Μπούρα Αναστασία 1112201500146 Τίκα Πηνελόπη 1112201300281 Μάθημα: Πρακτική Άσκηση σε σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Διδάσκουσα : κα Πόταρη Έτος: 2017-2018 Μπούρα Αναστασία 1112201500146 Τίκα Πηνελόπη 1112201300281

Δυναμική Γεωμετρία: Καινοτόμες Προσεγγίσεις στη Διδασκαλία του Εμβαδού και Χρήση Τεχνολογιών

Η έννοια του εμβαδού κατέχει σημαντική θέση στο μάθημα των μαθηματικών και ιδιαίτερα στη γεωμετρία. Τι είναι όμως το εμβαδόν; Στα λεξικά η λέξη «Εμβαδόν» ερμηνεύεται σαν το μέτρο της έκτασης μιας επιφάνειας ή το εξαγόμενο αποτέλεσμα από την σύγκριση της επιφάνειάς που θέλουμε να μετρήσουμε με μια άλλη επιφάνεια που παίρνουμε ως μονάδα μέτρησης

Στοχοι της παρουσίασης Η μελέτη των αντιδράσεων των μαθητών σε πρωτοποριακές μεθόδους διδασκαλίας Χρήση των νέων τεχνολογιών ώστε να διευκολυνθούν: 1.οι μαθητές στην κατανόηση δύσκολων γεωμετρικών διαδικασιών και 2. οι διδάσκαλοι στις αναπαραστάσεις τους

Θεωρητικό Υπόβαθρο Τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης των van Hiele: Επίπεδο 0: Εποπτική αντίληψη – Νοερή απεικόνιση – Τα σχήματα κρίνονται από την εμφάνισή τους. (Νηπιαγωγείο – ∆’ δημοτικού) Επίπεδο 1: Ανάλυση γεωμετρικών μορφών και σχέσεων – Τα σχήματα είναι φορείς των ιδιοτήτων τους(Γ’ – Στ’ δημοτικού) Επίπεδο 2: Μη τυπική παραγωγή: αρχή παραγωγικής σκέψης και μαθηματικών συλλογισμών – Οι ιδιότητες διατάσσονται: κάποιες προκύπτουν από άλλες (Ε’ δημοτικού – Γ’ γυμνασίου) Επίπεδο 3: Γεωμετρικοί συλλογισμοί, παραγωγική σκέψη – Το νόημά της συνεπαγωγή (Λύκειο) Επίπεδο 4: Αυστηρότητα, αφηρημένη Γεωμετρία

Τα επίπεδα van Hiele είναι απόλυτα χρήσιμα για την διεξαγωγή δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα καθένα από αυτά αντιπροσωπεύει ένα γνωστικό επίπεδο αντίληψης της δεδομένης έννοιας. Συνεπώς, ο εκπαιδευτικός έχοντας ως γνώμονα την βαθμίδα που καλύπτουν οι μαθητές τις εκάστοτε τάξης κατασκευάζει και παρουσιάζει τόσο αντίστοιχες ερωτήσεις , φυλλάδια εργασίας όσο και δραστηριότητες σε περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας. Αποτέλεσμα αυτού είναι να βοηθηθούν οι μαθητές και να περάσουν από διάφορες φάσεις που οδηγούν στο επόμενο επίπεδο γεωμετρικής σκέψης. Ωστόσο δεν αρκεί μόνο η χρήση των επιπέδων αυτών για να γίνει μια έννοια πλήρης κατανοητή στους μαθητές. Ιδιαίτερο ρόλο παίζει ο τρόπος που την παρουσιάζει ο καθηγητής , το πως την συνδέει με τη καθημερινότητα τους αλλά φυσικά και με την οπτική διάσταση που της δίνει. Το εμβαδό παρόλο που είναι αντιληπτό ήδη από το δημοτικό, απαιτεί σχηματική αναπαράσταση ώστε να γίνεται σαφές σε ποιο γεωμετρικό σχήμα ή σύνθεση σχημάτων αναφερόμαστε. Όμως , τόσο εξαιτίας των δυσκολιών στην κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων µε ακρίβεια και ταχύτητα, όσο και των δυσκολιών των μαθητών να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες και να αντιληφθούν τις έννοιες της αιτιολόγησης και της απόδειξης , η γεωμετρία έγινε απρόσιτη και παραγκωνίστηκε. Ένας νέος τρόπος βελτιστοποίησης των παραπάνω προβλημάτων είναι η χρήση προγραμμάτων και τεχνολογιών δυναμικής γεωμετρίας

