Κατέβασμα παρουσίασης
Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε
ΔημοσίευσεTaryn Moros Τροποποιήθηκε πριν 10 χρόνια
1
Tεχνολογία & Μαθηματικά Ιωάννη Μαρουλά Ομ. Καθηγητή ΕΜΠ 2nd SENS-ERA WORKSHOP “Advanced sensor systems and networks” TEI Πειραιά, 6-7 Δεκεμβρίου 2012
2
• Εισαγωγή • Τα Μαθηματικά για την Τεχνολογία : Στοιχεία Θεωρίας Συστημάτων Ελέγχου • Φίλτρο Kalman / Εφαρμογή στους αισθητήρες Διδασκαλία • Η τεχνολογία για τα Μαθηματικά : Μοντελοποίηση
3
Από αρχαιοτάτων χρόνων εμφανίζονται Μαθηματικά και Τεχνολογία αλληλοεξαρτώμενοι πυλώνες της επιστήμης •Μαθηματικά θεμελιώνουν την Τεχνολογία •Τεχνολογία δημιουργεί νέα Μαθηματική σκέψη
4
Οι Αρχαίοι Έλληνες στραμμένοι στην τεχνολογία • Ο Πλάτων στον “Πρωταγόρα” παρουσιάζει τον Προμηθέα γυμνό, ξυπόλητο, άοπλο και άστεγο, επανορθώνοντας με « έντεχνη σοφία » - τεχνογνωσία και το « πύρ » - ενέργεια. • Θεό ΄Ηφαιστο (θεό μηχανικό), Ταλώς (μυθικό ρομπότ)
5
19ο & 20ο αιώνα • Εκμάθηση της τέχνης χωρίς επιστημονικές αρχές (μακροχρόνια και κοπιώδη υπηρεσία κοντά σε τεχνίτη για την μύηση της τέχνης) • Προστασία και διαιώνιση της τέχνης. • Η τεχνική εκπ/ση θεσπίστηκε υπό μορφή μαθητείας -20ος αιων. • Για τις νέες τέχνες απαιτήθηκε πρόσβαση σε θεωρητικές γνώσεις που οδήγησε στην ακαδ/κη εκπ/ση στην σύγχρονη τεχνολογία Σύγκλιση επιστήμης και τεχνολογίας > έρευνα
6
• Τα Γαλλικά και Γερμανικά Παν/μια ήταν πρωτοπόρα στην κατεύθυνση αυτή, ενώ η Βρετανία καθυστέρησε λόγω της εξαιρετικά επιτυχημένης παράδοσης μαθητείας στη μηχανολογία και συναφή επιτηδεύματα. • Τον 20 ο αιώνα όλες οι προηγμένες χώρες στη βιομηχανία (και η Ιαπωνία) είχαν αναγνωρίσει τον κρίσιμο ρόλο της θεωρητικής τεχνολογικής εκπαίδευσης για την επίτευξη εμπορικής και βιομηχανικής επάρκειας
7
Πρόσφατο παρελθόν: χωρίς Η/Υ, κινητή τηλεφωνία, internet Σήμερα : Ταχύτατη εξέλιξη της τεχνολογίας (ξεπερασμένα τα διηγήματα επιστημονικής φαντασίας ) Μαθηματικά: επιφανειακή η αργή αίσθηση εξέλιξης • Δημιούργησε νέα επιστημονικά πεδία, όπως : Κρυπτογραφία, Τεχν.Νοημοσύνη, Θεωρία Συστημάτων …….
8
Θεωρία Συστημάτων Δεδομένα «μετασχηματίζονται» σε αποτελέσματα • Είσοδοι (inputs) >>>>>> Έξοδοι (outputs) • Ενδέχεται να έχει μνήμη και χαρακτηρίζεται από την εσωτερική του κατάσταση (transfer function) • Aνάδραση (feedback) : δέχεται ως είσοδο την έξοδο δηλ. αποστέλλονται μηνύματα m 1, m 2, …, m k με πιθανότητα εμφάνισης p 1, p 2,…, p k, όπου p k =1.
