Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός

2 2 Εισαγωγή (1)  Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών.  Χρωματική τάξη (color class): σύνολο κορυφών με το ίδιο χρώμα.

3 3 Εισαγωγή (2)  Γράφημα k-χρωματίσιμο (k-colorable): οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα.  Γράφημα k-χρωματικό (k-chromatic): οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1.  Χρωματικός αριθμός (chromatic number): χ(G)=k. χ(G) ≥ ω(G) χ(G) ω(G) α(G) κ(G)

4 4 Εισαγωγή (3)  Χρωματικός αριθμός (chromatic number): χ(G) = k.  Αν ένας γράφος G είναι p-χρωματίσιμος (όπου p > χ(G)), τότε ο γράφος G είναι και r-χρωματίσιμος (όπου p > r > χ(G)).  Γράφος χρωματίσιμος κατά μοναδικό τρόπο (uniquely colorable) V1 V2 V3 V4 V5 3 χρωματικές κλάσεις {v 1 }, {v 2,v 5 }, {v 3,v 4 } Γενική περίπτωση για k > χ(G), το G μπορεί να χρωματιστεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους χρησιμοποιώντας k χρώματα Ωστόσο, υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις για k = χ(G) οι χρωματικές κλάσεις είναι σταθερές.

5 5 Εισαγωγή (4)  Κρίσιμος (critical): χ(Η) < χ(G), για κάθε Η υποσύνολο του γραφήματος G.  k-κρίσιμος (k-critical): τo G είναι κρίσιμο και k-χρωματικό, k ≥ 2 εάν χ(G)=k και χ(G-v)=k-1, για κάθε ν που ανήκει V(G).  Θεώρημα: Αν το G είναι k-κρίσιμο, τότε d(G)  k-1. χ(G) = 3 χ(Η) < 3 W6W6 χ(W 6 )=4  κρίσιμος 4-χρωματικός  4-κρίσιμος

6 6 Θεώρημα: G k-κρίσιμος  d(G)  k-1

7 7 Εισαγωγή (5)  Τέλειο γράφημα (perfect graph): αριθμός κλίκας ω(Η)=χ(Η) χρωματικό αριθμό, για κάθε επαγόμενο υπογράφημα Η του γραφήματος G. Holes Antiholes Όχι Perfect

8 8 Εισαγωγή (6)  Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς ακμές (k-edge colorable): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα.  Γράφος k-χρωματικός ως προς ακμές (k-edge chromatic): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1.  Χρωματικός αριθμός ακμών ή κατάλογος (chromatic index): χ ’ (G)=k.  Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς περιοχές (k-region colorable): οι περιοχές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα Χ’(G) Χάρτες

9 9 Χρωματισμός Κορυφών (1)  χ(K n ) = n  χ(Ν n ) = 1  χ(K m,n ) = 2, για m, n  1  χ(G) = 2, αν δεν υπάρχει κύκλος περιττού μήκους  ΌΧΙ  χ(Τ) = 2, αν το δένδρο έχει n > 2 κορυφές  χ(C 2n ) = 2  χ(C 2n+1 ) = 3  χ(W 2n ) = 3  χ(W 2n+1 ) = 4

10 10 Χρωματισμός Κορυφών (2)  Ερώτημα: ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός ενός γράφου;  Απάντηση: r ≤ χ(G) ≤ n, αν υπάρχει υπογράφος K r.  Θεώρημα: Κάθε γράφος μη πλήρης με μέγιστο βαθμό D είναι (D+1)-χρωματίσιμος (οι κόμβοι του μπορούν να χρωματιστούν με D+1 χρώματα).  Θεώρημα (Brookes 1941): Κάθε γράφος μη πλήρης με D(G)  3 είναι D-χρωματίσιμος.

11  Εάν G έχει n = D+1 κόμβους  η αλήθεια του Θεωρήματος είναι προφανής  Υποθέτουμε ότι ισχύει για n = k-1  θα αποδείξουμε ότι ισχύει όταν G έχει k κόμβους. Αν από G διαγράψουμε ν : d(v) = D  G-v είναι βαθμού το πολύ D και έχει n-1 κόμβους. Άρα G-v είναι (D+1)-χρωματίσιμος  ν χρωματίσιμο με ένα χρώμα που δεν υπάρχει στους γείτονές του. v 11 Χρωματισμός Κορυφών (2) – Απόδειξη θεωρήματος Δ(G) = 4

12 12 Χρωματισμός Κορυφών (3)  Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 6-χρωματίσιμος.  Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 5-χρωματίσιμος.  Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 4-χρωματίσιμος. Η απόδειξη δεν δίνεται σε κανένα δικτυακό βιβλίο

13 13 Κάθε επίπεδο γράφημα είναι 6-χρωματίσιμο

14 14 Χρωματισμός Κορυφών (3)  Εικασία των 4 χρωμάτων (4 color conjecture):  Guthrie 1850 (παρατήρηση)  DeMorgan 1852  Hamilton 1852  Cayley 1878 (δεν βρήκε λύση)  Kempe 1880 (βρήκε λάθος λύση)  Heawood 1890 (βρήκε το λάθος της λύσης)  Franklin 1920 (για n ≤ 25)  Reynolds 1926 (για n ≤ 27)  Franklin 1931 (για n ≤ 31)  Winn 1943 (για n ≤ 35)  Ore-Stemple 1968 (για n ≤ 40)  Appel-Haken-Koch 1977

15 15 Χρωματισμός Χαρτών  Θεώρημα: Ένας επίπεδος απλός γράφος G είναι k-χρωματίσιμος (ως προς τις κορυφές), αν και μόνον αν ο G* είναι k-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές.  Θεώρημα: Ένας χάρτης G είναι 2-χρωματίσιμος αν και μόνον αν είναι Eulerian.  Θεώρημα: Ένας κυβικός χάρτης είναι 3-χρωματίσιμος αν και μόνον αν κάθε περιοχή περικλείεται από άρτιο αριθμό ακμών.

