Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΔΙΑΣΤΚΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΔΙΑΣΤΚΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΔΙΑΣΤΚΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

2 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα2 2.0 Περιεχόμενα  2.1 Δυαδική Λογική και Πύλες  2.2 Boolean Algebra  2.3 Κανονικές Μορφές  2.4 Απλοποίηση με Karnaugh Map  2.5 Αναπαράσταση με K-maps  2.6 Πύλες NAND και NOR  2.7 Πύλες Exclusive – OR  2.8 Ολοκληρωμένα Κυκλώματα

3 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα3 2.1 Συνδυαστικά Λογικά Κυλώματα Combinational Logic Circuits  Λογικές Πύλες  Βoolean Algebra  Aπλοποίηση  με Boolean Algebra και K-MAPS  Yλοποίηση Kυκλωμάτων  ΝΑΝD, NOR  Two-level  XOR

4 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα4 2.1 Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα  Ψηφιακά συστήματα επεξεργάζονται δυαδικές πληροφορίες  Συχνά αποτελούνται από ολοκληρωμένα κυκλώματα (integrated ccts) περιέχουν 100δες εκατομμύρια xtrs και πολλά μέτρα μηκος σύρμα (πολύ μικρό πλάτος: nm! τρίχα/10000)  Τransistors και σύρματα σιλικόνης Logic Gates  Βασικά κυκλώματα ενος ψηφιακού συστήματος μπορούν να περιγράφουν με Λογικές Πύλες (Logic Gates: ΑΝD, OR, NOT)

5

6 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα6 2.1 Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα λογικές ιδιότητες  Αφαιρετικότητα: δεν χρειάζεται γνώση ηλεκτρονικών ιδιοτήτων πυλών για περιγραφή/σχεδιασμό ψηφιακών συστημάτων, μόνο λογικές ιδιότητες πράξη  Μια πύλη εκτελεί μια πράξη στα εισαγόμενα για να παράξει ένα εξαγόμενο. Το εξαγόμενο χρησιμοποιείται στην είσοδο κάποιας πύλης. Πύλη

7 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα7 2.2 Βοοlean Algrebra  Mαθηματική Θεωρία Λογικής (1850s)  Χρησιμοποιείται για  περιγραφή δυαδικών λογικών κυκλωμάτων με μαθηματικές εκφράσεις  επεξεργασία εκφράσεων  ανάλυση και σχεδιασμό

8 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα8 2.2 Δυαδική Λογική  Δυαδικές μεταβλητές παίρνουν δυο διακριτές τιμές: 0 και 1  Μεταβλητές συμβολίζονται με Α,Β,C,..,Z  3 Bασικοί Λογικοί Τελεστές  ΑΝDZ=X. Y ή Z=XY  OR Z=X+Υ  NOT Ζ=Χ, Z = X’ (άρνηση, συμπλήρωμα) Διαφορές δυαδικής λογικής και αριθμητικής...

9 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα9 2.2 Oρισμοί Τελεστών ANDORNOT 0. 0 = = 00 = = = 11 = = = = = 1

10 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Πίνακας Αλήθειας (Τruth Table) Περιλαμβάνει όλους τους συνδυασμούς τιμών σε μία έκφραση και την αντίστοιχη τιμή της έκφρασης n εισόδους, n στήλες και 2 n σειρές. Κάθε σειρά ένα μοναδικό δυαδικό συνδυασμό (0.. 2 n -1)

11 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates)  Λογικές Πύλες: ηλεκτρονικά κυκλώματα με ένα ή περισσότερα σήματα εισόδου και ένα σήμα εξόδου.  Τα σήματα είναι σε ηλεκτρική μορφή (τάση) με μια από δυο τιμές  Oι τιμές αντιπροσωπεύουν πεδία τάσης, πχ  high ή 1: 3 με 5V  low ή 0: -0.5 με 2V  Πρέπει να συμπεριφέρονται σύμφωνα με τον πίνακα αλήθειας τους

