Tok tekočin in hidrodinamične operacije Igor Plazl

Mehanika tekočin Kaj je mehanika tekočin? področje mehanike, ki se ukvarja z STATIKO in DINAMIKO tekočin analiza obnašanja tekočin temelji na osnovnih zakonih mehanike, ki povezujejo ohranitev mase in energije s silo in gibalno količino Tekočina - definicije in pojmi tekočina = kapljevina + plin (Angl.: Fluid = Liquid + Gas) Tekočina (kapljevina, plin) se v nasprotju s trdno snovjo, ne more upreti deformaciji – teče. Njena oblika se neprestano spreminja, dokler nanjo deluje sila. DEFORMACIJO povzročajo STRIŽNE SILE, ki delujejo tangentno na površino.

Mehanika tekočin Tekočino lahko definiramo kot snov, ki pod vplivom strižnih napetosti menja obliko, teče. napetost = sila na enoto ploskve Primerjava obnašanja različnih teles pod vplivom strižnih oz. nateznih napetosti togo telo – deformacija = 0 elastično telo – velikost deformacije ~ sili (Hookov zakon) tekočina – hitrost deformacije ~ sili

Mehanika tekočin Idealna kapljevina Idealen plin je neviskozna (zaradi striga se v tekočini ne pojavi napetost) je nestisljiva in ne izkazuje površinske napetosti (gibanje brez trenja) katerokoli stanje idealnega plina je mogoče opisati z enačbo stanja PV = RT

Mehanika tekočin KONTINUUM Tekočina se sestoji iz diskretnih delcev - molekul, ki trkajo med sabo in trdnimi predmeti. KONTINUUM Predpostavka KONTINUUMA obravnava tekočino kot zvezno, homogeno (enotno) snov – GOSTOTA, TLAK, TEMPERATURA IN HITROST so določene v “neskončno” majhnih točkah (ref. prostorski element, RPE), velikostnega reda razdalje med sosednjima molekulama tekočine. Predpostavlja se, da se lastnosti zvezno spreminjajo od ene točke do druge, vrednost lastnosti v eni točki pa predstavlja povprečenje znotraj RPE. Hipoteza kontinuuma je v osnovi predpostavka, katere rezultat je približna rešitev. Za določene pogoje so rešitve na osnovi hipoteze kontinuuma dovolj natančne, v mnogih primerih takšna predstava odpove (npr. zelo razredčeni plini). Kriterij veljavnosti kontinuuma je Knudsonovo število, Kn

Mehanika tekočin Knudsenovo število – merilo opisa fluidne dinamike na osnovi mehanike kontinuuma ali statistične mehanike l = srednja prosta pot (m)* L = karakteristična linearna dimenzija (m) kB = Boltzmanova konstanta (1.38 10-23 J/K) T = temperatura (K) s = premer delca (m) P = absoluten tlak (Pa) (* za dinamiko delcev v atmosferi, ob predpostavki stand. temperature in tlaka (oz. 25°C, 1 atm), je l = 8×10-8 m) drseči tok MEHANIKA KONTINUUMA STATISTIČNA MEHANIKA

ekstremno visoki vakuum SREDNJA PROSTA POT delca (molekule) v kinetični teoriji predstavlja povprečno razdaljo, ki jo delec pripotuje med trki z drugimi gibajočimi delci. Območje vakuuma Tlak (hPa) Molekule/cm3 l (m) okoliški tlak 1013 2.7 1019 68 nm nizek vakuum 300 – 1 1019 - 1016 0.1 – 100 mm srednji vakuum 1 – 10-3 1016 - 1013 visoki vakuum 10-3 - 10-7 1013 - 109 10 cm – 1 km ultra visoki vakuum 10-7 - 10-12 109 - 104 1 – 105 km ekstremno visoki vakuum < 10-12 <104 105 km Kako visoko še lahko leti letalo s premerom krila 50 cm, da bodo za let še veljali zakoni mehanike kontinuuma? 1 hPa = 100 Pa

