Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε

Γραμμικός Προγραμματισμός. Tι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός Είναι τεχνική που ασχολείται µε το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων.

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Παρουσίαση με θέμα: "Γραμμικός Προγραμματισμός. Tι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός Είναι τεχνική που ασχολείται µε το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Γραμμικός Προγραμματισμός

2 Tι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός Είναι τεχνική που ασχολείται µε το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων. Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθεσίμων πόρων. Μπορεί να είναι διαφορετικά επενδυτικά σχέδια που επιζητούν χρηματοδότηση, διαφορετικά προϊόντα που παράγονται από διαθέσιμες πρώτες ύλες, διαφορετικές διαδρομές που μπορεί να ακολουθήσουν προϊόντα που διακινούνται σε προορισμούς κλπ.

3 Ο Γραμμικός Προγραμματισμός με άλλα λόγια επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, το πρόβλημα κατανομής πεπερασμένων πόρων ή μέσων ή γενικότερα χρήσιμων αγαθών (π.χ. εργαζόμενων, υλ\ικών, μηχανών, γης,...) σε διάφορες εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους δραστηριότητες (παραγωγή προϊόντων, παροχή υπηρεσιών,...) κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Κάνει δηλαδή επιλογή της στάθμης κάθε δραστηριότητας έτσι ώστε να βελτιστοποιείται ένα προκαθορισμένο κριτήριο επιλογής. Tι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός

4 Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση (μεγιστοποίηση, ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος, κόστος παραγωγής, μερίδια αγοράς, πωλήσεις προϊόντων κλπ λύση Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και περιορισμούς για κάθε πρόβλημα π.χ. διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης (εργασία, κόστος πρώτες ύλες, δυναμικότητα του εξοπλισμού, διαθέσιμα κεφάλαια, κανόνες ζήτησης προϊόντων, κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ) Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι περιορισμοί εκφράζονται µε γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα και δυνάμεις μεταβλητών)

5 Τυπικά προβλήματα που επιλύονται µε τον ΓΠ Το πρόβλημα μεταφοράς Εύρεση του συντομότερου/ οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων, αποθηκών, σημείων πώλησης κλπ Το πρόβλημα παραγωγής προϊόντων. Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου παραγωγής υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις Το πρόβλημα μείξης πρώτων υλών Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος, ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ., όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη αναλογία μείξης.

6 Επιλογή χαρτοφυλακίου, επενδυτικών σχεδίων. Με δεδομένο το κεφάλαιο, ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου Προγραμματισμός ανθρώπινου δυναμικού Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες, θέσεις εργασίας) κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ. κατανομή φόρτου εργασίας, απαιτούμενες δεξιότητες ανάθεση κλπ. Άλλες παρόμοιες εφαρμογές Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων Τυπικά προβλήματα που επιλύονται µε τον ΓΠ

7 Ο τρόπος ανάπτυξης ενός μοντέλου Βήμα 1. Καθορίζουμε τις μεταβλητές, (ελεγχόμενες, µη ελεγχόμενες) που εκφράζουν τις άγνωστες, προς εκτίμηση, ποσότητες, αξίες κλπ. Του προβλήματος  Μεταβλητές απόφασης (decision variables) Βήµα 2. Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης.  Αντικειμενική Συνάρτηση (objective function) Βήµα 3. Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος µε μαθηματικές εκφράσεις  Περιορισμοί (constraints)

8 Παράδειγµα: Το πρόβληµα Δασοκτήμονας έχει στην κατοχή του δάσος έκτασης 90 Ηα. Τα 40 Ηα καλύπτονται από το δασοπονικό είδος Α και τα 50 Ηα από το δασοπονικό είδος Β. Στα 10 χρόνια που κατέχει το δάσος έχει διαθέσει συνολικά 800 ημέρες εργασίας για τη διαχείριση του Α είδους και 1500 ημέρες εργασίας για το Β είδος. Το συνολικό εισόδημα που εισέπραξε στη δεκαετία ήταν € για το είδος Α και € για το είδος Β Δασοκτήμονας έχει στην κατοχή του δάσος έκτασης 90 Ηα. Τα 40 Ηα καλύπτονται από το δασοπονικό είδος Α και τα 50 Ηα από το δασοπονικό είδος Β. Στα 10 χρόνια που κατέχει το δάσος έχει διαθέσει συνολικά 800 ημέρες εργασίας για τη διαχείριση του Α είδους και 1500 ημέρες εργασίας για το Β είδος. Το συνολικό εισόδημα που εισέπραξε στη δεκαετία ήταν € για το είδος Α και € για το είδος Β Στόχος του Δασοκτήμονα είναι να μεγιστοποιήσει το εισόδημά του από τη διαχείριση του δάσους Στόχος του Δασοκτήμονα είναι να μεγιστοποιήσει το εισόδημά του από τη διαχείριση του δάσους Οι ημέρες εργασίας που μπορεί να διαθέσει για την διαχείριση του δάσους δεν πρέπει να ξεπερνούν τις 180 το χρόνο. Οι ημέρες εργασίας που μπορεί να διαθέσει για την διαχείριση του δάσους δεν πρέπει να ξεπερνούν τις 180 το χρόνο.

