Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

2 Euler, γέφυρες Koenigsburg 1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων C n H 2n Cayley - De Morgan - Moebius, χρωματισμός με 4 χρώματα 1859 Hamilton, δωδεκάεδρο 1936 Koenig, το πρώτο βιβλίο Ιστορικά

3 3 Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg Μπορούμε να ξεκινήσουμε από ένα σημείο Α και να επιστρέψουμε στο Α, έχοντας περάσει από κάθε γέφυρα μία και μόνο-μία φορά?

4 4 Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg → 7 Γέφυρες

5 5 Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg 6 Γέφυρες

6 6 Μοντελοποίηση Προβλήματος →

7 7 → Μοντελοποίηση Προβλήματος Το γράφημα έχει τρεις (3) κόμβους περιττού βαθμού !!! Παρατήρηση !!!

8 8 Γραφήματα Euler

9 9

10 10 Χωρίς να το υπολογίσεις, βρες αν το παρακάτω γράφημα έχει διαδρομή Euler Γραφήματα Euler

11 11 Γράφημα έχει μόνο δύο (2) κόμβους περιττού βαθμού, επομένως… ΝΑΙ έχει διαδρομή Euler Γραφήματα Euler

12 12 Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Έστω ότι έχουμε C 1, C 2, …, C n φάρμακα, και έστω [t i, t i ’ ] είναι η θερμοκρασία συντήρησης του φαρμάκου C i, 1 ≤ i ≤ n; Θέλουμε η θερμοκρασία Τ του ψυγείου για την συντήρηση max πλήθος φαρμάκων Έστω ότι στο πλανήτη Γη έχουν εμφανιστεί έως σήμερα Π 1, Π 2, …, Π n πολιτισμοί, και έστω [x i, x i ’ ] είναι η χρονική περίοδος εμφάνισης του πολιτισμού Π i, 1 ≤ i ≤ n; Θέλουμε το έτος Χ στο οποίο εμφανίστηκε max πλήθος πολιτισμών πάνω στη Γη

13 13 Αλγόριθμοι Θεωρίας Γραφημάτων Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι… (Γραμμικοί) Προβλήματα: NP-Πλήρη Επιλογές Προσέγγιση Λύσης Περιορισμοί Ιδιοτήτων

14 14 Ορισμός: σύνολο κόμβων (κορυφών) και ακμών Συμβολισμός: G(V, E), G = (V, E), (V(G), E(G)), (n,m), (p,q) |V| = n : τάξη-order |E| = m : μέγεθος-size Πεπερασμένο γράφημα: n, m πεπερασμένα Άπειρο γράφημα Ειδικές περιπτώσεις: n = 0 : κενό-empty n = 1 : τετριμμένο-trivial m = 0 : μηδενικό-null (N n ) Βασικές Έννοιες (1)

15 15 Βασικές Έννοιες (2) Τερματικοί κόμβοι και προσπίπτουσα ακμή Γειτονικοί κόμβοι – ανεξάρτητοι κόμβοι Ανοικτό σύνολο γειτνίασης κόμβου: Ν(v) Κλειστό σύνολο γειτνίασης κόμβου: Ν[v] Βαθμός κόμβου v – degree d(v) Ισχύει d(v) = |N(v)| Ελάχιστος και μέγιστος βαθμός γραφήματος: d(G), D(G)

16 16 Βασικές Έννοιες (3) Τακτικά γραφήματα (regular): Κυκλικό γράφημα (C n ): όλοι οι κόμβοι d(v)=2 (κυβικός k = 3) Πλατωνικά γραφήματα (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο)

17 17 Απομονωμένος κόμβος – isolated d(v)=0 Εκκρεμής κόμβος – pendant d(v)=1 Συνδεδεμένες συνιστώσες (k) Συνδεδεμένο γράφημα Συνδεδεμένος γράφημα κατά ελάχιστο τρόπο Σειρά – rank (r = n - k) Μηδενικότητα – nullity (μ = m – n - k) Βρόχος και Παράλληλες ακμές Απλό γράφημα, Ψευδο-γράφημα, Πολύ-γράφημα, Επαγόμενο, Κατευθυνόμενο και Τόξα Βασικές Έννοιες (4)