12 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 1/9  Γραφικά σύμβολα βασικών λογικών πυλών:

13 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 2/9  Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμή) Χ:χρόνος

14 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 3/9  Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμή) Χ:χρόνος

15 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 4/9  Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμή) Χ:χρόνος

16 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 5/9  Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμή) Χ:χρόνος

17 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 6/9  Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμή) Χ:χρόνος

18 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 7/9  Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμί) Χ:χρόνος

19 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 8/9  Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμή) Χ:χρόνος

20 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Λογικές Πύλες (Logic Gates) 9/9  Χρονικό Διάγραμμα Y:τάση(τιμή) Χ:χρόνος

21 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα AND και OR πύλες με περισσότερες από 2 εισόδους

22 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βοοlean Συναρτήσεις (Functions)  F = X + Y ’ Z  F είναι 1 όταν …. όνομα συνάρ. οροι συνάρτησης

23 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βοοlean Συναρτήσεις (Functions) F = X + Y ’ Z F είναι 1 όταν ο όρος Χ=1 ή ο όρος Υ’Ζ=1. Το Υ’Ζ=1 όταν το Υ’=1 (Υ=0) και Ζ=1 όνομα συνάρ. οροι συνάρτησης

24 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βοοlean Συναρτήσεις (Functions)  Mία Βοοlean συνάρτηση αποτελείται από μια δυαδική μεταβλητή (που δεικνύει την συνάρτηση), το σύμβολο =, και μια έκφραση που μπορεί να αποτελείται από δυαδικές μεταβλητές, 0, 1, (,) και λογικές πράξεις  Η έκφραση ορίζει την σχέση μεταξύ δυαδικών μεταβλητών.  Η συνάρτηση για συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών παίρνει τιμή 1 ή 0

25 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βοοlean Συναρτήσεις και Πίνακες Αλήθειας  Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί επίσης με πίνακα αλήθειας, πχ F = X + Y’Z  3 μεταβλητές εισόδου, 2 3 =8 σειρές  coverage: 1 literal 4, 2 literal 2, 3 literal 1 X=1 Y’Z=1

26 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βοοlean Συναρτήσεις και Πίνακες Αλήθειας  Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί επίσης με πίνακα αλήθειας, πχ F = X + Y’Z  3 μεταβλητές εισόδου, 2 3 =8 σειρές  coverage: 1 literal 4, 2 literal 2, 3 literal 1

27 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βοοlean Συναρτήσεις και Λογικά(Συνδυαστικά)Κυκλώματα  F= X + Y’Z

28 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βοοlean Συναρτήσεις και Λογικά(Συνδυαστικά)Κυκλώματα  F= X + Y’Z

29 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βοοlean Συναρτήσεις  Μια συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί με πίνακα αλήθειας μόνο με ένα μοναδικό τρόπο  Σε αλγεβρική μορφή (και σε κυκλωμα) μπορεί να εκφραστεί η ίδια συνάρτηση με διάφορους τρόπους  Ποιός είναι ο καλύτερος τρόπος;  μικρότερος αριθμός πυλών και εισόδων σε πύλες  Πως επιτυγχάνεται;  Αλγεβρική επεξ, Κ-ΜΑP,Q-M, όχι πάντοτε εφικτό

30 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασικές Ταυτότητες της Άλγεβρας Βοοle Αντιμετάθεση, προσεταιρισμός, επιμερισμός

31 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Δυϊσμός (Duality)  Iδιότητα άλγεβρας Boole: όταν μια σχέση ισχύει, ισχύει και η dual της  Το dual μιας σχέσης το παίρνουμε με να αλλάξουμε το πιο κάτωAND  OR, 0  1  Προσοχή δεν λέει (και δεν ισχύει) οτι η σχέση και το dual της είναι ίσα

32 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασικές Ιδιότητες  Σχέσεις ισχύουν και όταν μια μεταβλητή αντικατασταθεί από μια έκφραση, πχ  Χ + 1 = 1, εάν το Χ = ΑΒ + C, τότε ΑΒ+ C + 1 = 1  (Χ+Υ) (Χ+Ζ) = Χ + ΥΖ, εάν το X=A, Y=B, Ζ = CD, τότε (Α+Β)(Α+CD)=A + BCD

