Κατανοώντας τα μαθηματικά

Κονστρουκτιβισμός τα παιδιά ως δημιουργοί (κατασκευαστές) της γνώσης τα παιδιά ως δημιουργοί (κατασκευαστές) της γνώσης Διοχέτευση της γνώσης από εξωτερικές πηγές ή αναστοχαστική, ενεργή σκέψη;

κατασκευάζοντας (οικοδομώντας) τη γνώση

Διαδικαστική και συσχετιστική κατανόηση Ως μέτρο της ποιότητας και ποσότητας των συνδέσεων μιας ιδέας με τις υπάρχουσες. Η συσχετιστική κατανόηση: εσωτερική επιβράβευση ενισχύει τη μνήμη δε χρειάζεται να θυμόμαστε πολλά βοηθά στην εκμάθηση νέων εννοιών και διαδικασιών βελτιώνει τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων αυτοπαράγεται βελτιώνει στάσεις και πεποιθήσεις

156 : 4; Και τώρα τι κάνουμε...

Ο ρόλος της εκπαιδευτικού All in a day’s work, Louis Wain (1860-1939)

Μεταφορά γνώσης «Η σημαντικότερη δουλειά μιας δασκάλας είναι να μεταφέρει τις γνώσεις της στους μαθητές και τις μαθήτριες, ώστε να φτάσουν σταδιακά στο επίπεδο της δικής της δεξιότητας.»

«Οι μαθητές και οι μαθήτριες πρέπει να αποφεύγουν όλες τις πιθανές κακοτοπιές όπου ένα ανώριμο μυαλό, που δεν μπορεί να ξεχωρίσει το απαραίτητο από το περιττό, θα μπορούσε να χαθεί σαν σε λαβύρινθο.»

Επεξήγηση «Με λίγα λόγια λοιπόν, η πεμπτουσία της δουλειάς του δασκάλου είναι να εξηγεί: να αποδεσμεύει τα απλά στοιχεία που σχετίζονται με τη μάθηση και να τα συμφιλιώνει με το χαρακτήρα των νεαρών και αμαθών μυαλών.»

Η ανάγκη για επεξήγηση «Και για να το κατανοήσει, πρέπει να δοθούν εξηγήσεις, πρέπει τα λόγια του δασκάλου να σπάσουν τη σιωπή του υλικού που διδάσκεται.» Κανείς ή καμιά δεν γνωρίζει πραγματικά κάτι αν δεν το έχει πρώτα κατανοήσει. Η ανάγκη για επεξήγηση: πολλές φορές τυφλή αποδοχή αυτής της ανάγκης από κάθε σύστημα διδασκαλίας. Αυτό που δίνει ένα τέλος στην ατέλειωτη παλινδρόμηση των εξηγήσεων και ταυτόχρονα αποτελεί τα θεμέλια του συστήματος, είναι η κρίση του επεξηγητή για το σημείο στο οποίο η επεξήγηση έχει εξηγηθεί. Είναι η επεξήγηση αναγκαία για να γιατρέψει την αδυναμία κατανόησης; Χρειάζεται ο επεξηγητής τον αδύναμο, ή ισχύει μόνο το αντίστροφο; Μήπως ο επεξηγητής είναι αυτός που καθιστά τον «αδύναμο» ως αδύναμο. Το να εξηγήσεις κάτι σε κάποιον ή κάποια απαιτεί να αναδείξεις ότι δεν μπορεί να το κατανοήσει από μόνος ή μόνη του. Το κόλπο του επεξηγητή: είναι τώρα που ξεκινά η πράξη της μάθησης. Έχοντας ρίξει το πέπλο της άγνοιας πάνω στο υλικό που πρόκειται να μαθευτεί, καλεί ο ίδιος τον εαυτό του για να σηκώσει αυτό το πέπλο.