18 18 a b c d e f d(e) = 0 (απομονωμένος) d(f) = 1 (εκκρεμής) CC(G) = 2 (μη-συννεκτικό) Συνεκτικές Συνιστώσες k = 2 Σειρά r = 6-2 (r = n-k) Μηδενικότητα μ = 5-4 (μ = m-n-k) Βασικές Έννοιες (5)

19 19 Βασικές Έννοιες (6) Βρόχος Παράλληλες Ακμές Απλό Γράφημα: G 3 Πολύγράφημα: G 1 (όχι G 2 ) Ψευδογράφημα: G 2 (έχει βρόχους) Κατευθυνόμενο: G 4 G 1 G 2 G 3 G 4

20 20 Λήμμα: (των χειραψιών) Το άθροισμα των βαθμών όλων των κόμβων ενός γραφήματος G = (V, E) είναι διπλάσιο του πλήθους των ακμών του, δηλ. Σd(u) = 2 |E| (1) Κάθε ακμή συνεισφέρει στο άθροισμα κατά 1 για κάθε ένα κόμβο στον οποίο προσπίπτει. Πόρισμα: Για τακτικά γραφήματα G = (V, E) βαθμού k ισχύει η σχέση: k |V| = 2 |E| (2) G τακτικός βαθμού k  Σd(u) = k |V|. Από (1)  (2). Βασικές Έννοιες (7)

21 21 Θεώρημα: Το πλήθος των κόμβων περιττού βαθμού ενός γραφήματος G = (V, E) είναι άρτιος αριθμός. Από (1) (δηλ. Σd(u) = 2 |E|)  Σd(u) = άρτιος αριθμός. Ισχύει: Σd(u) = άρτιος αριθμός, και Σd(u) = # κόμβων αρτίου βαθμού + # κόμβων περιττού βαθμού Επειδή το # κόμβων αρτίου βαθμού είναι άρτιο  το # κόμβων περιττού βαθμού είναι άρτιο. Βασικές Έννοιες (8)

22 22 Πλήρης γράφημα Κ n Κλίκα γραφήματος G – αριθμός κλίκας ω(G) Βασικές Έννοιες (9) Κ6Κ6 G  Max κλίκα του G ω(G) = 4

23 23 Θεώρημα: Ένα πλήρες γράφημα έχει n(n-1)/2 ακμές. Το πλήθος των ακμών που προσπίπτουν σε ένα κόμβο ενός πλήρους γραφήματος G βαθμού n, είναι n-1. Εάν αφαιρέσουμε ένα κόμβο από ένα πλήρες γράφημα G βαθμού n, το προκύπτων γράφημα G’ είναι πλήρες βαθμού n-1. Επομένως, το πλήθος των ακμών του G είναι: (n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n-1) / 2 Βασικές Έννοιες (10) Κ6Κ6

24 24 Θεώρημα: Έστω G απλό γράφημα n κόμβων και m ακμών, και έστω k  1 το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών του G. Ισχύει: n-k ≤ m ≤ (n-k)(n-k+1)/2 k = 1 (G συνεκτικό): n ≤ m ≤ n(n-1) / 2 ≤ m ≤ Πόρισμα: Κάθε απλό γράφημα G με n κόμβους και τουλάχιστο (n-1)(n-2)/2 ακμές είναι συνεκτικό. Βασικές Έννοιες (11)

25 25 Ισομορφικά γραφήματα, ίσα γραφήματα – επιγραφή/ετικέτα Θεώρημα: Το πλήθος των διαφορετικών γραφημάτων με n κόμβους και m ακμές είναι: n(n-1)/2 m Πόρισμα: Το πλήθος των διαφορετικών γραφημάτων με n κόμβους είναι 2^[n(n-1)/2] ( ) Βασικές Έννοιες (12)

