Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

2 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ιστορικά 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg 1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων C n H 2n Cayley-De Morgan-Moebius, χρωματισμός με 4 χρώματα 1859 Hamilton, δωδεκάεδρο 1936 Koenig, το πρώτο βιβλίο

3 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (1) Ορισμός: σύνολο κορυφών και ακμών Συμβολισμός: G(V,E), G=(V,E), (V(G),E(G)), (n,m), (p,q) n: τάξη-order m: μέγεθος-size Πεπερασμένος γράφος: n, m πεπερασμένα Άπειρος γράφος Ειδικές περιπτώσεις: n=0: κενός-empty n=1: ασήμαντος-trivial m=0: μηδενικός-null (N n )

4 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (2) Τερματικά σημεία και προσπίπτουσα ακμή Γειτονικά σημεία – ανεξάρτητα σημεία Γειτονιά κορυφής (σύνολο γειτονικών κορυφών) Ν(v) Βαθμός κορυφής – degree [d(v)=|N(v)|] Ελάχιστος και μέγιστος βαθμός γράφου d(G), D(G) Τακτικοί γράφοι (regular): –Κυκλικός γράφος (Cn): όλοι οι κόμβοι d(v)=2 (κυβικός k=3) –Πλατωνικοί γράφοι (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο)

5 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (3) Απομονωμένη κορυφή – isolated d(v)=0 Εκκρεμής κορυφή – pendant d(v)=1 Συνδεδεμένες συνιστώσες (k) Συνδεδεμένος γράφος Συνδεδεμένος γράφος κατά ελάχιστο τρόπο Σειρά – rank (r=n-k) Μηδενικότητα – nullity (μ=m-n-k) Βρόχος, παράλληλες ακμές Απλός γράφος, ψευδογράφος, πολυγράφος, υποκείμενος, κατευθυνόμενος/προσανατολισμένος D(V,A) και τόξα

6 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (4) Λήμμα των χειραψιών (Σd(v)=2|E|) Πόρισμα για τακτικούς γράφους (|v|*k=2*|E|) Θεώρημα: Το πλήθος των περιττών κορυφών είναι άρτιο Γραμμικός γράφος L(G) Πλήρης γράφος Κn Κλίκα γράφου, αριθμός κλίκας (τάξη) Θεώρημα: Ένας πλήρης γράφος έχει n(n-1)/2 ακμές Θεώρημα: n-k<=m<=(n-k)(n-k+1)/2 Πόρισμα: κάθε απλός γράφος με (n-1)(n-2)/2 ακμές είναι συνδεδεμένος

7 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Βασικές Έννοιες (5) Ζυγισμένος γράφος, βάρος ακμής Ισομορφικοί γράφοι, ίσοι γράφοι – επιγραφή/ετικέτα Θεώρημα: Το πλήθος των διαφορετικών γράφων με n κορυφές και m ακμές είναι comb(n(n-1)/2,m) Πόρισμα: Το πλήθος των διαφορετικών γράφων με n κορυφές είναι 2^[n(n-1)/2] Υπογράφος, υπεργράφος, ζευγνύων υπογράφος, επηρεασμένος από σύνολο κορυφών/ακμών

8 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (1) Ένωση – union (G 1 UG 2 ) Τομή – intersection (G 1 ∩ G 2) Άθροισμα δακτυλίου – ring sum Συμπλήρωμα – complement Διαγραφή κορυφής/ακμής – deletion (G-{e}, G-{v}) Ανταλλαγή ακμών – interchange Διάσπαση κορυφής – split –Αποκόπτουσα κορυφή, σημείο άρθρωσης – articulation point –Αποκόπτουσα ακμή, γέφυρα - bridge, ισθμός –Δισυναφής – bicoherent, διασυνδεδεμένος – biconnected

9 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Πράξεις (2) Σύνδεση, άθροισμα – join, sum –Τροχοειδής – wheel γράφος (Ν 1 +C n-1 =W n ) Διμερής, διγράφος, πολυμερής γράφος, πλήρης διμερής, πλήρης πολυμερής (αστεροειδής Κ 1,n ) Καρτεσιανό γινόμενο G 1 xG 2 Λεξικογραφικό γινόμενο G 1 [G 2 ] Συγχώνευση κορυφών – fusion/merge Υποδιαίρεση ακμής – subdivision

10 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλγόριθμοι Και Γράφοι Αλγοριθμική θεωρία γράφων Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου Συμβολισμός Ο Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης

11 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αποθήκευση Γράφων Στατικές αναπαραστάσεις –Πίνακας κορυφών – adjacency matrix –Πίνακας προσπτώσεων – incidence matrix Δυναμικές αναπαραστάσεις –Λίστες ακμών – edge lists (για αραιούς γράφους) –Λίστες γειτνίασης

12 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (1) Μη αύξουσα ακολουθία ακεραίων Γραφική ακολουθία, πραγματοποίηση ακολουθίας, απλή γραφική ακολουθία Κανόνες 1.Μη αρνητικές τιμές 2.Πλήθος περιττών βαθμών άρτιο 3.Τιμές μικρότερες από n Παράδειγμα 2,2,2,2,2,2 Θεώρημα: Μια ακολουθία d 1,d 2,…,d n είναι γραφική, αν είναι γραφική η d 2 -1,d 3 -1,…,d d1+1 -1,d d1+2,…,d n

13 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (2) Αλγόριθμος 1.Αν κάποιο d>n-1  OXI 2.Αν όλα μηδενικά  OXI 3.Αν κάποιο αρνητικό  OXI 4.Αναδιάταξη της ακολουθίας ώστε μη αύξουσα 5.Διαγράφεται ο πρώτος όρος (d1) και αφαιρείται μονάδα από επόμενους d1 όρους 6.Πήγαινε στο Βήμα 2 Παράδειγμα 5,4,4,3,2,1,1

14 Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ακολουθία Βαθμών (3) Θεώρημα: Μια ακολουθία d 1,d 2,…,d n είναι γραφική αν και μόνο αν Σd i είναι άρτιο και για κάθε 1<=k<=n-1 ισχύει: Σ 1<=i<=k d i <=k(k-1)+Σ 1<=k+1<=n min(k, d i )


Κατέβασμα ppt "Εισαγωγή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google