MEHANIKA KONTINUUMA MEHANIKA TRDNIH SNOVI - področje fizike trdnih snovi z določeno obliko ELASTIČNOST (fizika) - opisuje materiale, ki se po prenehanju delovanja zunanje sile povrnejo v prvotno obliko. PLASTIČNOST- dovolj velika sila povzroči trajno deformacijo prvotne oblike materiala. REOLOGIJA razlaga viskoelastične lastnosti materialov (izkazovanje kombinacije elastičnih lastnosti in viskoznosti) meja med mehaniko trdnih snovi in mehaniko tekočin je zabrisana MEHANIKA TEKOČIN (STATIKA in DINAMIKA TEKOČIN) - obravnava fiziko tekočin. Pomembna lastnost tekočin je VISKOZNOST – sila, ki je generira tekočina kot odgovor na gradient hitrosti. ne-Newtonske tekočine Newtonske tekočine

Mehanika tekočin Stisljivost tekočin Pojem stisljivosti se nanaša na spremembo prostornine oz. gostote tekočine. Če so za dan problem spremembe v gostoti majhne, tekočino smatramo za NESTISLJIVO - vse tekočine so v običajnih hidrodinamičnih situacijah nestisljive. Plini so stisljivi. V dinamiki tekočin vseeno pogosto obravnavamo pline kot nestisljive (zmerna sprememba pritiska in približno izotermni pogoji) - kriterij je MACHOVO ŠTEVILO, M.

Mehanika tekočin Machovo število brezdimenzijsko merilo relativne hitrosti definirano je kot hitrost objekta relativno glede na medij tekočine, deljeno s hitrostjo zvoka v tem mediju 1 Mach je 340.3 m/s (1.225 km/h, 761.2 mph) pri T = 15 oC in na morski gladini. Hitrost, ki jo predstavlja 1M ni konstantna – zavisi od temperature (hitrost zvoka s temperaturo narašča). M < 0.1 – nestisljivi plini soničen: M=1 subsoničen: M < 1 transoničen: 0.8 < M < 1.2 supersoničen: 1.2 < M < 5 hypersoničen: M > 5

STATIKA TEKOČIN Splošna pravila statike (kot se uporabljajo v mehaniki trdnih snovi) veljajo tudi za tekočine v stanju mirovanja. Vemo: na tekočino v mirovanju ne delujejo strižne sile vsaka sila med tekočino in njenim robom mora delovati pravokotno na ta rob oz. mejo in še za vsak element tekočine, ki je v stanju mirovanja velja, da je v RAVNOTEŽJU – vsota vsek komponent sil v katerikoli smeri bo enaka nič vsota momentov sil na element v katerikoli točki mora prav tako biti enaka nič.

STATIKA TEKOČIN MASNE oz. PROSTORNINSKE SILE POVRŠINSKE SILE Različne sile, ki delujejo na tekočino razdelimo na MASNE oz. PROSTORNINSKE SILE tekočina ima neko maso in na to maso delujejo zunanji vplivi: gravitacijsko, centrifugalno in magnetno polje, pospešek, itd. Ker masa tekočine vedno zajemo neko prostornino in jo lahko izrazimo tudi s prostornino, imenujemo te sile tudi prostorninske sile. POVRŠINSKE SILE delujejo neposredno na neko dejansko ali namišljeno površino na meji površine ali na delec površine znotraj tekočine.

STATIKA TEKOČIN POVRŠINSKE SILE STRIŽNA SILA TLAČNA SILA sila deluje tangentno na površino (tekočine se tem silam na splošno ne morejo upreti in zato povzročajo GIBANJE TEKOČINE → v tekočini se pojavijo STRIŽNE NAPETOSTI) TLAČNA SILA sila deluje pravokotno na povšino (v stanju mirovanja so strižne napetosti v tekočini enake 0 – edina površinska sila na delec tekočine je TLAK oz. PRITISK)