26 26 Έμβαρο γράφημα - βάρος ακμής Υπογράφημα, υπεργράφημα, ζευγνύων υπογράφημα, επαγόμενο υπογράφημα Βασικές Έννοιες (13) 

27 Επαγόμενα Γραφήματα G = (V, E) V ’ = {1, 3, 4, 6} ? ? G [V ’ ] Βασικές Έννοιες (14)

28 28 Ισομορφικά Γραφήματα G1, G2 ισομορφικα εάν υπάρχει f 1-1 και επί (αμφιμονοσήματη αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων V(G 1 ) και V(G 2 )) : (x, y) E(G 1 )  (f(x), f(y)) E(G 2 ) ‘Ισa γραφήματα V(G 1 ) = V(G 2 ) E(G 1 ) = E(G 2 ) Βασικές Έννοιες (15)

29 29 Διαγραφή κόμβου/ακμής – deletion  Συμβολισμός: G-{u}, G-{e}  … όμως, V ’ = V-{u}, E ’’ = E-{e} Πράξεις: Διαγραφή Κόμβου/Ακμής Διαγραφή κόμβου u = 2 Διαγραφή ακμής e = {3,6} G’ G’’ G

30 30 Ένωση – union (G 1  G 2 ) G = (V, E) = G 1  G 2  V = V 1  V 2 E = E 1  E 2 Τομή – intersection (G 1  G 2 ) G = (V, E) = G 1  G 2  V = V 1  V 2 E = E 1  E 2 Άθροισμα δακτυλίου – ring sum (G 1  G 2 ) G = (V, E) = G 1  G 2  V = V 1  V 2 E = { Ακμές που ανήκουν ΜΟΝΟ στο ένα γράφημα αλλά ΌΧΙ και στα ΔΥΟ } Πράξεις: , , και 

31 31 Πράξεις: , , και  G1G1 G2G2 G1G1 G2G2  G1G1 G2G2  G1G1 G2 G2  Παράδειγμα:

32 32 Σύνδεση ή άθροισμα – join or sum (G 1 + G 2 ) G = (V, E) = G 1 + G 2  V = V 1  V 2 E = Ε 1  Ε 2  Ε 3 όπου, Ε 3 = { όλες οι ακμές με ένα άκρο στο V 1 και το άλλο στο V 2 } Πράξη: +

33 33 Πράξη: + +  +  Κ 2 Κ 3 Κ 5 (complete graph) Κ 1 (N 1 ) C n-1 W n (wheel graph) Παράδειγμα:

34 34 Καρτεσιανό Γινόμενο G 1  G 2 Λεξικογραφικό Γινόμενο G 1 [G 2 ] Πράξεις (1) G1G1 G2G2 G1G1 G2G2 G1G1  G2 G2 G1[G2]G1[G2] G2[G1]G2[G1] G2G2  G1 G1 ? ?

35 35 Καρτεσιανό Γινόμενο G 1  G 2 Καρτεσιανό Γινόμενο G = (V, E) = G 1  G 2 Σύνολο Κόμβων: V( G 1  G 2 ) = V( G 1 )  ( G 2 ) Σύνολο Ακμών: (x, y)  Ε( G 1  G 2 ), όπου x = (x 1, x 2 ) y = (y 1, y 2 ) εάν x 1 = y 1 και (x 2, y 2 )  E(G 2 ), ή εάν x 2 = y 2 και (x 1, y 1 )  E(G 1 )  x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 y3y3 (x 1, y 1 ) (x 1, y 2 ) (x 1, y 3 ) (x 2, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 2, y 3 ) G1G1 G2G2 G 1  G 2 G 2  G 1 ?

36 36 Λεξικογραφικό Γινόμενο G 1 [G 2 ] Λεξικογραφικό Γινόμενο G = (V, E) = G 1 [G 2 ] Σύνολο Κόμβων: V(G 1 [G 2 ]) = V(G 1 )  (G 2 ) Σύνολο Ακμών: (x, y)  Ε ( G 1 [G 2 ] ), όπου x = (x 1, x 2 ) y = (y 1, y 2 ) εάν (x 1, y 1 )  E(G 1 ), ή εάν x 1 = y 1 και (x 2, y 2 )  E(G 2 )  x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 y3y3 (x 1, y 1 ) (x 1, y 2 ) (x 1, y 3 ) (x 2, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 2, y 3 ) G1G1 G2G2 G 1 [ G 2 ] G 2 [G 1 ]?