33 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα DeMorgan’s Theorem 1/6 Υπολογισμός συμπληρώματος μιας έκφρασης Προσοχή στη σειρά αποτίμησης X+Y (X+Y)’

34 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα DeMorgan’s Theorem 2/6 Υπολογισμός συμπληρώματος μιας έκφρασης Προσοχή στη σειρά αποτίμησης X+Y (X+Y)’

35 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα DeMorgan’s Theorem 3/6 Υπολογισμός συμπληρώματος μιας έκφρασης Προσοχή στη σειρά αποτίμησης X+Y (X+Y)’ X Y X’ Y’ X’. Y’

36 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα DeMorgan’s Theorem 4/6 Υπολογισμός συμπληρώματος μιας έκφρασης Προσοχή στη σειρά αποτίμησης X+Y (X+Y)’ X Y X’ Y’ X’. Y’

37 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα DeMorgan’s Theorem 5/6  Υπολογισμός συμπληρώματος μιας έκφρασης Προσοχή στη σειρά αποτίμησης X+Y (X+Y)’ X Y X’ Y’ X’. Y’

38 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα DeMorgan’s Theorem 6/6  Ισχύει για πολλαπλές μεταβλητές X 1 +X 2 +…+X n = X 1 X 2 … X n X 1 X 2 …X n = X 1 + X 2 + …+X n

39 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Προτεραιότητα Τελεστών 1. () 2. NOT  αν υπολογίζεται το συμπλήρωμα μιας έκφρασης πρέπει να αποτιμηθεί και μετά να υπολογιστεί το συμπλήρωμα της 3. ΑΝD 4. ΟR 5. Ίδια προτεραιότητα: αριστερά προς δεξιά

40 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Αλγεβρικός Χειρισμός (και Απλοποίηση)

41 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Aπλοποίηση F = Χ’ΥΖ + Χ’ΥΖ’ + ΧΖ = X’Y (Z+Z’) + XZ = X’Y (1) + XZ = X’Y + XZ

42 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Eπαλήθευση

43 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Στόχοι Απλοποίησης  Κάθε όρος σε μια boolean έκφραση απαιτεί μια πύλη και κάθε μεταβλητή σε ένα όρο (συμπληρωμένη ή όχι) καθορίζει μια είσοδο στην πύλη (literal)  Στόχος της απλοποίησης είναι να μειωθούν oι όροι(terms) ή/και τα literals  Aλγεβρική απλοποίηση μπορεί να πετύχει την πιο απλοποιημένη έκφραση. Δεν υπάρχει συγκεκριμένη διαδικασία (trial and error!)

44 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παραδείγματα  Χ+ΧΥ  ΧΥ+ΧΥ’  Χ+Χ’Υ  Χ(Χ+Υ)  (Χ+Υ)(Χ+Υ’)  Χ(Χ’+Υ) !Προσοχή: Δυϊσμός!

45 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Consensus Theorem (Θεωρία της Ομοφωνίας)  ΧΥ + Χ’Ζ+ΥΖ = ΧΥ + Χ’Ζ  ΧΥ + Χ’Ζ + (Χ+Χ’) ΥΖ =  όταν ΥΖ=1 τότε η το ΧΥ=1 ή το Χ’Ζ=1  Dual: (X+Y)(X’+Z)(Y+Z) = (X+Y)(X’+Z)  (A+B)(A’+C)=

46 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Συμπλήρωμα μιας Συνάρτησης  F’ από το F  πίνακα αλήθειας: εναλλαγή 1 και 0  έκφραση:  DeMorgan’s Theorem  Demorgan και Δυϊσμός  ΑΝD  OR, 0  1και συμπλήρωσε κάθε literal  πριν τις αλλαγές πρόσθεσε παρενθέσεις για κάθε όρο  F = X’YZ’+X’Y’Z  G= X(Y’Z’+YZ)