9
Παράδειγμα : Αυτοκίνητο ελέγχεται κατά την κίνηση του από γκάζι-φρένο και βρίσκεται σε απόσταση s(t) σε χρόνο t, από αρχ. σημείο s(t 0 ). Αν έχει ανά μον. μάζας επιταχυνόμενη δύναμη u 1 (t) και επιβραδυνόμενη δύναμη u 2 (t) (αγνοώντας τις άλλες δυνάμεις) η θέση x 1 (t) = s(t) και η ταχύτητα x 2 (t) = s΄(t) του αυτοκινήτου περιγράφονται από τις εξισώσεις : x΄ 1 = x 2, x΄ 2 = u 1 – u 2 ή x΄(t) = A x(t) + B u(t) (1) x= [x 1 x 2 ] T, u= [u 1 u 2 ] T, A=[0 1;0 0], B=[0 0;1 -1]
10
Συστήματα Ελέγχου Θεωρείστε πίνακες Α nxn, Β nxm και τους υπόχωρους C 0 = Im B, C 1 = Im [B AB], C 2 = Im [B AB A 2 B], …. δηλ. C p+1 = C p + Im (A p+1 B), τότε C 0 C 1 C 2 … Πρόταση 1. Αν C k+1 = C k, τότε C j = C k, για κάθε j > k. Τότε σημειώνουμε : C k = C A,B « χώρος ελεγξιμότητας »
11
Αν C A,B = C n = C n ( k = n ),το σύστημα (1) είναι ελέγξιμο, δηλ. για αρχική τιμή x(t 0 ) και μετά x 1 (Τ), υπάρχει συνεχής u(t), ώστε x (T)=x 1. Ισοδύναμα : rank [B AB … A n-1 B] = n Πρόταση 2. Ο χώρος C A,B είναι ο μικρότερος Α-αναλλοίωτος υπόχωρος που περιέχει τον Im B.
13
Πρόταση 4. Ισοδύναμες συνθήκες : • Σύστημα (1) ελέγξιμο. • Ker B* int Κer ( λΙ – Α )* = {0}, για κάθε λ. • rank [ λΙ – Α, Β] = n, για κάθε λ. Πρόταση 5. Aν στο σύστημα (1) rank C A,B = ν (< n) τότε υπάρχει αλγεβρικά ισοδύναμο σύστημα ( P=R -1 AR, Q=R -1 B) w΄(t) = P w(t) + Q u(t) όπου P = [P 1 P 2 ; 0 P 3 ], Q = [ Q 1 ; 0] και το σύστημα { P 1, Q 1 } είναι ελέγξιμο.
15
Όταν dim C Α*,Γ* = n, τότε Κ n ={0} και το σύστημα x΄(t) = Α x(t) + B u(t), y(t) = Γ x(t) (2) oνομάζεται παρατηρήσιμο, δηλ. δεδομένων u(t) και y(t), για t 0 < t < t 1, αναζητείται x(t 0 ). Στο παράδειγμα (σελ 9), για y = x 2 = [0 1] x το σύστημα δεν είναι παρατηρήσιμο, αφού δεν υπολογίζεται το x 1 (t 0 ).
16
Tο σύστημα x΄(t) = - A* x(t)+ Γ* u(t) y(t) = B* x(t) ονομάζεται δυικό του (2) Συνεπώς, το σύστημα (2) είναι παρατηρήσιμο ακριβώς όταν το δυικό του είναι ελέγξιμο, δηλ rank K n-1 = n
17
Αν u(t) = M x(t) + v(t), τότε (κατάσταση ανάδρασης) x΄(t) = (A+BM) x(t) + B v(t) (3) • Οι χώροι ελεγξιμότητας των συστημάτων (1) και (3) ταυτίζονται. Πρόταση 7. Αν Θ n = {θ 1, θ 2, …,θ n } και το σύστημα (1) είναι ελέγξιμο, τότε υπάρχει πίνακας Μ τέτοιος ώστε o πίνακας Α+ΒΜ έχει ιδιοτιμές το σύνολο Θ n.
18
Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην (2) έχουμε : Υ(s) = G(s) U(s) ; G(s) = Γ (sI –A) -1 B Ο πίνακας G(s) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς. Πρόταση 8. Στην G(s), οι πίνακες Α, Β, Γ έχουν ελάχιστη διάσταση ακριβώς όταν στο σύστημα (2) το ζεύγος {Α,Β} είναι ελέγξιμο και {Α,Γ} είναι παρατηρήσιμο.
19
Συστήματα Διακριτού Χρόνου : x k+1 = A x k + B u k ; k = 0,1,2,… y k = Γ x k + w k • Για τα μετρήσιμα μεγέθη χρησιμοποιούμε και αισθητήρες. • Οι αισθητήρες παρουσιάζουν θόρυβο που περιορίζουν την ακρίβεια των μετρήσεων και για την απομάκρυνση του θορύβου χρησιμοποιούμε τα φίλτρα, τα οποία διατηρούν την πληροφορία.
20
Φίλτρο KALMAN ( ή γραμμική τετραγωνική εκτίμηση) • Βέλτιστος αναδρομικός αλγόριθμος επεξεργασίας δεδομένων, (πολλαπλές διαδοχικές μετρήσεις από αισθητήρες), περιέχει θόρυβο και παράγει εκτιμήσεις. • Ενημερώνεται για τις τρέχουσες τιμές x k και y k και δεν απαιτεί προηγούμενα δεδομένα για να επεξεργασθούν. • Γραμμικό δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου x k = A x k-1 + u k y k = B x k + v k
21
Παράδειγμα • Μέτρηση θερμοκρασίας δωματίου. Θεωρούμε ότι είναι 22 ο (θδ), με απόκλιση ± 2 ο • Το θερμόμετρο δείχνει 25 ο (θθ), με απόκλιση ± 5 ο. Ποια είναι η βέλτιστη εκτίμηση της θερμοκρασίας ? H διακύμανση v(θδ) = 2 2 = 4 και v(θθ) = 5 2 = 25. Το φίλτρο Kalman χρησιμοποιεί ένα βάρος (w) μεταξύ της «αισθανόμενης» θερμοκρασίας και του θερμομέτρου. Συνεπώς : w = v(θδ) / v(θδ)+v(θθ) = 4/(4+25) = 0.14 Όταν w -> 0, σημαίνει ότι εμπιστεύομαι περισσότερο «ότι αισθάνομαι» από το θερμόμετρο. Αντίθετα, w -> 1.
