Γιώργος Κόσυβας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Α΄ Αθήνας Γιώργος Κόσυβας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Α΄ Αθήνας.

Παρουσίαση με θέμα: "Γιώργος Κόσυβας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Α΄ Αθήνας Γιώργος Κόσυβας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Α΄ Αθήνας."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Γιώργος Κόσυβας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Α΄ Αθήνας Γιώργος Κόσυβας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Α΄ Αθήνας

2 προτάσεις που παρουσιάζουν αντιξοότητες και δυσχέρειες Τα μαθηματικά προβλήματα είναι προτάσεις που παρουσιάζουν αντιξοότητες και δυσχέρειες και η λύση τους απαιτεί κατάλληλους συλλογισμούς και συνδυασμούς εμπειριών και γνώσεων των μαθητών. προβαλλόμενο εμπόδιο Πρόβλημα είναι κάθε περίπλοκη κατάσταση, κάθε προβαλλόμενο εμπόδιο που ανακόπτει την ομαλή πορεία και πρέπει να αρθεί. Η λύση δεν είναι προφανής ή εύκολη, αλλά κατά βάση υπάρχει διέξοδος. Το πρόβλημα συνδέεται με το μαθητή (υποκειμενικός χαρακτήρας) Το πρόβλημα συνδέεται με το μαθητή (υποκειμενικός χαρακτήρας) Τι είναι πρόβλημα;

3 η διαδικασία υπέρβασης των δυσκολιών Επίλυση προβλήματος είναι η διαδικασία υπέρβασης των δυσκολιών που εμποδίζουν την επίτευξη ενός στόχου. βασικό συστατικό του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών σε πολλές χώρες με άλλα γνωστικά πεδία, έννοιες, στρατηγικές και δεξιότητες Η λύση προβλήματος αποτελεί βασικό συστατικό του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών σε πολλές χώρες. Αυτό συμβαίνει επειδή η λύση προβλήματος μπορεί να συνδεθεί με άλλα γνωστικά πεδία, έννοιες, στρατηγικές και δεξιότητες. Η σημασία της λύσης προβλήματος

4 κεντρικό άξονα Μετά από τη Μεταρρύθμιση των Μοντέρνων Μαθηματικών, η επίλυση προβλήματος αποτελεί κατά βάση κεντρικό άξονα των σχολικών μαθηματικών σε διεθνές επίπεδο. καρδιά της μαθηματικής δραστηριότητας Κατά την τελευταία 30ετία η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων είναι η καρδιά της μαθηματικής δραστηριότητας. στοχασμό πάνω στις πρότερες εμπειρίες να βελτιώσουν την κατανόηση. Απαιτεί ενεργό διανοητική ενασχόληση, πνευματική εγρήγορση και στοχασμό πάνω στις πρότερες εμπειρίες ώστε οι μαθητές και οι μαθήτριες να σχηματίσουν νέες έννοιες και να βελτιώσουν την κατανόηση. κεντρικό άξονα Μετά από τη Μεταρρύθμιση των Μοντέρνων Μαθηματικών, η επίλυση προβλήματος αποτελεί κατά βάση κεντρικό άξονα των σχολικών μαθηματικών σε διεθνές επίπεδο. καρδιά της μαθηματικής δραστηριότητας Κατά την τελευταία 30ετία η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων είναι η καρδιά της μαθηματικής δραστηριότητας. στοχασμό πάνω στις πρότερες εμπειρίες να βελτιώσουν την κατανόηση. Απαιτεί ενεργό διανοητική ενασχόληση, πνευματική εγρήγορση και στοχασμό πάνω στις πρότερες εμπειρίες ώστε οι μαθητές και οι μαθήτριες να σχηματίσουν νέες έννοιες και να βελτιώσουν την κατανόηση. Επίλυση προβλήματος

