Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 2: Μονοπάτια και Κύκλοι.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 2: Μονοπάτια και Κύκλοι."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 2: Μονοπάτια και Κύκλοι

2 2 Εισαγωγή (1) Περίπατος (walk): ακολουθία από κόμβους και ακμές. Ίχνος (trail): περίπατος που μια ακμή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Μονοπάτι (path): ίχνος που ένας κόμβος δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Αρχή-τέρμα περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού. Τερματικοί και εσωτερικοί κόμβοι.

3 3 Εισαγωγή (2)

4 4 Αποστάσεις (1) 2 2 3

5 5 Αποστάσεις (2)

6 6 Αποστάσεις (3) rad(G)=2 diam(G)=4

7 7 Αποστάσεις (4)

8 8 Αποστάσεις (5) x y z z : κόμβος του κέντρου

9 9 Αποστάσεις (6)

10 10 Κέντρο και μέσο ενός G dist(y) :

11 11 Γραφήματα για το πρόβλημα του ταχυδρομείου Γράφημα για επίδειξη διαφοράς κέντρου και μέσου Κέντρο και μέσο ενός G

12 12 Γραφήματα Euler (1) Leonard Euler, Ελβετός, πατέρας Θεωρίας Γραφημάτων, 1736 πρόβλημα γεφυρών Koenigsburg Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφημα να βρεθεί κύκλωμα (= κλειστό ίχνος) που να περνά από όλες τις ακμές? Eulerian γράφημα: περιέχει γραμμή Euler Semi-Eulerian γράφημα: περιέχει ανοικτό ίχνος Euler Ψυχαγωγικά προβλήματα, μονοκονδυλιές περιέχει κλειστό ίχνος (κύκλωμα) περιέχει ανοικτό ίχνος (μονοπάτι)

13 13 Γραφήματα Euler (2)

14 14 Αλγόριθμοι εύρεσης κύκλων Euler (1) G-E(T i ) TiTi

15 15 Αλγόριθμοι εύρεσης κύκλων Euler (2)

16 16 Γράφημα για Αλγόριθμο Tucker Αλγόριθμοι εύρεσης κύκλων Euler (3)

17 17 Αρχικά: (α) 1  2  5  1 (β) 5  4  6  5 (γ) 2  3  4  2 Τελικά: 1  2  3  4  2  5  4  6  5 Αλγόριθμοι εύρεσης κύκλων Euler (4)

18 18 Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (1) Τέθηκε από κινέζο μαθηματικό (1962) Πρόβλημα: ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το γραφείο του, πρέπει να περάσει απ’ όλους τους δρόμους και επιστρέφει στο γραφείο του, το συντομότερο !!!! Θεωρούμε απλό γράφημα (όχι έμβαρο) και αναζητούμε Eulerian διαδρομή. Αν το γράφημα δεν είναι Eulerian, τότε πρέπει κάποιες ακμές να διασχισθούν περισσότερο από μία φορές. Πόσες? Το μήκος l της βέλτιστης λύσης είναι |Ε| ≤ l ≤ 2|Ε|

19 19 Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (2)

20 20 Hamiltonian Γραφήματα (1)

21 21 Hamiltonian Γραφήματα (2)

22 22 Hamiltonian Γραφήματα (3)

23 23 Hamiltonian Γραφήματα (4)

24 24 Hamiltonian Γραφήματα (5)

25 25 Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (1) Πίνακας reachability (πολλαπλασιασμός πινάκων και concatenation των εισόδων) Προκύπτει πίνακας μετά από n-1 πολλαπλασιασμούς Ελέγχεται αν οι είσοδοι αυτού είναι Hamiltonian μονοπάτια/κύκλοι

26 26 Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (2) Διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί πινάκων Μ i = M i-1 * M, 1 < i < n 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 M M 1 ABCDEABCDE

27 27 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (3) M M 1 Για κάθε στοιχείο του Μ i ισχύει: Μ i (r, s) = Σ t=1,n M i-1 (r, t) * M(t, s), 1 < i < n Το σύμβολο * δηλώνει παράθεση των αντίστοιχων στοιχείων των Μ i-1 και M, αν κανένα από τα δύο στοιχεία δεν είναι 0, και το σύμβολο του Μ δεν συμπεριλαμβάνεται στην αντίστοιχη συμβολοσειρά του Μ i-1. ABCDEABCDE