9 Παράδειγμα. Τα δεδομένα Πόροι προς χρήσηΔασοπονικ ό είδος Α Δασοπονικ ό είδος Β Διαθέσιμη Ποσότητα Εργασία (Ημέρες) 2 * 3 **180 Έδαφος Έκταση (Ηα) Κέρδος ανά μονάδα900 * €/έτος Ηα 1200 ** €/έτος Ηα * Εισόδημα ανά έτος και Ηα για το Α είδος: /10/40=900 ** Εισόδημα ανά έτος και Ηα για το Β είδος: /10/50 = 1200 *Ημέρες ανα έτος και Ηα για το Α είδος: 800/10/40 = 2 **Ημέρες ανα έτος και Ηα για το Β είδος: 1500/10/50 = 3

10 Παράδειγμα. Μοντελοποίηση Βήµα 1. Ποιες είναι οι μεταβλητές απόφασης; Βήµα 1. Ποιες είναι οι μεταβλητές απόφασης; Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο εισόδημα από τη διαχείριση των δυο δασοπονικών ειδών Α & Β) Έστω Χ 1 = έκταση σε Ηα του είδους Α Έστω Χ 2 = έκταση σε Ηα του είδους Β Έστω Χ 2 = έκταση σε Ηα του είδους Β

11 Παράδειγμα. Μοντελοποίηση Βήµα 2. Ποια είναι η αντικειμενική συνάρτηση; Βήµα 2. Ποια είναι η αντικειμενική συνάρτηση; Συνολικό εισόδημα (z) = εισόδημα από το είδος Α +εισόδημα από το είδος Β = (μονάδα απόδοσης από το είδος Α) * Ηα + (μονάδα απόδοσης από το είδος Β ) * Ηα = 900 * Χ * Χ 2 Συνολικό εισόδημα (z) = εισόδημα από το είδος Α +εισόδημα από το είδος Β = (μονάδα απόδοσης από το είδος Α) * Ηα + (μονάδα απόδοσης από το είδος Β ) * Ηα = 900 * Χ * Χ 2 Είδος βελτιστοποίησης : μεγιστοποίηση Αντικειμενική συνάρτηση: max z= 900* Χ *Χ 2

12 Παράδειγμα. Μοντελοποίηση Βήμα 3. Ποιοι είναι οι περιορισμοί; α) Διαθέσιμες ημέρες εργασίας: 180 ημέρες το χρόνο και για τα δυο είδη Για το είδος Α, απαιτούνται: 800/10/40=2 ημέρες εργασίας/έτος Ηα Για το είδος Α, απαιτούνται: 800/10/40=2 ημέρες εργασίας/έτος Ηα Για το είδος Β, απαιτούνται: 1500/10/50=3 ημέρες εργασίας/έτος Ηα Για το είδος Β, απαιτούνται: 1500/10/50=3 ημέρες εργασίας/έτος Ηα β) Διαθέσιμη έκταση 90 Ηα, 40 για το είδος Α και 50 για το Β Με μορφή εξισώσεων: 2 * Χ * Χ 2 <= 180επίσης ισχύει: Χ 1 = 0, Χ 2 >=0 Χ 1 = 0, Χ 2 >=0 Χ 2 <= 50 περιορισμοί Χ 2 <= 50 περιορισμοί µη αρνητικότητας µη αρνητικότητας

13 Η τελική μορφή του μοντέλου Max z =900 * Χ * Χ 2 Αντικειμενική συνάρτηση Περιορισμοί: 2 * Χ * Χ 2 <= 180 εργασία δασοκτήμονα Χ 1 <= 40έδαφος προς διαχείριση με το είδος Α Χ 2 <= 50 έδαφος προς διαχείριση με το είδος Β περιορισμοί µη αρνητικότητας: Χ 1 >= 0, Χ 2 >=0