pound-force/square inch(psi) Enote za tlak   Pascal (Pa) bar (bar) tehn. atm (at) atmosfera (atm) torr (mmHg) pound-force/square inch(psi) 1 Pa ≡ 1 N/m2 10−5 1.0197×10−5 9.8692×10−6 7.5006×10−3 145.04×10−6 1 bar 100 000 ≡ 106 dyn/cm2 1.0197 0.98692 750.06 14.504 1 at 98 066.5 0.980665 ≡ 1kg/cm2 0.96784 735.56 14.223 1 atm 101 325 1.01325 1.0332 ≡ 1 atm 760 14.696 1 torr 133.322 1.3332×10−3 1.3595×10−3 1.3158×10−3 ≡ 1mmHg 19.337×10−3 1 psi 6 894.76 68.948×10−3 70.307×10−3 68.046×10−3 51.715 ≡ 1 lbf/in2

Pascalov zakon Pascalov zakon za tlak (pritisk) v točki - dokaz, da je tlak deluje v vseh smereh Vzemimo prostorninski element tekočine v obliki trikotne prizme, ki vsebuje točko A in vpeljimo zvezo med tlaki px v smeri x, py vsmeri y in ps v smeri pravokotno na nagnjeno površino Blaise Pascal * June 19, 1623) Clermont-Ferrand, France † August 19, 1662 (star 39) Paris, France Francoski matematik, fizik in religiozni filozof

px ...deluje pravokotno na ploskev... ABFE A(x,y,z) Prizmatični prostorninski element tekočine z robovi dx, dy, dz, ds in točko A(x,y,z) Tekočina miruje  ni strižnih sil in tlačne sile delujejo pravokotno na površino... px ...deluje pravokotno na ploskev... ABFE py ...deluje pravokotno na ploskev... FEDC ps ...deluje pravokotno na ploskev... ABCD 

Fxx + Fxy + Fxs = 0 px  dzdy +(- ps  dzdy ) = 0 px = ps Prizmatični prostorninski element tekočine z robovi dx, dy, dz, ds in točko A(x,y,z) q A(x,y,z) Sila glede na px  Fxx = px  površinaABFE = px  dzdy Komponenta sile v x-smeri glede na py  Fxy = 0 Komponenta sile v x-smeri glede na ps  Fxs = - ps  sinq  površinaABCD = - ps  dsdz sinq = - ps  dydz sinq = dy/ds Tekočina miruje in je v ravnotežju  vsota vseh sil v katerikoli smeri je enaka 0 Fxx + Fxy + Fxs = 0 px  dzdy +(- ps  dzdy ) = 0 px = ps

Dokazali smo, da je pritisk v katerikoli točki tekočine, ki miruje, enak v vseh smereh. PRITISK V TEKOČINI JE IZOTROPEN (Pascalov zakon). q Prizmatični prostorninski element tekočine z robovi dx, dy, dz, ds in točko A(x,y,z) A(x,y,z) px = py = ps Sila glede na py  Fyy = py  površinaEFCD = py  dxdz Komponenta sile v y-smeri glede na px  Fyx = 0 Komponenta sile v y-smeri glede na ps  Fys = - ps  površinaABCD  cosq = -ps  dsdz dx/ds = -ps  dzdx Tekočina miruje in je v ravnotežju  vsota vseh sil v katerikoli smeri je enaka 0 Fyy + Fyx + Fys + sila teže = 0 py  dxdz +(- ps  dxdz ) +(- rg  1/2 dxdzdy ) = 0 py = ps

Sprememba tlaka v tekočini pod vplivom gravitacije v navpični smeri Vzemimo navpičen valjast element tekočine s konstantnim presekom A, ki je obdan s tekočino enake gostote r. Tlak na dnu cilindra na višini z1 je enak p1 in p2 na vrhu pri višini z2 Tekočina miruje površina A gostota tekočine r mg sila glede na p1 () = p1  A sila glede na p2 () = p2  A sila teže elementa () = m  g = rgA (z2-z1) in v ravnotežju velja (naj bo  pozitivna) p1  A - p2  A - rgA (z2-z1) = 0 p1 - p2 = rg(z2-z1)