Μοντέλο Ωρίμανσης της Μαθηματικής Σκέψης [Susan Pirie, 1992] Κανείς ή καμιά δεν γνωρίζει πραγματικά κάτι αν δεν το έχει πρώτα κατανοήσει. Η ανάγκη για επεξήγηση: πολλές φορές τυφλή αποδοχή αυτής της ανάγκης από κάθε σύστημα διδασκαλίας. Αυτό που δίνει ένα τέλος στην ατέλειωτη παλινδρόμηση των εξηγήσεων και ταυτόχρονα αποτελεί τα θεμέλια του συστήματος, είναι η κρίση του επεξηγητή για το σημείο στο οποίο η επεξήγηση έχει εξηγηθεί. Είναι η επεξήγηση αναγκαία για να γιατρέψει την αδυναμία κατανόησης; Χρειάζεται ο επεξηγητής τον αδύναμο, ή ισχύει μόνο το αντίστροφο; Μήπως ο επεξηγητής είναι αυτός που καθιστά τον «αδύναμο» ως αδύναμο. Το να εξηγήσεις κάτι σε κάποιον ή κάποια απαιτεί να αναδείξεις ότι δεν μπορεί να το κατανοήσει από μόνος ή μόνη του. Το κόλπο του επεξηγητή: είναι τώρα που ξεκινά η πράξη της μάθησης. Έχοντας ρίξει το πέπλο της άγνοιας πάνω στο υλικό που πρόκειται να μαθευτεί, καλεί ο ίδιος τον εαυτό του για να σηκώσει αυτό το πέπλο.

α. δ. ε. θ. ζ. β. γ. στ. η. ι. --. καθημερινές εμπειρίες μοιράσματος συνεχών αντικειμένων (σοκολάτες, πίτσες), και διακριτών αντικειμένων (βώλους, καραμέλες) Α. το παιδί ασχολείται με δραστηριότητες δίπλωσης και κοψίματος που αποτελούν αναπαράσταση καθημερινών δραστηριοτήτων στο χαρτί ή μέσω χειραπτικού υλικού (π.χ. fraction circles, Cuisenaire rods, κ.ά.) Β. το παιδί χτίζει την έννοια των κλασμάτων ως κομματιών που προέρχονται από τη μοιρασιά ενός όλου σε δίκαια μερίδια Γ. το παιδί παρατηρεί κάποια χαρακτηριστική ιδιότητα των ισοδύναμων κλασμάτων, σχηματίζει με τα χειραπτικά υλικά και γράφει ακολουθίες όπως η επόμενη: 1/2 = 2/4 = 4/8 = 8/16 = … Δ. το παιδί ασχολείται με επιπλέον δραστηριότητες όπως στο Α μετά από προτροπή της δασκάλας Ε. παρατηρεί ότι βάζοντας 3/8 και 2/8 μαζί μπορεί να πάρει 5/8. ΣΤ. παράλληλα μπορεί να επισημοποιήσει στο μυαλό του το συμβολισμό ενός κλάσματος, με τον πάνω αριθμό να δείχνει πόσα κομμάτια έχω από όλα τα δίκαια μερίδια στα οποία έκοψα το όλο μου και να γράψει 3/8 + 2/8 = 5/8. Ζ. η δασκάλα ρωτά «πώς μπορώ να βάλω δεύτερα και τρίτα μαζί», και το παιδί αναδιπλώνεται επιστρέφοντας σε δραστηριότητες αναπαράστασης κλασμάτων με χειραπτικά υλικά. Η. το παιδί παρατηρεί ότι μπορώ να τα βάλω μαζί αν τα κόψω με κάποιον ίδιο τρόπο και δείχνει στη δασκάλα του το 1/2 και 2/3 χρησιμοποιώντας κάποιο χειραπτικό υλικό. Θ. «μπορείς να μου το δείξεις χωρίς τις ράβδους του Cuisenaire;», ρωτά η δασκάλα το παιδί, και αυτό ξαναγυρνά στα σχήματα και στο υλικό. Ι. «ναι, πρώτα πολλαπλασιάζεις τους παρονομαστές… έκτα... κάνεις τα κλάσματα ισοδύναμα και... στο τέλος-τέλος προσθέτεις τους αριθμητές», λέει το παιδί.

