Παρουσίαση Προβλημάτων Msc , μαθηματικού Κοσόγλου Ιορδάνη “Πώς να το λύσω;” του G. Polya Παρουσίαση Προβλημάτων Msc , μαθηματικού Κοσόγλου Ιορδάνη Φεβρουάριος-Μάρτιος 2016

Περιεχόμενα Πρόβλημα Νο12 Πρόβλημα Νο13 Πρόβλημα Νο14

Εκφώνηση Προβλήματος Νο12 Ο Κώστας , ο Πέτρος και ο Παύλος ταξιδεύουν μαζί. Ο Πέτρος και ο Παύλος είναι καλοί στο περπάτημα, ο καθένας τους περπατά ρ χιλιόμετρα την ώρα. Ο Κώστας έχει χτυπήσει το πόδι του και οδηγεί ένα μικρό διθέσιο αυτοκίνητο , δεν χωράει όμως και τους τρεις. Το αυτοκίνητο αυτό διανύει c χιλιόμετρα την ώρα. Έτσι αποφάσισαν τα εξής: Ξεκινούν μαζί, ο Παύλος μπαίνει στο αυτοκίνητο με τον Κώστα και ο Πέτρος περπατάει. Μετά από ένα διάστημα , ο Κώστας κατεβάζει τον Παύλο, που αρχίζει να περπατάει. Ο Κώστας επιστρέφει να πάρει τον Πέτρο, ο οποίος μπαίνει στο αυτοκίνητο και οδηγούν μέχρι να φτάσουν στον Παύλο. Σε αυτό το σημείο αλλάζουν : Ο Παύλος ανεβαίνει στο αυτοκίνητο και ο Πέτρος περπατάει ακριβώς όπως ξεκίνησαν και η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να φτάσουν . α ) Πόσα χιλιόμετρα την ώρα κάνουν και οι τρεις φίλοι ; β ) Υπάρχει κάποιος χρόνος που στο αυτοκίνητο είναι μόνο ένα άτομο. Ποιο κλάσμα (του χρόνου ταξιδιού) δείχνει τον χρόνο αυτό ; γ ) Εξετάστε τις ακραίες περιπτώσεις ρ = 0 και c = 0.

Κατανόηση Προβλήματος Προαπαιτούμενα για τη λύση του προβλήματος. 1 ) Γνώση ευθύγραμμης ομαλής κίνησης, (S = u∙t) 2 ) Καλή γνώση των ιδιοτήτων των αναλογιών. Θυμίζουμε από το Γυμνάσιο, τον παρακάτω πίνακα.

Επινόηση Σχεδίου Διαχωρίστε τα μέρη της συνθήκης. Χωρίζουμε τη συνθήκη σε δυο μέρη και το πρόβλημα σε τρεις φάσεις. Συγκεκριμένα :

Εκτέλεση Σχεδίου

Απάντηση στα ερωτήματα

Πρόβλημα Νο13 Τρεις αριθμοί βρίσκονται σε Α.Π και τρεις άλλοι σε Γ.Π . Προσθέτοντας διαδοχικά τους αντίστοιχους όρους αυτών των δυο προόδων έχουμε : 85 , 76 , 84 αντίστοιχα, και , προσθέτοντας και τους τρεις όρους της Α.Π, παίρνουμε άθροισμα 126. Να βρεθούν οι όροι των δυο προόδων. ΛΥΣΗ Σκοπός του δασκάλου: Η ικανότητα του μαθητή να λύσει το πρόβλημα. Ένας ωφέλιμος τρόπος είναι, διακρίνοντας τέσσερις φάσεις στην επίλυση προβλήματος. Κατανόηση Προβλήματος. Επινόηση Σχεδίου. Εκτέλεση του Σχεδίου. Κοιτάζοντας προς τα πίσω. Θεωρούμε τα κυριότερα στοιχεία του προβλήματος : Το ζητούμενο Τα δεδομένα Τη συνθήκη