Enakost tlakov v statični tekočini na isti višini Vzemimo vodoraven valjast element tekočine s konstantnim presekom A, ki je obdan s tekočino ekake gostote r Tlak na levi strani cilindra je enak pl in na desni strani pd površina A gostota tekočine r pl pd mg Tekočina je v ravnotežju in vsota vseh sil v x-smeri je enaka nič pl  A = pd  A pl = pd pl = pp + rgz pd = pq + rgz pp + rgz = pq + rgz pp = pq pl = pd

Splošna enačba za spremembo tlaka v statični tekočini površina A Prejšnja opažanja za navpični in vodoravni element tekočine, bomo posplošili za element poljubne orientacije. Vzemimo cilindrični element v mirujoči tekočini z gostoto r, ki je za kot q nagnjen od navpične lege in ima konstanten prečni presek A. Dolžina prostorninskega elemnta naj bo ds. gostota tekočine r z+dz z Sile, ki delujejo na element pA deluje pravokotno na spodnjo površino A na višini z (p+dp)A deluje pravokotno na zgornjo površino A na višini z+dz mg = rAdsg sila teže ()

Splošna enačba za spremembo tlaka v statični tekočini površina A V ravnotežju je rezultanta vseh sil, ki delujejo na tekočinski element, v katerikoli smeri enaka nič. Zahtevajmo ta pogoj za vsoto vseh sil v smeri vzdolž centralne osi gostota tekočine r z+dz pA - (p+dp)A – rAdsg cosq = 0 dp = - rgds cosq dp/ ds = - rg cosq z oz. v diferenčni obliki

Spreminjanje tlaka v mirujoči tekočini površina A gostota tekočine r z+dz Če je q = 90o z z x y Če je q = 0o Omejitve: tekočina miruje gravitacije je edina masna (prostorninska sila) z os je navpična

Spreminjanje tlaka v mirujoči tekočini (hidrostatski pritisk ali tlak) Nestisljive tekočine Za nestisljive tekočine velja, da je r = r0 (= konstanta). Ob predpostavki konstantne gravitacije, velja: in  Atmosferski tlak Za kapljevine je pogosto smiselno vzeti kot izvor koordinatnega sistema prosto površino (referenčni nivo) in meriti razdaljo od proste površine navzdol kot POZITIVNO. (izračun spremembe tlaka z globino tekočine)

Spreminjanje tlaka v mirujoči tekočini Stisljive tekočine Za napoved spreminjanja tlaka v stisljivih kapljevinah moramo poznati funkcijsko odvisnost gostote od drugih spremenljivk (Za mnoge kapljevine je r le šibka funkcija temperature.) Gostota plinov splošno zavisi od tlaka in temperature. Idealen plin pri izotermnih Pogojih  Barometrična enačba ( izračun spremembe atmosferskega pritiska z nadmorsko višino)

Absolutni in relativni tlak (Angl.: Absolute and Gage Pressure) Tlačne vrednosti so določene glede na referenčni nivo če je kot referenca izbran vakuum, govorimo o absolutnem tlaku večina manometrov dejansko meri tlačno razliko – razliko med nivojem merjenega in okoljnega (atmosferskega) tlaka. Tlak, ki ima kot referenco izbran atmosferski tlak imenujemo relativni tlak. Tlačno razliko med dvema točkama tekočine nam podaja diferencialni tlak.

STATIKA TEKOČIN – računski primeri Za merjenje tlaka se pogosto uporabljajo manometri, ker so enostavni in poceni. Pri majhnih razlikah pritiskov je sprememba višine v U manometru majhna in jo je težko natančno odčitati. Povečanje natančnosti odčitka je možno z izvedbo manometra in uporabo dveh manometrskih tekočin. Kapljevina manometra, premerov cevi 10 in 30 mm, je olje s specifično težo (relativna gostota) 0.826. Določite razmerje odklonov manometra v mm na mm odklona vodnega stolpca pri isti tlačni razliki. Osnovne enačbe: 2 1 spec. teža (N/m3=Kg/m2s2; 1N=Kgm/s2) Relativna gostota oz. specifična gravitacija (Specific Gravity)