37 37 Πράξεις (2) … Συμπλήρωμα – complement Διμερές, πλήρες διμερές (αστεροειδές γράφημα Κ 1,n ) Διαγραφή κόμβου/ακμής – deletion (G-{e}, G-{v}) Κόμβος τομής ή σημείο άρθρωσης (articulation point) Αποκόπτουσα ακμή ή γέφυρα (bridge) Διασυνδεδεμένο (biconnected) …

38 38 Αποθήκευση Γραφημάτων (1) Στατικές αναπαραστάσεις Πίνακας γειτνίασης – adjacency matrix Πίνακας προσπτώσεων – incidence matrix Δυναμικές αναπαραστάσεις Λίστες γειτνίασης – adjacency lists Λίστες ακμών – edge lists (για αραιούς γράφους)

39 39 Αποθήκευση Γραφημάτων (2) Στατικές αναπαραστάσεις Πίνακας γειτνίασης – adjacency matrix

40 40 Αποθήκευση Γραφημάτων (3) Δυναμικές αναπαραστάσεις Λίστες γειτνίασης – adjacency lists

41 41 Αλγόριθμοι και Γραφήματα Αλγοριθμική θεωρία γραφημάτων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου Συμβολισμός Ο Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης

42 42 Ακολουθία Βαθμών (1) Μη αύξουσα ακολουθία ακεραίων S Γραφική ακολουθία εάν S  G Eαν S  G, τότε G ονομάζεται πραγματοποίηση (realization) της ακολουθία S Γραφική Ακολουθία Βαθμών S = (2, 2, 2, 2, 2, 2) I. Μη αρνητικές τιμές II. Πλήθος περιττών βαθμών άρτιο III. Τιμές μικρότερες από n  Συνθήκες:

43 43 Ακολουθία Βαθμών (2) Ερώτηση: είναι οι συνθήκες αυτές ικανές για να αντιστοιχίζεται μια ακολουθία βαθμών S σε μοναδικό γράφημα G? Παράδειγμα: 2, 2, 2, 2, 2, 2 Απλή (simple) Γραφική Ακολουθία εάν είναι γραφική και υπάρχει μοναδική πραγματοποίησή της

44 44 Ακολουθία Βαθμών (3) Θεώρημα (Havel, 1955 and Hakimi, 1962): Μια ακολουθία βαθμών S = d 1, d 2, …, d n είναι γραφική, εάν-ν η ακολουθία βαθμών S 1 = d 2 -1, d 3 -1, …, d d +1 -1, d d +2, …, d n είναι γραφική. 1 1

45 45 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη: (  ) Έστω ότι η S 1 = d 2 -1, d 3 -1, …, d d +1 -1, d d +2, …, d n είναι γραφική, και έστω G 1 η πραγματοποίησή της. Θεωρούμε επιγραφές των n-1 κόμβων του γραφήματος G 1 : x 2, x 3, …, x n έτσι ώστε: d(x i ) = { d i -1 2 ≤ i ≤ d 1 +1 d i d 1 +2 ≤ i ≤ n 1 1

46 46 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη… συνέχεια (1): Από G 1 μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα νέο γράφημα G ως εξής: (i) εισάγουμε ένα νέο κόμβο x 1, και (ii) ακμές (x 1, x i ) για 2 ≤ i ≤ d i +1 Το γράφημα G έχει ακολουθία βαθμών την S. Άρα, η ακολουθία S είναι γραφική.