Επίλυση προβλημάτων που αφορούν το εμβαδόν με χρήση τεχνολογιών Ο κατατεμαχισμός και η ανακατασκευή ενός σχήματος χρησιμοποιούνται συχνά για να λύσουν και να δικαιολογήσουν χειριστικά ένα πρόβλημα στη γεωμετρία, ιδιαίτερα κατά τη διδασκαλία της γεωμετρίας στη δημοτική εκπαίδευση. Αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι καθαρά οπτικοί και μπορούν να γίνουν εύκολα µε αλλαγή της θέσης από την οποία παρατηρούνται ή µε τη μεταφορά τµηµάτων του σχήματος, όπως γίνεται στα παζλ. Στην περίπτωση της έννοιας του εμβαδού, η ανακατασκευή σχημάτων συμβάλλει στην κατανόηση της έννοιας της διατήρησης του εμβαδού, η οποία αποτελεί απαραίτητη προϋπάρχουσα γνώση για τη μέτρηση εμβαδού Γι’ αυτό και προτείνεται από πολλούς η χρήση χαρτιού και ψαλιδιού, ώστε οι μαθητές βασιζόμενοι στις αισθήσεις τους, να κόψουν ένα σχήµα και να το ενώσουν διαφορετικά δημιουργώντας ένα νέο και ταυτόχρονα ισεµβαδικό σχήµα Για να θεμελιώσουν αυτή την έννοια οι μαθητές, χρειάζονται πληθώρα διαφορετικών αναπαραστάσεων των σχημάτων, πράγμα που είναι ανέφικτο να γίνει µε τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται συνήθως στα σχολεία. Επιπλέον, οι δυσκολίες των μαθητών στη μέτρηση του εμβαδού αποδίδονται, εν μέρει, στην ανικανότητα να καλυφθεί το κενό μεταξύ της συμβατικής προσέγγισης του εμβαδού (χρήση μαθηματικών τύπων) και της ποιοτικής προσέγγισης χειρισµού των εμβαδών χωρίς τη χρήση αριθµών (Kordaki, 2003). Οι πιο πάνω δυσκολίες μπορούν να ξεπεραστούν στα πλαίσια ενός περιβάλλοντος ∆Γ, το οποίο θα δίνει στους μαθητές τη δυνατότητα να σύρουν, να κόψουν και να κολλήσουν σχήµατα, δημιουργώντας σε ελάχιστο χρόνο άπειρες αναπαραστάσεις του ίδιου σχήματος, διατηρώντας σταθερό το εμβαδόν. Το NCTM (2000), αναγνωρίζοντας την ανάγκη για οπτική απεικόνιση και χρήση γεωμετρικών μοντέλων στην επίλυση προβλημάτων ειδικά στη γεωμετρία, προτείνει τη χρήση δυναµικών λογισµικών για την κατασκευή αναπαραστάσεων. Το Euclidraw είναι το μοναδικό λογισµικό ∆Γ που προσφέρει τη δυνατότητα για τεμαχισμό και ανασύνθεση των σχημάτων και για αυτό το λόγο χρησιμοποιήθηκε στις παρακάτω ενδεικτικές δραστηριότητες

Δραστηριότητα 1 Δίνεται στους μαθητές ένα προκατασκευασμένο σχήμα (Σχ. 1) σε αρχείο του EucliDraw. Με το εργαλείο διαχωρισμού πολύγωνου του λογισμικού, αποκόπτουν τα κίτρινα τρίγωνα από το ορθογώνιο στο οποίο ανήκουν. Έπειτα, καλούνται να φτιάξουν το κόκκινο τρίγωνο µε τα δύο κίτρινα τρίγωνα. Αναμένεται να περιστρέψουν, σύρουν και τοποθετήσουν τα κίτρινα τρίγωνα πάνω στο κόκκινο. Στόχος της δραστηριότητας είναι οι μαθητές να παρατηρήσουν ότι το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου ισούται µε το μισό αυτού του ορθογωνίου.

Δραστηριότητα 2 Ο Georg Alexander Pick είναι γνωστός για το θεώρημα του, που αναφέρεται στον προσδιορισμό εμβαδού πολυγώνου πλέγματος, δηλαδή πολύγωνα που οι κορυφές τους έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Έχουμε ότι το εμβαδόν ενός τέτοιου πολυγώνου εξαρτάται από: Εμβαδον=Ε+Π/2 -1 Ε= το πλήθος των σημείων στο εσωτερικό του πολυγώνου Π= το πλήθος των σημείων στην περίμετρο του Παράδειγμα