14 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

15 2x1+3x2=180 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

16 2x 1 +3x 2 =180 X 1 =40 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

17 2x 1 +3x 2 =180 X 1 =40 X 2 =50 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

18 2x 1 +3x 2 =180 X 1 =40 X 2 =50 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

19 2x 1 +3x 2 =180 X 1 =40 X 2 =50 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

20 Κλίση ευθείας Αντικειμενικής συνάρτησης 900X Χ 2 =max X 1 /X 2 = 1200/900 = 4/3 2x 1 +3x 2 =180 X 1 =40 X 2 =50 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

21 2x 1 +3x 2 =180 X 1 =40 X 2 =50 Κλίση ευθείας Αντικειμενικής συνάρτησης 900X Χ 2 =max X 1 /X 2 = 1200/900 = 4/3 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

22 2x 1 +3x 2 =180 X 1 =40 X 2 =50 Κλίση ευθείας Αντικειμενικής συνάρτησης 900X Χ 2 =max X 1 /X 2 = 1200/900 = 4/3 ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

23 2x 1 +3x 2 =180 X 1 =40 X 2 =50 Κλίση ευθείας Αντικειμενικής συνάρτησης 900X Χ 2 =max X 1 /X 2 = 1200/900 = 4/3 Σύνολο δυνατών λύσεων: Πολύγωνο (0 α β γ δ) Το τυχαίο σημείο Μ δεν μπορεί να είναι η βέλτιστη λύση γιατί αν αυξηθεί το Χ 1 και μείνει σταθερό το Χ 2 θα αυξηθεί η αντικειμενική συνάρτηση. Άρα: Η βέλτιστη λύση θα βρίσκεται στα όρια του πολυγώνου (0 α β γ δ). Μ. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

24 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΛΥΣΕΩΝ

25

26 ΣημείαΕξισώσεις / τιμέςΧ1Χ1 Χ2Χ2 z=900*Χ *Χ 2 αΧ 1 =0, Χ 2 = βΧ 2 =50, 2Χ 1 +3Χ 2 = γΧ 1 =40, 2Χ 1 +3Χ 2 = , ,6 * δΧ 1 =40, Χ 2 = Χ 1 =0, Χ 2 =0000 * Το z γίνεται μέγιστο όταν ο δασοκτήμονας διαχειριστεί 40 Ηα για το είδος Α και 33,33 Ηα για το είδος Β Αλγεβρική λύση του μοντέλου

27 Λύση με το Lindo Αποτελεσματα: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) )

28 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY

29 ΤΟ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ Να λυθεί το πρόβλημα γραφικά και αλγεβρικά. Αγνοώντας τις τυχών αρνητικές δασοκομικές επιπτώσεις της μείωσης των καθαρισμών, να προτείνετε στο Δασοκτήμονα τι του συμφέρει από καθαρή οικονομική άποψη να κάνει. ΑΣΚΗΣΗ (Γραμμικού Προγραμματισμού) Ι ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δασοκτήμονας έχει στην κατοχή του δάσος έκτασης 90 Ηα. Τα 40 Ηα καλύπτονται από το δασοπονικό είδος Α και τα 50 Ηα από το δασοπονικό είδος Β. Στα 10 χρόνια που κατέχει το δάσος έχει διαθέσει συνολικά 800 ημέρες εργασίας για τη διαχείριση του Α είδους και 1500 ημέρες εργασίας για το Β είδος. Το συνολικό εισόδημα που εισέπραξε στη δεκαετία ήταν € για το είδος Α και € για το είδος Β ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Οι ημέρες εργασίας που μπορεί να διαθέσει για την διαχείριση του δάσους δεν πρέπει να ξεπερνούν τις 180 το χρόνο. Επίσης διαπίστωσε ότι αναλώνει τα 2/3 του χρόνου που διαθέτει για τη διαχείριση του δάσους σε καθαρισμούς και θέλει να περιορίσει το χρόνο των καθαρισμών σε λιγότερες από 70 ημέρες το χρόνο


Κατέβασμα ppt "Γραμμικός Προγραμματισμός. Tι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός Είναι τεχνική που ασχολείται µε το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων."

Παρόμοιες παρουσιάσεις


Διαφημίσεις Google