47 47 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη… συνέχεια (2): (  ) Υποθέτουμε τώρα ότι η ακολουθία S είναι γραφική. Θα δείξουμε ότι η S 1 είναι γραφική. Επειδή S γραφική  υπάρχουν μία ή περισσότερες πραγματοποιήσεις της S, δηλαδή, υπάρχουν γραφήματα G 1, G 2, …, G k (k  1) με n κόμβους και με ακολουθία βαθμών την S.

48 48 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη… συνέχεια (3): Από τα γραφήματα αυτά, έστω G το γράφημα με την εξής ιδιότητα: (i) V(G) = {x 1, x 2, …, x n }, όπου d(x i ) = d i, 1 ≤ i ≤ n (ii) το άθροισμα των βαθμών των γειτονικών κόμβων του x 1 είναι μέγιστο (maximum). Ισχυρισμός Α: ο κόμβος x 1 στο γράφημα G είναι γειτονικός σε d 1 κόμβους με βαθμούς d 2, d 3, …, d d +1 1

49 49 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη… συνέχεια (4): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλ., ο κόμβος x 1 στο γράφημα G, δεν είναι γειτονικός σε όλους τους d 1 κόμβους με βαθμούς d 2, d 3, …, d d x1x1... x2x2 x3x3 xjxj x d +1 1 xixi Τότε υπάρχουν δύο κόμβοι x j και x i στο G: d(x j ) > d(x i ) και (x 1, x j )  Ε(G) (x 1, x i )  Ε(G) G

50 50 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη… συνέχεια (5): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλ., ο κόμβος x 1 στο γράφημα G, δεν είναι γειτονικός σε όλους τους d 1 κόμβους με βαθμούς d 2, d 3, …, d d x1x1... x2x2 x3x3 xjxj x d +1 1 xixi Επειδή d(x j ) > d(x i ), υπάρχει κόμβος x k στο G: (x k, x j )  Ε(G) (x 1, x i )  Ε(G) xkxk

51 51 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη… συνέχεια (6): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλ., ο κόμβος x 1 στο γράφημα G, δεν είναι γειτονικός σε όλους τους d 1 κόμβους με βαθμούς d 2, d 3, …, d d x1x1... x2x2 x3x3 xjxj x d +1 1 xixi Ανταλλαγή ακμών στο G: (x 1, x i ) και (x j, x k ) (x 1, x j ) και (x i, x k ) xkxk

52 52 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη… συνέχεια (7): Υποθέτουμε ότι ισχύει το αντίθετο, δηλ., ο κόμβος x 1 στο γράφημα G, δεν είναι γειτονικός σε όλους τους d 1 κόμβους με βαθμούς d 2, d 3, …, d d x1x1... x2x2 x3x3 xjxj x d +1 1 xixi Έστω G’ το γράφημα που προκύπτει από την ανταλλαγή των ακμών. xkxk G’G’

53 53 Ακολουθία Βαθμών (4) Απόδειξη… συνέχεια (8): Τότε το G ’ έχει ακολουθία βαθμών την S (όπως και το G). Όμως, στο γράφημα G ’ το άθροισμα των βαθμών των γειτονικών κόμβων του x 1 είναι > από του G  άτοπο! x1x1... x2x2 x3x3 xjxj x d +1 1 xixi Αντίφαση στην επιλογή του γραφήματος G. Άρα ισχύει ο Ισχυρισμός Α. xkxk G’G’

54 54 Ακολουθία Βαθμών – Αλγόριθμος (1) Αλγόριθμος: 1. Αν κάποιο d > n-1  OXI 2. Αν όλα είναι μηδενικά  ΝΑΙ 3. Αν κάποιο είναι αρνητικό  OXI 4. Αναδιάταξη της ακολουθίας κατά μη αύξουσα τάξη 5. Διαγράφεται ο πρώτος όρος (d 1 ) και αφαιρείται μια μονάδα από τους επόμενους d 1 όρους 6. Πήγαινε στο Βήμα 2 Παράδειγμα: 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1