16 16 Χρωματισμός Ακμών (1)  χ’(C 2n ) = 2  χ’(C 2n+1 ) = 3  χ’(W n ) = n-1, αν n  4  Θεώρημα (Vizing 1964): Για κάθε απλό γράφο G ισχύει D(G) ≤ χ’(G) ≤ D(G)+1  Θεώρημα: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ’(K m,n ) = D(K m,n ) = max(m,n) n=6 X’=5

17 17 Χρωματισμός Ακμών (2)  Θεώρημα: Για κάθε πλήρη γράφο ισχύει χ’(K n ) = n (n περιττό) = n-1 (n άρτιο)

18 18 Χρωματικά Πολυώνυμα (1)  Ερώτηση: Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε τις κορυφές ενός γράφου με k χρώματα;  Απάντηση: Χρωματικό πολυώνυμο P G (k) (Birkhoff 1912)  P Nn (k) = k n  P T (k) = k(k-1) n  P Kn (k) = k(k-1)…(k-n+1)  P G (k) = 0, αν k < χ(G)  P G (k) > 0, αν k  χ(G)  P G (k) > 0, αν G απλός επίπεδος γράφος Ο αριθμός των τρόπων που μπορούν να χρωματιστούν οι κόμβοι ενός G με k χρώματα G P G (k) = k(k-1) 2

19 19 Χρωματικά Πολυώνυμα (2)  Θεώρημα: Έστω γράφος G και δύο μη γειτονικές κορυφές u, w. Τότε ισχύει P G (k)=P G1 (k)+ P G2 (k), όπου G 1 =G+(u,w) και G 2 =G/(u,w).  Θεώρημα: Το χρωματικό πολυώνυμο γράφου G με n κόμβους είναι πολυώνυμο ως προς k βαθμού n. Το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές με εναλλασσόμενα πρόσημα, μεγαλύτερο όρο το k n και σταθερό όρο ίσο με 0. Κ 5 + 3Κ 4 + 2Κ 3 K(k-1) 3

20 20 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (1)  Ο προσδιορισμός του χρωματικού αριθμού είναι δυσχείριστο πρόβλημα.   Σειριακός αλγόριθμος (άπληστος):  Πολυπλοκότητα Ο(n*m)  Τι γίνεται σε διμερή γράφο;

21 21 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (2)  Πρώτα η μεγαλύτερη (largest first):  Ταξινόμηση κορυφών ως προς αύξοντα βαθμό.  Μετά σειριακός. d(v i ) ≥ d(v i+1 ) για i=1, 2, 3,..., k-1 Welsh+Powell,1967: χ(G) ≤ max {min (i, d(v i ) + 1)} i

22 22 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (3)  Τελευταία η μικρότερη (smallest last):  Matula-Marble-Issacson  Ταξινόμηση κορυφών ως προς φθίνοντα βαθμό.  Μία-μία διαγράφονται οι κορυφές, ώστε να προκύψει μια νέα διάταξη των κορυφών.  Μετά σειριακός. Μετά από κάθε διαγραφή  νέα degrees + sort

23 23 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (4)  Μέθοδος βαθμού-χρώματος (color-degree):  Brelaz 1979  Βαθμός χρώματος κορυφής: αριθμός χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν σε γειτονικές κορυφές. v με max degree color(v) = 1  μετά max color-degree 1 Max degree Color degree 1 => max degree Color degree 2  max degree 1 2

24 24 Παράδειγμα Εφαρμογής Αλγορίθμων Χρωματισμού (1) 1) Σειριακή μέθοδος : 2) Πρώτα ή Μεγαλύτερη : 3) Τελευταία ή Μικρότερη:

25 25 Παράδειγμα Εφαρμογής Αλγορίθμων Χρωματισμού (2) 4) Μέθοδος του βαθμού χρώματος

26 26 Ωρολόγιο Πρόγραμμα  Ο καθηγητής Χ i (1 ≤ i ≤ m) διδάσκει το μάθημα Υ j (1≤ j ≤ n) για P ij ώρες/εβδομάδα.  Κανείς καθηγητής Χ i δεν διδάσκει περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα, αλλά και κανένα μάθημα Υ j δεν διδάσκεται περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα.  Λύση: Διμερής γράφος K m,n.  Η κορυφή Χ i ενώνεται με την κορυφή Υ j με P ij ακμές  Χ ’ (K m,n ) = P  Χρωματισμός ακμών

27 27 ΆΣΚΗΣΗ 20


Κατέβασμα ppt "Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google