22
Βήμα 1. Θ = 22 + w (25 - 22) = 22.42 Είμαστε βέβαιοι για την εκτίμηση ? Πρέπει να βρούμε την διακύμανση : v = v(θδ) x v(θθ) / v(θδ) + v(θθ) = 4.25/ 4+25 = 3.44=1.86 2 Η απόκλιση είναι 1.86 και η υποτιθέμενη θερμοκρασία 22.42 ± 1.86 Βήμα 2. Αν με νέα μέτρηση θθ = 21 ο, τότε w = 3.44/3.44+25 = 0.12 Θ = 22.42 + 0.12(21 - 22.42) = 22.25 v = 3.44 x 25 / 3.44 +25 = 3.02 = 1.74 2 Απόκλιση ± 1.74, δηλ Θ = 22.25 ± 1.74
23
Διδασκαλία Η Τεχνολογία το ισχυρότερο σύγχρονο μέσο για την ανάπτυξη και την εξέλιξή της. Διατηρεί την μάθηση στο προσκύνιο με τις συνεχείς επεμβάσεις της. Δημιούργησε νέους τρόπους για την χειραγώγηση της Μαθηματικής πληροφορίας ( MatLab, Mathematica, SAS, …) Η ερώτηση: τι Η/Υ ή τι λογισμικό χρησιμοποιείται είναι λάθος Σωστό είναι, πως ο Η/Υ χρησιμοποιείται σε συγκεκριμένο πρόγραμμα σπουδών και πως τίθεται το πρόβλημα στον φοιτητή.
24
Σκέψεις για την διδασκαλία : • Επιλογή του είδους της τεχνολογίας, ώστε να καλύπτονται οι ανάγκες των φοιτητών. Τεχνολογία εύστοχη και όχι ελκυστική. • Η χρήση Η/Υ συνδεδεμένη με το σκοπό του μαθήματος και με την εκμάθηση, δηλ. πώς να εκτελέσει τον υπολογισμό • Η τεχνολογία πρέπει να στοχεύει στην ανάλυση του προβλήματος και να προάγει τις σκέψεις. • Η τεχνολογία πρέπει να επιλέγεται ώστε οι φοιτητές να μπορούν να ανταποκριθούν. • Αναζήτηση της σκέψης του φοιτητή. Δεν βοηθάει η τεχνολογία όταν συσκοτίζει τις λεπτομέρειες και δίνει άμεσα την απάντηση. • Πολύ καλή εκπ/ση στους Η/Υ ώστε να ισχυροποιείται ο φοιτητής στην επίλυση δύσκολων προβλημάτων
25
Μοντελοποίηση Μαθηματικό Μοντέλο είναι ένα αφηρημένο μοντέλο που προέκυψε μετά από επεξεργασία, το οποίο περιγράφει την συμπεριφορά του συστήματος και διαχειρίζεται την γνώση του. • Εφαρμογή: στις φυσικές επιστήμες, στη πληροφορική και στις κοινωνικές επιστήμες. Συμβάλουν στην ποιοτική ανάπτυξη του επιστημονικού πεδίου. • Οι ιδιότητες διατυπώνονται με μεταβλητές, και διαχωρίζονται: της εισόδου, της απόφασης, της κατάστασης, της εξόδου, οι εξωγενείς και οι τυχαίες. • Ταξινομούνται σε : γραμμικά και μη, ορισμένα και στοχαστικά, στατικά και δυναμικά, διακριτά και συνεχή, παραγωγικά (θεωρία), επαγωγικά (εμπειρία) ή κυμαινόμενα.
26
Παράδειγμα : μοντέλο κατανάλωσης Για την αντιμετώπιση επιλογής n προιόντων, σημειούμενα 1,2,…,n, με τιμή αγοράς τ 1, τ 2, …,τ n και για ποσότητες x 1, x 2, …,x n, όταν ο προυπολογισμός είναι Μ euro και η αναγκαιότητα τους σημειώνεται με την συνάρτηση U(x 1,…,x n ), το μοντέλο εκφράζεται με το πρόβλημα βελτιστοποίησης max U(x 1, x 2, …,x n ) όταν Σ τ i x i 0
Παρόμοιες παρουσιάσεις
© 2024 SlidePlayer.gr Inc.
All rights reserved.