Στα σύγχρονα σχολικά βιβλία του γυμνασίου δε γίνεται καμία σαφής αναφορά στο θεώρημα, ωστόσο στο βιβλίο της Β΄ Γυμνασίου (Βλάμος, Δρούτσας, Πρέσβης, Ρεκκούμης 2007, Μαθηματικά Β’ Γυμνασίου Αθήνα Ο.Ε.Δ.Β ) υπάρχουν ασκήσεις που μέσα από το σχήμα τους αφήνουν κάποιες υποψίες για πιθανή σύνδεση του εμβαδού με το πλήθος των σημείων του πλέγματος Ένα παράδειγμα τέτοιας σύνδεσης είναι η εφαρμογή που τέθηκε σαν άσκηση στην 3η διδακτική ώρα που παρακολουθήσαμε στο Πειραματικό Γυμνάσιο και Λύκειο στο Κολωνάκι στο μάθημα της Β΄ Γυμνασίου. Εφαρμογη1 Να υπολογίσετε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδού:  Λύση: α) Μετρώντας τα τετραγωνάκια  που υπάρχουν μέσα σε κάθε σχήμα παρατηρούμε ότι είναι 71. Άρα Ε = 71. β) Αφού κάθε τριγωνάκι   έχει το μισό εμβαδόν από κάθε τετραγωνάκι  , τα δύο εμβαδά με μονάδα μέτρησης το θα είναι 2 • 71 = 142. Άρα Ε = 142. γ) Αφού κάθε  έχει το διπλάσιο εμβαδόν από κάθε τετραγωνάκι , τα δύο εμβαδά με μονάδα μέτρησης το θα είναι . Άρα Ε = 35,5.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο τεχνικές: 1 Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο τεχνικές: 1. «Κόψε-Ράψε » Αναφέρεται στον τεμαχισμό του σχήματος και την μεταφορά κάποιων κομματιών σε άλλη θέση με στόχο την δημιουργία ισοδύναμου σχήματος με γνωστό τύπο εμβαδού 2. «Περικύκλωση» Αναφέρεται στην εγγραφή του σχήματος σε ένα άλλο σχήμα με γνωστό τύπο εμβαδού. Κατόπιν με αφαιρέσεις των εμβαδών των επιπλέον κομματιών είναι εφικτός ο υπολογισμός του εμβαδού του αρχικού σχήματος Χρησιμοποιώντας αυτές τις 2 τεχνικές αρχικά και έπειτα την υπόδειξη της καθηγήτριας για αλλαγή της μονάδας μέτρησης οι μαθητές υπολόγισαν το εμβαδόν των σχημάτων Ωστόσο κανένα παιδί δε σκέφτηκε την σύνδεση που μπορεί να υπάρχει στο εμβαδόν και στα σημεία του. Συνεπώς σε ένα περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας θα μπορούσαμε εύκολα να συνδέσουμε έναν μετρητή σημείων που βρίσκονται στο εσωτερικό και στο περίγραμμα του σχήματος με το εμβαδόν σύμφωνα με την σχέση του θεωρήματος κατά αυτόν τον τρόπο θα γίνει και μια διαισθητική και όχι τόσο προφανής συνένωση με άλλα πεδία των μαθηματικών όπως είναι το σύστημα συντεταγμένων

Ευχαριστούμε για την προσοχή σας Καταληκτικά η χρήση των νέων τεχνολογιών στη γεωμετρία επιφέρει αλλαγές που μέχρι τότε ήταν αδιανόητες. Οι μαθητές μπορούν έχουν μια ευρύτερη νόηση των γεωμετρικών σχημάτων κάτι το οποίο αποτελεί ακρογωνιαίο λίθο στην δόμηση όλης της φιλοσοφίας του μαθήματος. Ευχαριστούμε για την προσοχή σας

Βιβλιογραφία http://blogs.sch.gr/iokaragi/files/2012/11/%CE%95%CE%B9%CF%83%CE%AE%CE%B3 %CE%B7%CF%83%CE%B7-1- %CE%9A%CE%B1%CE%BB%CE%B1%CE%BC%CE%AC%CF%84%CE%B1%CF%82- %CE%A3%CF%89%CF%84%CE%B7%CF%81%CE%AC%CE%BA%CE%B7%CF%82- %CE%9C%CE%B1%CE%BB%CE%BB%CE%B9%CE%AC%CE%BA%CE%B1%CF%82.pdf (Διδακτικές παρεμβάσεις στη διδασκαλία του εμβαδού στη Β’ Γυμνάσιου και Β’ Λυκείου: Καλαμάτας- Σωτηράκης -Μαλλιάκας καθηγητές στο 1ο και 2ο ΓΕΛ Ρόδου) http://users.math.uoc.gr/~chrisk/GeomEd/geometry-3.pdf (Τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης των van Hiele. ) file:///C:/Users/mfl892/Downloads/etpe96%20(1).pdf (∆υναμική Γεωμετρία : Η περίπτωση της διδασκαλίας εμβαδού και απόδειξης µέσω μετασχηματισμού :Τσούκκας, Ξυστούρη, Χρίστου, Πίττα- Πανταζή Πανεπιστήμιο Κύπρου) Βλάμος, Δρούτσας, Πρέσβης, Ρεκκούμης 2007, Μαθηματικά Β’ Γυμνασίου Αθήνα Ο.Ε.Δ.Β Οικοσελίδα του Euclidraw, Πληροφορίες που ανευρέθηκαν τον Απρίλιο του 2004 από το http://www.euclidraw.com/Gr_fls/EUC_greek.html