47 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Πρότυπες Μορφές  Όροι με γινόμενα/products(anded literals) και αθροίσματα/sums(ored literals)  Χ’ΥΖ’  Χ΄+Υ+Ζ  Tυποποίηση  Ελαχιστοροι και Μεγιστοροι

48 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Eλαχιστοροι(minterms) 1/5  Minterm:γινόμενο με όλες τις μεταβλητές  2 n ελαχιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι

49 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Eλαχιστοροι(minterms) 2/5  Minterm:γινόμενο με όλες τις μεταβλητές  2 n ελαχιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι

50 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Eλαχιστοροι(minterms) 3/5  Minterm:γινόμενο με όλες τις μεταβλητές  2 n ελαχιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι

51 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Eλαχιστοροι(minterms) 4/5  Minterm:γινόμενο με όλες τις μεταβλητές  2 n ελαχιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι

52 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Eλαχιστοροι(minterms) 5/5  Minterm:γινόμενο με όλες τις μεταβλητές  2 n ελαχιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι

53 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Mεγιστοροι (Μaxterms) 1/5  Maxterm: άθροισμα με όλες τις μεταβλητές  2 n μεγιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 μεγιστοροι

54 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Mεγιστοροι (Μaxterms) 2/5 Maxterm: άθροισμα με όλες τις μεταβλητές 2 n μεγιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 μεγιστοροι

55 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Mεγιστοροι (Μaxterms) 3/5  Maxterm: άθροισμα με όλες τις μεταβλητές  2 n μεγιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 μεγιστοροι

56 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Mεγιστοροι (Μaxterms) 4/5  Maxterm: άθροισμα με όλες τις μεταβλητές  2 n μεγιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 μεγιστοροι

57 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Mεγιστοροι (Μaxterms) 4/5  Maxterm: άθροισμα με όλες τις μεταβλητές  2 n μεγιστοροι όταν έχουμε n μεταβλητές  πχ με 3 μεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 μεγιστοροι

58 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Ελαχιστοροι/Μεγιστοροι  m j = M j, m j = M j πχ  m 3 =X’YZ  M 3 = (X’YZ)’ = X+Y’+Z’

59 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Έκφραση από πίνακα αλήθειας 1/3  Το άθροισμα όλων των minterms που η συνάρτηση παίρνει τιμή 1(sum of minterms)  F=

60 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Έκφραση από πίνακα αλήθειας 2/3  Το άθροισμα όλων των minterms που η συνάρτηση παίρνει τιμή 1(sum of minterms)  F=X’YZ’+X’YZ+XY’Z+XYZ  F(X,Y,Z) =

61 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Έκφραση από πίνακα αλήθειας 3/3  Το άθροισμα όλων των minterms που η συνάρτηση παίρνει τιμή 1(sum of minterms)  F=X’YZ’+X’YZ+XY’Z+XYZ=m2+m3+m5+m7  F(X,Y,Z) =m2+m3+m5+m7 = Σm(2,3,5,7)

62 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Συμπλήρωμα Έκφρασης  Εαν F = Σm(2,3,5,7) - μορφή άθροισμα γινομ.  τότε F’=Σm( )

63 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Συμπλήρωμα Έκφρασης  Εαν F = Σm(2,3,5,7) - μορφή άθροισμα γινομ.  τότε F’=Σm(0,1,4,6)  και F=ΠΜ() - μορφή γινόμενο άθροισμα.

64 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Συμπλήρωμα Έκφρασης Εαν F = Σm(2,3,5,7) - μορφή άθροισμα γινομ. τότε F’=Σm(0,1,4,6) και F=ΠΜ(0,1,4,6) - μορφή γινόμενο άθροισμα.

