ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Έλεγχοι Σταθερότητας

Η σταθερότητα των συντελεστών ενός εκτιμημένου υποδείγματος είναι μια από τις πλέον επιθυμητές ιδιότητες στα οικονομετρικά υποδείγματα. Δεν μπορούμε να έχουμε ικανοποιητικές προβλέψεις σε ένα εκτιμημένο γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης αν οι συντελεστές του δεν παραμένουν σταθεροί διαχρονικά.

Οι συντελεστές των ανεξάρτητων μεταβλητών που εκτιμώνται είναι σταθεροί, όχι μόνο για τη συνολική περίοδο που εξετάζονται αλλά και κατά τη διάρκεια των διαφόρων χρονικών υποπεριόδων. Αν οι συντελεστές των ανεξάρτητων μεταβλητών δεν παραμένουν ίδιοι σε όλη τη χρονική διάρκεια που εξετάζουμε, τότε προκύπτει το πρόβλημα της διαρθωτικής μεταβολής (structural change) των συντελεστών του υποδείγματος.

Ορισμένες φορές, η διαρθρωτική μεταβολή μπορεί να οφείλεται σε εξωτερικούς παράγοντες (π.χ. το εμπάργκο πετρελαίου που επιβλήθηκε από το καρτέλ πετρελαίου του ΟΠΕΚ το 1973 και το 1979, ο πόλεμος του Κόλπου 1990-1991 κτλ).

Οι οικονομετρικοί έλεγχοι που εφαρμόζονται για την εύρεση του προβλήματος της αστάθειας των συντελεστών του υποδείγματος ονομάζονται έλεγχοι σταθερότητας (stability tests). Έλεγχοι του Chow (Έλεγχος της ισότητας,Έλεγχος προβλεπτικής αποτυχίας). Έλεγχος Brown, Durbin & Evans (CUSUM, CUSUMQ).

Έλεγχος ισότητας των συντελεστών Σε πολλές περιπτώσεις μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε αν η σχέση που υπάρχει μεταξύ της εξαρτημένης μεταβλητής και των αντίστοιχων ερμηνευτικών μεταβλητών διατηρείται σταθερή ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες χρονικές υποπεριόδους ή ανάμεσα σε δύο ή περισσότερα διαστρωματικά επίπεδα. Με άλλα λόγια θέλουμε να ελέγξουμε αν όλοι οι συντελεστές της παλινδρόμησης σε δύο διαφορετικά δείγματα παρατηρήσεων των ίδιων μεταβλητών είναι ίσοι μεταξύ τους.

Έστω το παρακάτω υπόδειγμα το οποίο το χωρίζουμε σε δύο υποπεριόδους n1 και n2 (ο διαχωρισμός του υποδείγματος είναι αυθαίρετος). Ο έλεγχος του Chow για τη σταθερότητα των συντελεστών αποσκοπεί να ελεγχθεί αν οι συντελεστές της πρώτης υποπεριόδου με παρατηρήσεις n1 είναι ίσοι με τους συντελεστές της δεύτερης υποπεριόδου με παρατηρήσεις n2.

Ο έλεγχος του Chow για τη σταθερότητα των συντελεστών (Chow breakpoint test) βασίζεται στα παρακάτω βήματα: 1. Εκτιμούμε το πρώτο υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων (Error Sum of Squares) ΕSSn με βαθμούς ελευθερίας v = n - (k + 1) (όπου n = n1 + n2) όλες οι παρατηρήσεις και k ο αριθμός των μεταβλητών της συνάρτησης.

Εκτιμούμε το δεύτερο υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων (Error Sum of Squares) ΕSSn1 με βαθμούς ελευθερίας v1 = n1 - (k + 1) (όπου n1 οι παρατηρήσεις της πρώτης υποπεριόδου και k ο αριθμός των μεταβλητών της συνάρτησης. Εκτιμούμε το τρίτο υπόδειγμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων (Error Sum of Squares) ΕSSn2 με βαθμούς ελευθερίας v2 = n2 - (k + 1) (όπου n2 οι παρατηρήσεις της δεύτερης υποπεριόδου και k ο αριθμός των μεταβλητών της συνάρτησης.

Υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων από τα δύο υποδείγματα των δύο υποπεριόδων ΕSSn1 + ΕSSn2 το οποίο έχει βαθμούς ελευθερίας v1+ v2 = n1 - (k + 1) + n2 - (k + 1) = n1 + n2 – 2(k+1). Αφαιρούμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων του προηγουμένου βήματος από το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων του πρώτου υποδείγματος ΕSSn - (ΕSSn1 + ΕSSn2) το οποίο έχει βαθμούς ελευθερίας n - (k + 1) – [n1 + n2 – 2(k+1)] = k + 1

6. Υπολογίζουμε την ποσότητα: Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι μια διαρθρωτική μεταβολή έχει συμβεί στους συντελεστές των συναρτήσεων των δύο υποπεριόδων.

Έλεγχος Brown, Durbin και Evans Οι Brown, Durbin και Evans (1975) δημιούργησαν για τον έλεγχο της σταθερότητας των συντελεστών των υποδειγμάτων δύο τεχνικές που βασίζονται στη διερεύνηση της διαχρονικής συμπεριφοράς των επαναληπτικών καταλοίπων (Recursive residuals). Τα επαναληπτικά κατάλοιπα είναι αυτά που προκύπτουν από τη μέθοδο των διαδοχικών ελαχίστων τετραγώνων (Recursive Least Squares).  

Ο έλεγχος της σταθερότητας των συντελεστών της παλινδρόμησης γίνεται με την ανάλυση της συμπεριφοράς των επαναληπτικών καταλοίπων. Οι Brown, Durbin και Evans πρότειναν δύο μεθόδους για τον έλεγχο της σταθερότητας του υποδείγματος. Η πρώτη μέθοδος αναλύει τη συμπεριφορά του αθροίσματος των επαναληπτικών καταλοίπων και η δεύτερη διερευνά τη συμπεριφορά του αθροίσματος των τετραγώνων των επαναληπτικών καταλοίπων.

Και στις δύο μεθόδους των Brown, Durbin και Evans τα κατάλοιπα σταθεροποιούνται με τη διακύμανσή τους, με αποτέλεσμα το υπόδειγμα που εκτιμούμε με τη μέθοδο των διαδοχικών ελαχίστων τετραγώνων, να μην αντιμετωπίζει τα προβλήματα της αυτοσυσχέτισης και της ετεροσκεδαστικότητας. Στη διεθνή βιβλιογραφία η πρώτη μέθοδος (πρώτος έλεγχος) των Brown, Durbin και Evans είναι γνωστός με τον όρο CUSUM (Cumulative Sums), επειδή η σταθερότητα των συντελεστών ελέγχεται με τη διαχρονική συμπεριφορά του αθροίσματος των καταλοίπων.

Η δεύτερη μέθοδος (δεύτερος έλεγχος) είναι γνωστός με τον όρο CUSUMQ (Cumulative Sums of Squares), επειδή η διαδικασία ελέγχου της σταθερότητας των συντελεστών του υποδείγματος βασίζεται στη διαχρονική τάση του αθροίσματος των τετραγώνων των καταλοίπων. Και οι δύο έλεγχοι χρησιμοποιούνται σε πολλές οικονομετρικές εφαρμογές για να προσδιοριστεί αν το υπόδειγμα έχει διαρθρωτική σταθερότητα, καθώς τα επαναληπτικά κατάλοιπα είναι ανεξάρτητα και κατανέμονται με μέσο μηδέν και διακύμανση σταθερή

Οι αναμενόμενες τιμές του στατιστικού των δύο ελέγχων των Brown, Durbin και Evans απεικονίζονται μεταξύ δύο κριτικών γραμμών (critical lines). Οι κριτικές γραμμές έχουν υπολογιστεί σε επίπεδο σημαντικότητας 5% και για τους δύο ελέγχους. Αν η γραμμή που σχηματίζουν οι αναμενόμενες τιμές βρίσκονται εντός των δύο κριτικών γραμμών, τότε λέμε ότι το υπόδειγμα έχει σταθερούς συντελεστές, με άλλα λόγια δεν παρουσιάζει πρόβλημα διαρθρωτικής αστάθειας.

CUSUM test

CUSUM of Squares test