55 55 Παράδειγμα: 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 S 0 = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 Bήμα 1: S 1 = 3, 3, 2, 1, 0, 1  3, 3, 2, 1, 1, 0 Βήμα 2:S 2 = 2, 1, 0, 0, 1  2, 1, 1, 0, 0 Βήμα 3:S 3 = 0, 0, 0, 0 Ακολουθία Βαθμών – Παράδειγμα (1)

56 56 S 3 = 0, 0, 0, 0 S 2 = 2, 1, 1, 0, 0 S 1 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 S 0 = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 Ακολουθία Βαθμών – Παράδειγμα (2) 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1

57 57 Θεώρημα: Μια ακολουθία βαθμών d 1, d 2, …, d n είναι γραφική, εάν και μόνο εάν (i) Σ d i είναι άρτιο, και (ii) Σ 1 ≤ i ≤ k d i ≤ k · (k-1) + Σ k+1 ≤ i ≤ n min(k, d i ) για κάθε 1≤ k ≤ n-1. Ακολουθία Βαθμών – Αλγόριθμος (2)

58 58 Παράδειγμα: S = (5, 5, 5, 5, 2, 2, 2) o Από το προηγούμενο Θεώρημα, απαιτείτε ο έλεγχος n-1 συνθηκών. o Σε κάθε έλεγχο λαμβάνονται οι k πρώτοι κόμβοι… k=1 d 1 = 5 ≤ 1· 0 + Σ 2 ≤ i ≤ 7 min(1, d i ) = 6 k=2 d 1 +d 2 = 10 ≤ 2· 1 + Σ 3 ≤ i ≤ 7 min(2, d i ) = 2+10=12 k=3 d 1 +d 2 +d 3 = 15 ≤ 3· 2 + Σ 4 ≤ i ≤ 7 min(3, d i ) = 6+9=15 k=4 d 1 +d 2 +d 3 +d 4 =20 ≤ 4· 3 + Σ 5 ≤ i ≤ 7 min(4, d i ) = 12+6=18 Ακολουθία Βαθμών – Παράδειγμα (1)

59 59 Παράδειγμα: S = (5, 5, 5, 5, 2, 2, 2) o Από το προηγούμενο Θεώρημα, απαιτείτε ο έλεγχος n-1 συνθηκών. o Σε κάθε έλεγχο λαμβάνονται οι k πρώτοι κόμβοι… k=4 d 1 +d 2 +d 3 +d 4 =20 ≤ 4· 3 + Σ 5 ≤ i ≤ 7 min(4, d i ) = 12+6=18 20 ≤ 18  False Η ακολουθία S δεν είναι ΓΡΑΦΙΚΗ… Ακολουθία Βαθμών – Παράδειγμα (2)

60 60 Τριγωνικά και Μεταβατικά Γραφήματα Τριγωνική Ιδιότητα Κάθε απλός κύκλος μήκους l > 3 έχει μια χορδή. Τριγωνικά Γραφήματα (Triangulated graphs or chord graphs) 60

61 61 Τριγωνικά και Μεταβατικά Γραφήματα 61 Μεταβατική Ιδιότητα Κάθε ακμή μπορεί να πάρει one-way κατεύθυνση έτσι ώστε στο προκύπτον κατευθυνόμενο γράφημα (V, F) να ισχύει: ab  F and bc  F  ac  F (  a, b, c  V) Τα γραφήματα που ικανοποιούν την μεταβατική ιδιότητα ονομάζονται μεταβατικά (comparability graph). 61

62 62 Circular – arc Γραφήματα Circular-arc graphs properly contain the internal graphs. proper circular - arc graphs

63 63 Γραφήματα Διαστημάτων The intersection graph of a family of intervals on a linearly ordered set (like the real line) is called an interval graph 2 I 1 I 3 I I 2 I 4 I I 7 5 unit internal graph proper internal graph - no internal property contains another 63 7

64 64 Permutation Γραφήματα

65 65 Τέλεια Γραφήματα Let G = (V, E) be an undirected graph : (P 1 ) ω(G A ) = χ(G A )  A  V (P 2 ) α(G A ) = κ(G A )  A  V G is called Perfect


Κατέβασμα ppt "1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google