65 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Θυμάστε...  οποιαδήποτε έκφραση μπορεί να μετατραπεί σε πρότυπη μορφή μέσο του πίνακα αλήθεια της  μια λογική έκφραση με n μοναδικές μεταβλητές έχει 2 n ελαχιστορους  μια συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα ελαχιστορων (γινόμενο μεγιστορων)  μια συνάρτηση που περιέχει όλους τους ελαχιστορους είναι ίση με την τιμή 1

66 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παράδειγμα 1/5 Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση με άθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’ E(X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5)

67 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παράδειγμα 2/5  Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση με άθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’  E(X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5) Y’ X’Z’

68 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παράδειγμα 3/5 Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση με άθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’ E(X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5)

69 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παράδειγμα 4/5 Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση με άθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’ E(X,Y,Z)=Σm( )

70 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παράδειγμα 5/5  Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση με άθροισμα ελαχιστορων E =Y’+X’Z’  E(X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5)

71 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Πρότυπη Μορφή:Sum of Products  Απλοποιημένη έκφραση από sum-of-minterms  F=Σm(2,3,5,7) =X’YZ’+X’YZ+XY’Z+XYZ (SOM) =X’Y + XZ (SOP)

72 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Υλοποίηση SOP με 2-levels 1/3  F = Y’ + X’YZ’+XY

73 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Υλοποίηση SOP με 2-levels 2/3  F = Y’ + X’YZ’+XY

74 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Υλοποίηση SOP με 2-levels 3/3  F = Y’ + X’YZ’+XY

75 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Εκφράσεις οχι σε μορφή SOP  Μπορούν να μετατραπούν με αλγεβρικούς χειρισμούς ή μέσο πίνακα αληθείας και απλοπ.  Ποια είναι η καλύτερη επιλογή;;;;  3-levels ή 2-levels

76 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Πρότυπη Μορφή POS(2 level)  F = X(Y’+Z)(X+Y+Z’)

77 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Απλοποίηση με πίνακες Κarnaugh Maps ή K-maps  Γραφική μέθοδος απλοποίησης  κάθε κελί ένας ελαχιστορος  αναγνώριση ‘‘μορφών’’ σε ένα πίνακα και απλοπ.  απλοποίηση παράγει έκφραση σε SOP(POS) μορφή που μπορεί να υλοποιηθεί με 2-levels  συγκεκριμένη διαδικασία που παράγει την βέλτιστη(όχι απαραίτητα μοναδική) απλοποίηση  Απλοποίηση: ελάχιστους όρους και literals  Αποτελεσματική για μέχρι και 4 μεταβλητές

78 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 1/7 m1+m2+m3

79 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 2/7 m1+m2+m3

80 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 3/7 m1+m2+m3 ΧΥ

81 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 4/7 m1+m2+m3 ΧΥ

82 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 5/7 m1+m2+m3 ΧΥ Χ+Υ

83 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 6/7 Χ+Υ

84 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Κ-Μaps με 2 μεταβλητές 7/7 ΧΥ m1+m2+m3 Χ+Υ

85 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα K-maps με 3 μεταβλητές 1/3  Οι τιμες δυο γειτονικων (οριζοντια/καθετα) ελαχιστορων διαφερουν μονο σε ενα bit position (πχ )  covered row/columns (1 literal σε 4 minterms, 2 σε δυο minterms και 3 σε ενα) Σειρα!

86 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα K-maps με 3 μεταβλητές 2/3  Οι τιμες δυο γειτονικων (οριζοντια/καθετα) ελαχιστορων διαφερουν μονο σε ενα bit position (πχ )  covered row/columns (1 literal σε 4 minterms, 2 σε δυο minterms και 3 σε ενα) Σειρά!

87 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα K-maps με 3 μεταβλητές 3/3  Οι τιμές δυο γειτονικών (οριζόντια/κάθετα) ελαχιστορων διαφέρουν μόνο σε ένα bit position (πχ )  covered row/columns (1 literal σε 4 minterms, 2 σε δυο minterms και 3 σε ενα) Σειρά!