Επίλυση Προβλήματος No13 Κατανόηση Προβλήματος Ποιο το δεδομένο ; Τρεις αριθμοί Α.Π και τρεις Γ.Π. Ποιο είναι το ζητούμενο ; Να βρεθούν οι παραπάνω όροι. Ποια είναι η συνθήκη ; Τα αθροίσματα των αντίστοιχων όρων των δυο προόδων είναι 85 , 76 , 84 και το άθροισμα των όρων της Α.Π είναι 126. Επινόηση Σχεδίου Κατανοείτε τη συνθήκη ; Μπορείτε να διαχωρίσετε τα μέρη της συνθήκης ; Δυο τα σκέλη, ένα που έχει σχέση με τα αθροίσματα των αντίστοιχων όρων, από το οποίο μπορούν να προκύψουν 3 εξισώσεις και το δεύτερο σκέλος προκύπτει από την φράση : «το άθροισμα των όρων της Α.Π είναι 126» , άλλη μια εξίσωση, συνολικά τέσσερις. Μπορείτε να γράψετε τις έννοιες με μαθηματικό συμβολισμό ; Το σχέδιο : Ονομάζω τους αγνώστους, χωρίζω τη συνθήκη σε σκέλη και λύνω το σύστημα που προκύπτει. Στο τέλος κάνω επαλήθευση.

Επίλυση Προβλήματος No13 Εκτέλεση Σχεδίου Ονομάζω τους ζητούμενους όρους : Το δεύτερο σκέλος της συνθήκης : «το άθροισμα των όρων της Α.Π είναι 126» , πως μπορεί να γραφεί σε μαθηματική γλώσσα ; x – ω + x + x + ω = 126 ή 3x = 126 ή x = 42

Επίλυση Προβλήματος No13 Κοιτάζοντας προς τα πίσω Κάνατε επαλήθευση ; Προφανώς και οι δυο λύσεις επαληθεύουν τα δεδομένα και τη συνθήκη.

Γενίκευση Προβλήματος Νο13 Τρεις αριθμοί βρίσκονται σε Α.Π και τρεις άλλοι σε Γ.Π . Προσθέτοντας διαδοχικά τους αντίστοιχους όρους αυτών των δυο προόδων έχουμε : δ , ε , ζ αντίστοιχα, και , προσθέτοντας και τους τρεις όρους της Α.Π, παίρνουμε άθροισμα c. Να βρεθούν οι όροι των δυο προόδων. Επίλυση Προβλήματος Εργαζόμαστε ανάλογα. Αν ω είναι η διαφορά της αριθμητικής και λ ο λόγος της γεωμετρικής προόδου. Τότε οι όροι των προόδων έχουν τη μορφή: Α.Π : …… ,α – ω, α, α + ω, … … (A) Γ.Π : … ,βλ-1, β, βλ, … , (Γ) Τα δεδομένα του προβλήματος διαχωρίζονται εύκολα σε τέσσερα μέρη που εκφράζονται με τις εξισώσεις: α – ω + β λ-1 = δ (1) α + β = ε (2) α + ω + βλ = ζ (3) (2n + 1)α = c (4) Από την επίλυση του συστήματος (1)-(4) προκύπτουν οι ζητούμενοι αριθμοί.

Βασικές Ερωτήσεις Κατανόησης Προβλήματος Πρόβλημα Νο14 Βασικές Ερωτήσεις Κατανόησης Προβλήματος Ποιο το δεδομένο ; Η Εξίσωση (1). Ποιο είναι το ζητούμενο ; Ο πραγματικός αριθμός m. Ποια είναι η συνθήκη ; Η (1) έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες που σχηματίζουν Α.Π. Επινόηση Σχεδίου Κατανοείτε τη συνθήκη ; Προσοχή ! Αν α είναι ρίζα της (1) , τότε και η –α είναι ρίζα της (1), μιας και η εξίσωση περιέχει άρτιες δυνάμεις του ζητούμενου x. Μπορείτε να γράψετε τις έννοιες με μαθηματικό συμβολισμό ; Το σχέδιο : Ονομάζω τις τέσσερις ρίζες , σχηματίζω μια άλλη εξίσωση (2) που έχει ρίζες τις παραπάνω και συγκρίνω τις (1) και (2), τέλος κάνω επαλήθευση.

Εκτέλεση Σχεδίου Προβλήματος

Βιβλιογραφία [1] G. Polya, Πώς να το λύσω , Princeton University Press ,2η έκδοση-1957.