Συνέντευξη με μια ομάδα μαθητών Εισαγωγή στις ανισώσεις-Πρωτοβάθμια ανίσωση

Απόσταση μεταξύ αριθμών Π: Πόση θα είναι η απόσταση; Σ: Εκεί, αυτό που έχεις κάνει (παύση). Εδώ πέρα…. Είναι το α έτσι; Άρα εδώ θα είναι το –α, σωστά; Ι: Άρα θα πάρω το διπλάσιο. Εδώ η μαθήτρια έκανε το εξής σχήμα:

Συμβολισμός των λύσεων μιας ανίσωσης Τώρα έχουμε βρει 2 αποτελέσματα. Ότι το χ είναι μικρότερο από 40 και μεγαλύτερο από 37. Πώς θα τα χρησιμοποιήσουμε, Μιχαέλα; Π: Τι σημαίνουν μάλλον… Μ: Θα τα γράφαμε σαν… (σκέφτεται...) Σ: Τι βρήκαμε…; Μ: Ότι το χ είναι ανάμεσα στο 37 και στο 40. Σ: Ωραία. Το χ τι είπαμε ότι είναι στην αρχή, τι θέσαμε να είναι; Μ: Ε… Σ: Τι είναι το χ; Μ: Ο άγνωστος. Σ: Ναι, και τι συμβολίζει εννοώ, στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Μ: Το πλάτος. Σ: Το πλάτος, ωραία. Άρα βρήκαμε ότι το χ που είναι το πλάτος είναι ανάμεσα στο 37 και στο 40. Οπότε, τι έχουμε να απαντήσουμε γι’ αυτό; Ιωάννα; Ι: Πρέπει να συναληθεύσουμε τις 2 ανισώσεις πάνω σ’ έναν άξονα.

Ωραία, ας το παραστήσουμε γραφικά, λοιπόν. Ωραία, σωστές και οι 2. Άρα το χ μπορεί για παράδειγμα να είναι 38; Ι: Α, είναι και μεγαλύτερο απ’ το μηδέν. Σ: Βρίσκεται εδώ μέσα άρα είναι μεγαλύτερο απ’ το μηδέν. Ι: Όχι, απλά επειδή εδώ έχουμε βάλει μικρότερο του 40, δεν μπορεί να πάρει τιμές κάτω απ’ 160 το μηδέν. Σ: Ναι, αλλά δεν μπορεί να πάρει και τιμές…. μικρότερες… Μαρία: Εννοείς ότι είναι πλάτος και ότι… Ι: Δε γίνεται να είναι αρνητικό… Σ: Ναι, απλά το έχουμε βρει. Τι έχουμε βρει; Ότι το χ είναι μεγαλύτερο από 37.ε; Ι: Ναι. Σ: Οπότε… δεν μας ενδιαφέρουν οι τιμές κάτω απ’ αυτό. Για παράδειγμα, όπως είπα, μπορεί 167 να είναι 38 το χ; 38 μέτρα; Μ, Ι : Ναι. Σ: Μπορεί να είναι 10; Μ, Ι: Όχι. Σ: 41; Π: 38,5;

ΑΠΟΜΑΓΝΗΤΟΦΩΝΗΣΗ Μέρος β Μ= Μαρία, Π= κ.Πόταρη, Ι=Ιωάννα,Μι=Μιχαέλα 3. Σε μια οικογένεια, ο πατέρας ζυγίζει τα τετραπλάσια κιλά σε σχέση με το παιδί του αυξημένα κατά 10 kg και η μητέρα ζυγίζει τα τριπλάσια κιλά σε σχέση με το παιδί της αυξημένα κατά 8 kg. 1) Πόσα κιλά πρέπει να ζυγίζει το παιδί ώστε ο πατέρας να ζυγίζει τουλάχιστον 22 kg περισσότερο από τη μητέρα; 2) Να παραστήσετε στον άξονα x’x τις λύσεις της ανίσωσης. 3) Πόσα κιλά τελικά μπορεί να ζυγίζει ο κάθε γονέας;