88 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασική Ιδέα Κ-maps 1/7  Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν)  πχ m5+m7 =

89 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασική Ιδέα Κ-maps 2/7  Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν)  πχ m5+m7 = 11

90 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασική Ιδέα Κ-maps 3/7  Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν)  πχ m5+m7 = XY’Z+XYZ = XZ (Y’+Y) = XZ

91 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασική Ιδέα Κ-maps 4/7  Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν)  m0+m1+m2+m3=

92 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασική Ιδέα Κ-maps 5/7  Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν)  m0+m1+m2+m3= 1111

93 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασική Ιδέα Κ-maps 6/7  Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι μπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συμπληρωμένη και μη συμπληρωμένη μορφή (αυτά τα literals μπορούν να απλοποιηθούν)  m0+m1+m2+m3=X’Y’Z’+X’Y’Z+X’YZ’+X’YZ = X’(Y’Z’+Y’Z+YZ’+YZ) = X’

94 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασική Ιδέα Κ-maps 7/7 ένα κελί:1 minterm δυο κελιά: όρο με 2 literals τέσσερα κελιά: όρο με1 literal οκτω κελιά:

95 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παράδειγμα: Σm(2,3,4,5) 1/3

96 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παράδειγμα: Σm(2,3,4,5) 2/3 X’Y XY’ F = X’Y+XY’

97 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Παράδειγμα: Σm(2,3,4,5) 3/3  1 στα κελιά με ελαχιστορους της συνάρτησης  καθορισμός του ελάχιστου αριθμού ορθογώνιων (με 1,2,4,8,… κελιά) που περιλαμβάνουν όλους τους ελαχιστορους  κάθε ορθογωνιο αντιστοιχεί σε ένα (απλοποιημένο) γινόμενο το γινόμενο αποτελείται απο τα ελάχιστα literals που περιλαμβάνουν το ορθογώνιο

98 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Κριτήριο Γειτονότητας Οχι αναγκαστικά δίπλα στο Κ-map, απλός να διαφέρουν οι αντίστοιχοι ελαχιστοροι σε ένα bit position, πχ Σm(0,2,4,6)

99 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα99 Κριτήριο Γειτονότητας Οχι αναγκαστικά δίπλα στο Κ-map, απλός να διαφέρουν οι αντίστοιχοι ελαχιστοροι σε ένα bit position, πχ Σm(0,2,4,6)

100 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Σm(0,1,2,3,6,7) 1/

101 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Σm(0,1,2,3,6,7) 2/4

102 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Σm(0,1,2,3,6) 3/

103 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Δυο βέλτιστες λύσεις: Σm(1,3,4,5,6) 4/4 F = X’Z+XZ’+XY’ ή F = X’Z+XZ’+Y’Z

104 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Έκφραση σε SOP μορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X’Z+X’Y+XY’Z+YZ 1/5 Χ’Ζ 11

105 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Έκφραση σε SOP μορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X’Z+X’Y+XY’Z+YZ 2/5 111 Χ’Υ

106 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Έκφραση σε SOP μορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X’Z+X’Y+XY’Z+YZ 3/5 ΧΥ’Ζ 111 1

107 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Έκφραση σε SOP μορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X’Z+X’Y+XY’Z+YZ 4/5 ΥΖ

108 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Έκφραση σε SOP μορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X’Z+X’Y+XY’Z+YZ 5/ F = Z +X’Υ Χ’Υ Ζ

109 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Πρότυπες Moρφές Εκφράσεων Αρχική F(Χ,Υ,Ζ)= X’Z+X’Y+XY’Z+YZ Στο K-MAP F(Χ,Υ,Ζ)= X’YZ+X’Y’Z+X’YZ’+XY’Z+XYZ Τελική F = Z+X’Y

110 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Προτύπες Moρφές Εκφράσεων Αρχική SOP F(Χ,Υ,Ζ)= X’Z+X’Y+XY’Z+YZ Στο K-MAP SOMinterms (SOP) F(Χ,Υ,Ζ)= X’YZ+X’Y’Z+X’YZ’+XY’Z+XYZ Τελική SOP F = Z+X’Y

111 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα K-maps με 4 μεταβλητές