καινοτομία δόμηση διάκριση επισημοποίηση ανάδυση χαρακτηριστικών κατοχή αναπαραστάσεων κατασκευή πρωταρχική γνώση (πρωταρχική γνώση): Ο χαρακτηρισμός αυτής της γνώσης ως πρωταρχικής δεν συνεπάγεται και μαθηματική γνώση χαμηλού επιπέδου. Θα μπορούσαμε με άλλα λόγια να πούμε ότι το υλικό αυτού του επιπέδου ισοδυναμεί με τις γνώσεις που κουβαλά το παιδί μαζί του στο σχολείο, οι οποίες μπορούν να σχετίζονται με έξω-σχολικές εμπειρίες. (χτίσιμο αναπαραστάσεων): Σε αυτό το επίπεδο το παιδί αρχίζει να χτίζει αναπαραστάσεις μαθηματικών εννοιών υποστηριζόμενο από τις προηγούμενες εμπειρίες του. Οι αναπαραστάσεις αυτές, οι οποίες μπορεί να είναι φυσικές ή νοητικές, είναι περισσότερο αυτόνομες ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε νέες και όχι τόσο προσφιλείς καταστάσεις. (κατοχή αναπαραστάσεων): Σε αυτό το επίπεδο οι μαθηματικές έννοιες αποδεσμεύονται από φυσικές αναπαραστάσεις, απελευθερώνοντας έτσι το παιδί από την ανάγκη συγκεκριμένων πράξεων ή παραδειγμάτων. Έτσι η αναπαράσταση μιας μαθηματικής έννοιας σε αυτό το επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα διαθέσιμο προς χρήση νοητικό αντικείμενο. (παρατήρηση χαρακτηριστικών): Οι αναπαραστάσεις των μαθηματικών εννοιών μπορούν πια να εξεταστούν ως προς συγκεκριμένες ή συγγενείς ιδιότητες. Το παιδί ‘κοιτά’ στις νοητικές του εικόνες, που μπορεί να είναι αρκετές σε αριθμό και ακόμη αποσυνδεδεμένες. Μπορεί λοιπόν να διερωτηθεί το παιδί: «Μπορούν αυτές να συνδεθούν με κάποιο τρόπο; Μπορώ να κάνω κάποιες υποθέσεις βασιζόμενη σε αυτές τις αναπαραστάσεις;» (επισημοποίηση): Αυτό το επίπεδο κατανόησης προϋποθέτει συνειδητή σκέψη αναφορικά με τα χαρακτηριστικά που έχουν ήδη παρατηρηθεί και τη δημιουργία περαιτέρω κοινών ιδιοτήτων. Το παιδί μπορεί πια να κάνει γενικεύσεις, ενώ αναπηδούν πλήρεις μαθηματικοί ορισμοί. Το παιδί έχει πια μια νέα κλάση νοητικών αντικειμένων, περισσότερο αφηρημένης μορφής. (διάκριση): Η διάκριση έχει με το επίπεδο επισημοποίησης την ίδια σχέση που έχει και η παρατήρηση χαρακτηριστικών με το επίπεδο κατοχής αναπαραστάσεων. Το παιδί παρατηρεί τις ‘επισημοποιήσεις’ του και αναζητεί τρόπους δόμησης και συνδυασμού τους. Το παιδί γνωρίζει ‘ότι γνωρίζει’ και μπορεί να προλογίζει τις συνέπειες των σκέψεων και όχι μόνο των πράξεων του.

ι. α. β. γ. στ. δ. ε.

Για την αναπαράσταση των εννοιών

Για την αναπαράσταση των εννοιών

Μετρώντας στα δάχτυλα