1ο κρίσιμο σημείο: Τι σημαίνει τουλάχιστον και πως η κάθε μαθήτρια το αντιλαμβάνεται- β’ τρόπος λύσης του ερωτήματος 1) 186 Μ- Πόσα κιλά πρέπει να ζυγίζει το παιδί ώστε ο πατέρας να ζυγίζει τουλάχιστον 22kg περισσότερο από τη μητέρα; Καταρχήν, τι σημαίνει «τουλάχιστον»; 187 Ι- Το βάρος του πατέρα μεγαλύτερο ή ίσο από το βάρος της μητέρας. Η Μιχαέλα δυσκολεύεται και η κ.Πόταρη παραθέτει το εξής παράδειγμα: 198 Π- Από τη διατύπωση του 1, τι λέει; Πόσα κιλά πρέπει να ζυγίζει το παιδί ώστε ο πατέρας να ζυγίζει τουλάχιστον 22kg περισσότερο από τη μητέρα; Εσύ όταν λες ότι: εγώ είμαι τουλάχιστον 5 kg παραπάνω από την Ιωάννα, τι πάει να πει; Ποια είναι πιο βαριά; 199 Μι- Εγώ. 200 Π- Έτσι. Άρα σίγουρα είναι πιο βαρύς ο πατέρας. Τώρα το ζήτημα είναι πόσο.

201 Μι- Δε θα κάνουμε ότι 4x+10+.. εε… 22; 202 Μ- Το +22 που θα πάει; Γιατί να πάει στα κιλά του πατέρα; 207 (γράφουν 4x+10>3x+8+22) 208 Μ- Αφού λέει τουλάχιστον, θα είναι σκέτο μεγαλύτερα; Δεν μπορεί να είναι και ίσα; 209 Ι- Ναι. 300 Μ- Άρα η ανίσωση; 301 (συμπληρώνουν το =, κάνουν πράξεις και βρίσκουν ότι x>ή=20) 306 Π- Στο 1, λέει: Πόσα κιλά πρέπει να ζυγίζει το παιδί ώστε ο πατέρας να ζυγίζει τουλάχιστον 22kg περισσότερο από τη μητέρα. Πώς αλλιώς θα μπορούσαμε να το γράψουμε; Ας δούμε το βάρος το δικός σας. Η Μιχαέλα ζυγίζει τουλάχιστον 5 kg παραπάνω από την Ιωάννα. Τι πάει να πει αυτό; 307 Ι- Ότι εγώ ζυγίζω τουλάχιστον 5kg λιγότερο από τη Μιχαέλα. Άρα και το ανάποδο. Δηλαδή να πούμε ότι το βάρος της μητέρας είναι τουλάχιστον 22kg λιγότερο από του πατέρα.

2ο κρίσιμο σημείο: Πως συνδέεται η ανίσωση με το «τουλάχιστον» και η εξίσωση με το «ακριβώς». 331 Π- Αν έβγαζα εντελώς το τουλάχιστον; Δηλαδή να έλεγε: Πόσα κιλά πρέπει να ζυγίζει το παιδί ώστε ο πατέρας να ζυγίζει 22kg περισσότερο από τη μητέρα; Πώς θα γινόταν αυτό; Δηλαδή αν ο πατέρας ζύγιζε ακριβώς 22kg περισσότερο από τη μητέρα. 336 Ι- Α, θα έφευγε το =. 337 Π- Έτσι λέτε; 338 Ι- Ζυγίζει 22 kg περισσότερο από τη μητέρα. Θα ήταν ίσον. Θα έμενε το = και θα έφευγε το >. 339 Π- Τι λες Μιχαέλα; 340 Μι- Δεν κατάλαβα τι είπε η Ιωάννα. Αν έφευγε το τουλάχιστον, θα έφευγε το =. 341 Ι- Θα έμενε το = και θα έφευγε το >. Γιατί θα έλεγε ότι είναι 22Kg περισσότερο από τη μητέρα, άρα είναι στάνταρ. Άρα είναι +22. 342 Mι- Θα ήταν δηλαδή 4x+10-22=3x+8; 343 Ι- 4x+10=3x+8+22. 344 Π- Ή αυτό που είπε η Μιχαέλα. 345 Ι- Ναι. 346 Π- Ωραία.