28 28 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (4) M 1 M Μ 2 = M 1 * M, Για το (1, 3) του Μ 2  Μ 2 (1, 3) = Σ t=1,5 M 1 (1, t) * M(t, 3) __________________________________________________________________________________________________ 0 ΑΒ C ΑΒC * Γραμμή 1 του Μ 1 Στήλη 3 του Μ Στοιχείο (1,3) του Μ 2

29 29 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (5) M 1 M * 00ABC00 000BCDBCE CEACEB0CEDCDE DEADEB000 0EABEBC00 M2M2

30 30 0AB000 00BC00 000CDCE 0000DE EAEB0ED0 0B000 00C00 000DE 0000E AB0D0 Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (6) M 1 M * 000ABCEDABCDE BCDEA0BC00 0CDEAB000 00DEABC00 000EABDC0 M4M4

31 31 Περιοδεύων Πωλητής

32 32 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (1) Επίλυση με ευριστικές υποβέλτιστες λύσεις Μέτρο σύγκρισης είναι η ποσότητα 1 ≤ L / L opt = a

33 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (2) 33

34 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (2) 34

35 35 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (3) Μέθοδος με ελάχιστα ζευγνύοντα δένδρα (3,1,2,4,5,6,3) βάρος 212 Μέθοδος με διαδοχικές ανταλλαγές κορυφών (3,4,5,6,1,2,3)βάρος 237 (3,6,5,4,1,2,3)βάρος 210 (3,6,5,4,2,1,3)βάρος 193 (3,6,1,2,4,5,3)βάρος 192

36 36 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (4) Μέθοδος πρακτικής εύρεσης κάτω ορίου σε πρόβλημα tsp: Θεωρούμε ελάχιστο ζευγνύον δένδρο στο γράφημα G-v Λαμβάνουμε δύο ακμές προσπίπτουσες στο v με ελάχιστο βάρος και εισάγουμε mst (minimum spanning tree) Aν v = 5, τότε w(T) = 122, = 178 κάτω όριο

37 37 Άπειρα Γραφήματα (1) Οι κόμβοι είναι σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες, ενώ οι ακμές ενώνουν κορυφές σε απόσταση 1 Σε άπειρο γράφημα δεν υπάρχει Eulerian κύκλωμα ή Hamiltonian κύκλος, αλλά υπάρχουν τα αντίστοιχα μονοπάτια Μονοδρομικό (one-way) Eulerian/Hamiltonian μονοπάτι είναι το μονοπάτι που ξεκινά από μία κορυφή και επεκτείνεται επ’άπειρο (space filling curve)

38 38 Peano/z-order Hilbert Άπειρα Γραφήματα (2)

39 39 Μαγικά Τετράγωνα (1) Γραμμές, στήλες και διαγώνιοι έχουν ίσο άθροισμα Μεγάλη προϊστορία/ιστορία-Dührer

40 40 Μαγικά Τετράγωνα (2) Αλγόριθμοι κατασκευής μαγικών τετραγώνων (περιττής τάξης): Μέθοδος Bachet (με ρόμβο) Με το τέχνασμα των τριών τυχαίων αριθμών (π.χ. 3,2,5) Αντικαθιστώντας τους περιττούς αριθμούς 3-17 στις θέσεις 1-9 Προσθέτοντας σε κάθε θέση τον ίδιο αριθμό Μαγικό λέγεται το γράφημα όπου το άθροισμα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλους τους κόμβους είναι ίσο περιττής τάξης

41 41 Μέθοδος Bachet

42 42 Μέθοδος Bachet

43 43 Μαγικά Τετράγωνα (3) Θεώρημα: αν ένας διμερές γράφημα μπορεί να αποσυντεθεί σε 2 Hamiltonian κύκλους, τότε το γράφημα είναι μαγικό Αντιμαγικό λέγεται το γράφημα όπου τα αθροίσματα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλους τους κόμβους είναι άνισα Πλήθος μαγικών αντικειμένων (ομόκεντρα τετράγωνα, τετράγωνα με ντόμινο, πολύγωνα κλπ)

44 44 Εφαρμογές Κίνηση αλόγων (knight tour) σε σκακιέρα ή κάθε είδους πλαίσιο Hamiltonian μονοπάτια και κύκλοι DeMoivre (κίνηση περιμετρικά) Εuler (μαγικό τετράγωνο), κλπ Τοποθέτηση προσώπων σε τραπέζι Θεώρημα: για διαφορετικούς Hamiltonian κύκλους: (n-1)/2 Στιγμιαία παραφροσύνη


Κατέβασμα ppt "Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 2: Μονοπάτια και Κύκλοι."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google