cantors
Ákveðum að M sé samsett úr stöfunum 2 og 4. Skoðum allar tölurnar og búum til M út frá ákveðnum viðmiðum. Ef fyrsti aukastafur er 2, þá skrifum við 4, annars 2. Þannig höldum við áfram og fáum rauntöluna M = 0, Þannig má halda áfram endalaust... Við getum alltaf búið til tölu sem fyrirfinnst ekki í R-dálkinum. N R 1 0, 2 2, 3 7, 4 8, 5 ... -0,

11 Fjöldatala punkta á línum og innan fernings
Sýna má fram á að fjöldatala punkta á milli tveggja punkta á talnalínu sé sú sama og allra punkta á rauntölulínunni. Sömu sögu er að segja um fjölda punkta á línustriki og innan fernings. Sýna má fram á að fjöldatala (cardinality) punkta gefins línustriks L sé sama og fjöldatala punkta innan fernings sem hefur sömu hliðarlengd og línustrikið. S 1 R -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -10/7 √2

12 Nokkur dæmi úr köflum 3.1, 3.2, 3.3 og (3.5)
Ræðið um óendanleikann. Hvaða fyrirbæri eru óendanleg og hver eru endanleg? Ath. bæði “physis” og “thesis”. Ræðið um gagnkvæma samsvörun. Skilgreinið hana og gefið raunveruleg dæmi. Búið til dæmi. Ræðið um hugtakið fjöldatölu (cardinality of a set) og hver munurinn er á henni og því að telja raunverulegan fjölda. Leysið dæmi I.3 og 9 og II.1 bls Leysið dæmi I.9 og 11; II 5 og III.1 bls Leysið dæmi I.1, 4, 6, 8 og II. 1 og 2 bls Ritið þessar rauntölur sem óendanleg tugabrot: 1, √2, 10/7, -1/11,  og φ.