3ο κρίσιμο σημείο: Εύρεση τιμών παράστασης μέσω δεδομένης ανίσωσης. 373 Μ- Πάμε να κάνουμε το 3). Πόσα κιλά τελικά μπορεί να ζυγίζει ο κάθε γονέας; 374 Μι- Το βάρος του πατέρα είναι 4*20(που είναι το βάρος του παιδιού) +10. 375 Μ- Επί 20 γιατί; Το βάρος του παιδιού πόσο είναι; Είναι 20 κιλά ακριβώς; (σιωπή) 378 Μ-Τα κιλά του παιδιού είναι x>ή=20. Άρα πόσα κιλά σε σχέση με το βάρος του παιδιού θα είναι το βάρος του πατέρα. Τι μπορείτε να κάνετε γι’ αυτό έχοντας ως δεδομένο την ανίσωση x>ή=20; 381 Μ- Αν ήταν ισότητα, ξαναπές μου Μιχαέλα τι θα κάναμε. 382 Μι- Ε θα κάναμε 4*20+10 που είναι το βάρος του πατέρα. 383 Π- Πόσα κιλά δηλαδή; Πόσο βγαίνει; 385 Μι- 90 κιλά. 387 Ι- Μήπως πρώτα θα μπορούσαμε να κάνουμε μια εξίσωση που να είναι όπως την είπε η Μιχαέλα και να κάνουμε και μια άλλη που να είναι μεγαλύτερο. 388 Μ- Δεν μπορούμε όλα αυτά που λες να τα κάνουμε σε μία; 389 Ι- Ναι. 394 Π- Αν το παιδί είναι 30 κιλά, πόσο θα είναι ο πατέρας; 395 Ι- 120+10=130. 396 Π- Αν ήταν 40 κιλά το παιδί; 397 Ι- (κάνει πράξεις) 170. 401 Π- Άρα τελικά στο ερώτημα πόσα τελικά κιλά μπορεί να ζυγίζει ο πατέρας; 402 Ι- Πάνω από 130. 409 Π- Τώρα αποκτήσατε μια αίσθηση.

420 Μ- Αν ο πατέρας ζύγιζε τα τετραπλάσια κιλά σε σχέση με το παιδί του και το παιδί ζύγιζε 20 κιλά και περισσότερο, πόσα κιλά θα ζύγιζε ο πατέρας ; (απαντούν λανθασμένα: 4*x>20+10, 4*x+10>4*20) 426 (χτυπάει κουδούνι) 427 Μ- Λοιπόν, στο πρώτο ερώτημα κάνατε με την Ιφιγένεια κάποιες πράξεις. Λέγατε ότι αν πολλαπλασιάσετε με έναν αριθμό μπορεί η ανίσωση να αλλάξει. Το ίδιο κι αν προσθέσετε ή αφαιρέσετε έναν αριθμό. Άρα εδώ πέρα έχουμε ότι το βάρος του παιδιού είναι μεγαλύτερο ή ίσο των 20 κιλών. Αν το βάρος του πατέρα ήταν τετραπλάσιο μόνο, το βάρος του πατέρα θα ήταν 4*x>ή=4*20. Δηλαδή αν κάνουμε πράξεις μπορούμε το ζητούμενό μας 4x+10 να το διαμορφώσουμε έτσι μέσα στην ανίσωση. Καταλάβατε τι λέω; Εδώ πέρα τελικά μπορείτε να μου πείτε ποιο μπορεί να είναι το βάρος του πατέρα; 428 Π- Άρα το 4*x από τι είναι μεγαλύτερο ή ίσο; 429 Ι- Από το 20*4. (κάνουν πράξεις και βρίσκουν το ζητούμενο 4x+10>ή=90) 440 (Η Μιχαέλα πάει να λύσει την ανίσωση 4x+10>ή=90)

4ο κρίσιμο σημείο: Αντικατάσταση του «τουλάχιστον» με «το πολύ». 457 Π- Πώς θα αλλάζαμε το πρόβλημα για να μας έβγαινε εδώ μικρότερο ή ίσο; Ποια λέξη θα αλλάζαμε στο πρόβλημα; 460 Ι- Αα. Μειωμένα κατά. 461 Π- Λέτε; 462 Ι- Θα ήταν το 1/4 …. Όχι. 463 Μ- Ποια λέξη κλειδί είχατε για να ξέρετε πόσα περίπου είναι τα κιλά του πατέρα σε σχέση με της μητέρας; 464 Ι- Τετραπλάσια. 465 Μ- Τα κιλά του πατέρα σε σχέση με της μητέρας. 466 Ι- Μειωμένα. Αυξημένα. Τουλάχιστον περισσότερα. 469 Μ- Το τουλάχιστον. Δηλαδή για να ήταν μικρότερα ή ίσα ποια λέξη θα βάζατε; 470 Ι- Τουλάχιστον λιγότερα. 471 Μ- Το πολύ θα λέγαμε. 472 Π- Να μην ξεπερνάει. Να φτάνει μέχρι εκεί.