Primer 1 - rešitev

STATIKA TEKOČIN – računski primeri Po ceveh A in B teče voda. Cevi sta povezani z manometrom, ki vsebuje olje z SG = 0.8 in živo srebro (relativna gostota, SG=13.6), kot je prikazano na shemi. Določite tlačno razliko, pA – pB, v enotah lbf/in2 in Pa. 1 in = 0.0254 m; 1 lbf (PoundForce) = 4.44822 N; 1 lbf/in2 = 6894.75 N/m2) Osnovne enačbe:

Primer 2. d5= d1= D F d2= d3= d4= C E Torej:

Primer 2 - rešitev

STATIKA TEKOČIN – računski primeri Ugotovi spremembo višine potrebne za 15 % znižanje gostote zraka za izotermno atmosfero pri 20 oC. Osnovne enačbe:

STATIKA TEKOČIN – računski primeri Rezervoar je napolnjen z vodo do višine 2,5 m. U manometer je povezan z rezervoarjem na višini 0,7 m od dna. Nični nivo je 0,2 m pod povezavo. V manometru je olje s S.G. 1,75. Izračunaj L.

STATIKA TEKOČIN – računski primeri Toplo zračni balon prostornine 3100 m3 in celotne mase 350 kg (gondola, grelnik, posadka,...). Jesensko jutro, T=12 oC in P=100 kPa, brez vetra in zanemarljiva sprememba temperature z višino. Kako visoko se bo dvignil balon, če posadka zrak v balonu segreje za 50 oC (na 62 oC)? Osnovne enačbe: R = 8.314472 J/molK Mzrak = 29 g/mol

Primer 5 -rešitev

STATIKA TEKOČIN – računski primeri Maksimalna moč motorja z notranjim izgorevanjem pada z nadmorsko višino, ker se zmanjšuje gostota zraka in z njo masni pretok. Tovornjak odide iz Denverja (5280 ft). Tlak je 24,6 in. Hg. temperatura pa 80 °F. Potuje čez prelaz Vail (10600 ft). Temperatura se zmanjšuje s hitrostjo 3 °F / 1000 ft. Kolikšen je tlak na prelazu Vail? Osnovne enačbe: Predpostavke: Temperatura linearno pada z višino Zrak se obnaša kot idealen plin Zrak miruje R = 8.314472 J/molK Mzrak = 29 g/mol 1 ft = 0,3048 m 1 in. = 2,54 cm °C = 5/9 (°F - 32)

Primer 6 -rešitev

STATIKA TEKOČIN – računski primeri Vrata na robu rezervoarja so vpeta na spodnji stranici. Na površino tekočine deluje tlak 100 lbf/ft2 Kolikšna sila F je potrebna, da vrata ostanejo zaprta? Osnovne enačbe: Spremenljivke: p = 100 lbf/ft2 - L = 3 ft γ = 100 lbf/ft3 - b = 2 ft 1 ft = 0,3048 m 1 in. = 2,54 cm 1 lbf (pound-force)= 4,448 N

Primer 7 -rešitev

STATIKA TEKOČIN – računski primeri Ugotovite kot (α), ki bo zagotovil 5x večjo dolžino stolpca v nagnjeni cevi (L), kot bi bila v manometru s čašo (h1). D = 96 mm d = 8 mm

Primer 8 -rešitev Manometer s čašo Manometer z nagnjeno cevjo

Računski primer Primer 9. V votlo kroglo nalivamo vodo. Zanima nas, kako se volumen vode spreminja z višino. Kolikšen je volumen ko je krogla napolnjena?

Hidrostatsko ravnotežje v centrifugalnem polju Vsa masa tekočine rotira skupaj s posodo kot celoto, brez relativnega gibanja posameznih delcev oz. elementov tekočine. za smer z velja in za smer r ... vstavimo en. (1) in (2) v en. (3) in integriramo pri r=0 je z=z0 in p=p0