112 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα K-maps με 4 μεταβλητές  Ίδια μέθοδος όπως με με 3 μεταβλητές  ένα κελί: ελαχιστορος με 4 literals  δυο κελιά: όρος με 3 literals  τέσσερα κελιά: όρος με 2 literals  οκτώ κελιά: ορος με 1 literal  δεκαέξι κελιά: συνάρτηση με πάντοτε τιμή 1  Κριτήριο Γειτονότητας: ελαχιστοροι διαφέρουν σε ένα bit position

113 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(W,X,Y,Z) = X’Z’ 1/8 X’Z’

114 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(W,X,Y,Z) = X’Z’ 2/8

115 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(W,X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) 3/8

116 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(W,X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) 4/

117 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(W,X,Y,Z)=Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) 5/ F=

118 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’ 6/8 ΑΒ CD Α B C D

119 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’ 6/ ΑΒ CD Α B C D

120 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’ 7/8 ΑΒ CD Α B C D

121 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F=A’B’C’+B’CD’+AB’C’+A’BCD’ 8/8 F=

122 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Συστηματική Επεξεργασία Πινάκων  Prime Implicant (PI): oορθογώνιο με το μέγιστο δυνατό μέγεθος σε ένα K-MAP που δεν περιλαμβάνεται σε πιο μεγάλο ορθογώνιο  Essential Prime Implicant (EPI): PI που περιέχει ελαχιστορο δεν που περιλαμβάνεται σε άλλο PI

123 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(A,B,C,D)=Σm(1,3,4,5,6,7,12,14) ΑΒ CD Α B C D

124 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(A,B,C,D)=Σm(1,3,4,5,6,7,12,14)  PI:,EPI:, F=

125 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Essential και nonEssential PI Σm(0,5,10,11,12,13,15) ΑΒ CD Α B C D

126 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Essential και nonEssential PI Σm(0,5,10,11,12,13,15)  PI:, EPI:, F=

127 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Eπιλογή για nonEPI Eπέλεξε ΕPI Eπέλεξε nonEPI που δεν έχουν overlap Eπέλεξε nonEPI που έχουν overlap (τυχαία)

128 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα nonEPI επιλογή Σm(0,1,2,4,5,10,11,13,15) ΑΒ CD Α B C D

129 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα nonEPI επιλογή Σm(0,1,2,4,5,10,11,13,15)  PI:, EPI:, F=

130 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,5,8,9,10) - F σε POS ΑΒ CD Α B C D

131 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,5,8,9,10) - F σε POS  F’ =, F = (dual και συμπλήρωμα literals)

132 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Aπλοποίηση με POS  F’: απλοποίηση 0 στο Κ-Μap - μορφή SOP  συμπλήρωμα F’ - F σε μορφή POS  Όταν έχουμε ένα από F’ pos, F pos, F’ sop, F sop μπορούμε να παράξουμε τα αλλά

133 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Συνθήκες Αδιαφορίας (don’t-care conditions)  Συγκεκριμένοι συνδυασμοί τιμών εισόδου που δεν συμβαίνουν ή όταν συμβούν δεν μας ενδιαφέρει τι θα συμβεί στην έξοδο  πχ BCD 4 σήματα εισόδου μα μονο 10 από τους 16 συνδυασμούς συμβαίνουν  Δεικνύονται με X στα K-maps, και μπορούν να υποθέσουμε πως είναι 0 ή 1 (don’t care minterms δεν χρειάζεται να απλοποιηθούν)

134 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(A,B,C,D)=Σm(1,3,7,11,15) d(A,B,C,D)=Σm(0,2,5) ΑΒ CD Α B C D X XX

135 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(A,B,C,D)=Σm(1,3,7,11,15) d(A,B,C,D)=Σm(0,2,5)  Απλοποίηση με don’t cares  Δυο λύσεις όχι ίσες!

