Slučajne spremenljivke

Παρουσίαση με θέμα: "Slučajne spremenljivke"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Slučajne spremenljivke
Spremenljivka je slučajna spremenljivka, če zavzame vrednosti na množici A, na kateri je definirana, slučajno in če je podan predpis, ki določa vejetnosti s katerimi zavzame te vrednosti Predpis se imenuje porazdelitveni zakon slučajne spremenljivke.

2 Kadar je množica A diskretna, potem je tudi
spremenljivka diskretna, če pa je množica A zvezna, je tudi spremenljivka zvezna slučajna spremenljivka Neko vrednost , ki jo slučajna spremenljivka zavzame, imenujemo realizacija slučajne spremenljivke . Porazdelitvena funkcija F(x) slučajne spremenljivke je funkcija,ki ima pri vsaki realni vrednosti x, vrednost enako verjetnosti dogodka , za , to je

3 Ni težko razmisliti, da za porazdelitveno funkcijo velja
in kakor tudi to, da je naraščajoča funkcija

4 Diskretne slučajne spremenljivke
Porazdelitveni zakon diskretne slučajne spremenljivke se imenuje diskretna porazdelitev. Kadar za diskretno slučajno spremenljivko poznamo porazdelitveni zakon, ga zapišemo v obliki : , pri tem pa velja

5 Porazdelitvena funkcija diskretne slučajne spremenljivke je funkcija F(x) določena z
Matematično upanje Disktretne slučajne spremenljivke je količina določena z zvezo : Meri poprečno vrednost(realizacijo) slučajne spremenljivke

6 Varianca slučajne spemenljivke je
matematično upanje kvadratov odmikov realizacij slučajne spremenljivke od njenega matematičnega upanja: Varianco lahko zapišemo tudi v obliki:

7 V tem obrazcu je: Standardni odklon slučajne spremenljivke se imenuje kvadratni koren iz variance

8 Zvezne slučajne spremenljivke
Slučajna spremenljivka,definirana na intervalu realnih števil je zvezna slučajna spremenljivka, če ima njena porazdelitvena funkcija naslednje lastnosti: 1. F(x) je zvezna funkcija 2. x zavzame neštevno neskončno mnogo vrednosti 3. verjetnost za to, da ξ zavzame neko določeno vrednost, je 0.

9 Odvod porazdelitvene funkcije imenujemo gostota slučajne spremenljivke in jo bomo označili s p(x):

10 Za zvezno slučajno spremenljivko velja :
Odtod tudi dobimo

11 Matematično upanje zvezne slučajne spremenljivke je:
in predstavlja povprečno vrednost vseh možnih realizacij slučajne spremenljivke.

12 Če je diskretna slučajna spremenljivka in p(x) njen porazdelitveni zakon, potem je matematično upanje za g( ) enako: Podobno velja za zvezne slučajne spremenljivke

13 Matematično upanje ima naslednje lastnosti
1. 2.

14 Varianca zvezne slučajne spremenljivke, ki ima enak pomen kot v primeru diskretne slučajne spremenljivke, je: pri čemer je Standardni odklon zvezne slučajne spremenljivke je kvadratni koren iz variance

15 Za varianco slučajne spremenljivke velja

16 Momenti slučajnih spremenljivk
Začetni moment reda r slučajne spremenljivke je matematično upanje slučajne spremenljivke Za diskretni primer Za zvezni primer

17 Centralni moment reda r slučajne spremenljivke
je matematično upanje spremenljivke Za diskretni primer Za zvezni primer

18 Drugi centralni moment je varianca slučajne spremenljivke
Tretji centralni moment popisuje asimetričnost porazdelitve realizacij slučajne spremenljivke glede na matematično upanje Običajno merimo asimetričnost z veličino

19 Četrti centralni moment
uporabljamo za merjenje koničastosti ali sploščenosti porazdelitve realizacij slučajne spremenljivke glede na matematično upanje Velikost koničastosti oziroma sploščenosti ponavadi merimo z veličino, ki ji pravimo koeficient sploščenosti (eksces) in je določena z izrazom:

20 Sploščenost pogosto merimo z veličino
Pri normalni slučajni spremenljivki je koeficient sploščenosti enak nič. Če so porazdelitve realizacij slučajne spremenljivke okrog matematičnega upanja bolj koničaste od porazdelitve realizacij normalne slučajne spremenljivke, je koeficient sploščenosti v nasprotnem primeru je njegova vrednost negativna.

21 Med začetnimi in centralnimi momenti velja zveza

22 Karakteristične funkcije slučajnih spremenljivk
Karakteristična funkcija slučajne spremenljivke je za diskreten primer določena Za zvezen primer pa je

23 Za karakteristično funkcijo velja