136 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασικές Πύλες για Υλοποίηση Ψηφιακών Συστημάτων

137 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Βασικές Πύλες για Υλοποίηση Ψηφιακών Συστημάτων

138 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Universal Πύλη: ΝΑND

139 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Άλλα σύμβολα για NAND πύλες

140 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα level υλοποίηση SOP εκφράσεων με NAND πύλες F=AB+CD

141 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα level υλοποίηση SOP εκφράσεων με NAND πύλες F=AB+CD

142 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα level υλοποίηση SOP εκφράσεων με NAND πύλες F=AB+CD

143 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(X,Y,Z)=Σm(1,2,3,4,5,7) 1/3

144 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(X,Y,Z)=Σm(1,2,3,4,5,7) 2/3

145 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα F(X,Y,Z)=Σm(1,2,3,4,5,7) 3/3

146 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Διαδικασία Σχεδιασμού με NAND  Απλοποιημένη έκφραση σε SOP μορφή  ΝΑΝD πύλη για κάθε όρο με τουλάχιστο δυο literals (1st level)  ΝΑΝD ή ΝΟΤ-ΟR πύλη με είσοδο τις εξόδους από το 1st level  όροι με ένα literal χρειάζονται NOT πύλη στο 1st level

147 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Μultilevel ΝΑΝD κυκλώματα

148 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Διαδικασία για Multilelevel NAND κυκλώματα  ΑΝD με ΝΑΝD (and-not)  OR με NAND (not-or)  για κάθε μόνο bubble σε μια γραμμή insert ΝΟΤ πύλη ή συμπλήρωσε το σήμα εισόδου

149 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Universal πύλες:ΝΟR

150 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Άλλα σύμβολα για NΟR πύλες

151 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Υλοποίηση συναρτήσεων σε POS μορφή

152 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Yλοποίηση συναρτήσεων σε POS μορφή  Multilevel: παρομοια με NAND

153 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Πύλη ΧΟR  X  Y = XY’+X’Y Χ Υ XYXY

154 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Ex-OR Ταυτότητες  X  0 = X X  1 = X’  X  Χ = 0X  Χ’ = 1  X  Y’ = X  Y X’  Y = X  Y  X  Y = Υ  Χ  (X  Υ)  Ζ = Χ  (Υ  Ζ)

155 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα ΧΟR υλοποίηση με πύλες NAND

156 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα ΧΝΟR  X  Y = XY+X’Y’

157 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Odd Function (XOR με >2 inputs)  XY’Z’+X’YZ’+ X’Y’Z+XYZ = (XY’+X’Y)Z’+ (X’Y’+XY)Z = X  Y  Z  μονός αριθμός σημάτων εισόδου με τιμή 1

158 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Parity bit  Πχ για ένα μήνυμα με 3 bits (ΧΥΖ) με even parity: P = X  Υ  Ζ (στο σημείο αποστολής)  Στο σημείο παράληψης: C = P  X  Υ  Ζ εάν το C είναι 1 λάθος!

159 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Ολοκληρωμένα Κυκλώματα  Ιntegrated Circuits  σήμερα: από transistors και σύρματα σιλικόνης  περιέχεται σε ένα πλαστικό ή κεραμικό πακέτο.  διασύνδεση με pins (10s-1000s):E/E, Vcc,Gnd  κάθε ΙC μοναδικό κώδικα  Eπίπεδα Ολοκλήρωσης  SSI ~10,MSI ~100,LSI ~1000,VLSI  Λογικές “Οικογένειες”:  RTL,DTL,TTL,ECL,MOS,CMOS,BiCMOS,GaAs

160 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Xαρακτηριστικά (ηλεκτρονικές ιδιότητες)  FanΟut: πόσα inputs μπορεί να ξεκινούν από ένα output  Kατανάλωση ισχύος  Χρόνος Μετάδοσης (propagation delay) t αλλαγή στο input - t αλλαγή στο output

161 Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα Θετική και Αρνητική Λογική  Υποθέτουμε θετική λογική


Κατέβασμα ppt "Κεφάλαιο 2 - Συνδιαστικά Λογικά Κυκώματα1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΔΙΑΣΤΚΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google