5 Διερεύνηση και Επίλυση προβλήματος μετατόπιση στη μελέτη των νοητικών διεργασιών των μαθητών Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται μια μετατόπιση της μαθηματικής εκπαίδευσης από την εκμάθηση των αλγορίθμων και τύπων στη μελέτη των νοητικών διεργασιών των μαθητών όταν λύνουν προβλήματα. που έχουν νόημα Προεξάρχουσα σημασία έχει η επιλογή προβλημάτων από την καθημερινή ζωή που έχουν νόημα για τα παιδιά. ικανότητες Οι εκπαιδευτικοί αναθέτουν πρωτότυπα προβλήματα που ανταποκρίνονται στις ικανότητες των μαθητών. να διορθώσουν προβλήματα αξιολογήσουν πληροφορίες, να βρουν περισσότερες λύσεις Προτείνουν στους μαθητές να διορθώσουν προβλήματα, αξιολογήσουν πληροφορίες, να συμπληρώσουν προβλήματα, να βρουν περισσότερες λύσεις, να δημιουργήσουν τα δικά τους προβλήματα,… μετατόπιση στη μελέτη των νοητικών διεργασιών των μαθητών Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται μια μετατόπιση της μαθηματικής εκπαίδευσης από την εκμάθηση των αλγορίθμων και τύπων στη μελέτη των νοητικών διεργασιών των μαθητών όταν λύνουν προβλήματα. που έχουν νόημα Προεξάρχουσα σημασία έχει η επιλογή προβλημάτων από την καθημερινή ζωή που έχουν νόημα για τα παιδιά. ικανότητες Οι εκπαιδευτικοί αναθέτουν πρωτότυπα προβλήματα που ανταποκρίνονται στις ικανότητες των μαθητών. να διορθώσουν προβλήματα αξιολογήσουν πληροφορίες, να βρουν περισσότερες λύσεις Προτείνουν στους μαθητές να διορθώσουν προβλήματα, αξιολογήσουν πληροφορίες, να συμπληρώσουν προβλήματα, να βρουν περισσότερες λύσεις, να δημιουργήσουν τα δικά τους προβλήματα,…

6 Τα στάδια επίλυσης κάθε προβλήματος (Polya) Τα στάδια που πρέπει να διανυθούν για την επίλυση ενός προβλήματος είναι σε γενικές γραμμές τα ακόλουθα: κατανόηση η κατανόηση του προβλήματος (έχεις συναντήσει παρόμοιο, σε τι διαφέρει ), κατάστρωση ενός σχεδίου λύσης η κατάστρωση ενός σχεδίου λύσης (εύρεση της σωστής σχέσης ανάμεσα στα δεδομένα και τα ζητούμενα, εφαρμογή κατάλληλης στρατηγικής), η εκτέλεση του σχεδίου η εκτέλεση του σχεδίου (σωστός υπολογισμός του ζητούμενου) και τέλος ανασκόπηση και επανεξέταση ανασκόπηση και επανεξέταση (έχεις απαντήσει στο ερώτημα, είναι λογικές οι απαντήσεις;)

7 Κατηγοριοποίηση των προβλημάτων στη διδασκαλία των μαθηματικών Καταστάσεις-προβλήματα (situations-problèmes Η διδακτική προσέγγιση της πλειονότητας των μαθηματικών εννοιών επιτυγχάνεται καλύτερα μέσα από τη λύση προβλημάτων Καταστάσεις-προβλήματα (situations-problèmes) : Το μαθηματικό μοντέλο δεν δίνεται. Βίωση και ανακάλυψη νέων γνώσεων και σχηματισμός εννοιών μέσω προβλημάτων. Η διδακτική προσέγγιση της πλειονότητας των μαθηματικών εννοιών επιτυγχάνεται καλύτερα μέσα από τη λύση προβλημάτων. Προβλήματα ή ασκήσεις εφαρμογής Προβλήματα ή ασκήσεις εφαρμογής (το μαθηματικό μοντέλο είναι δεδομένο και το πρόβλημα είναι μέσον για την εξάσκηση, επανάληψη, επανεπένδυση ή εμπέδωση) Προβλήματα παιδαγωγικής αξιολόγησης Προβλήματα παιδαγωγικής αξιολόγησης (τι περίμενα, διάγνωση δυσκολιών, διαβάθμιση κατανόησης μαθητών) Προβλήματα μεταφοράς γνώσης, προβλήματα μοντελοποίησης Προβλήματα μεταφοράς γνώσης, προβλήματα μοντελοποίησης (εντός των μαθηματικών ή σε άλλα επιστημονικά πεδία) Aνοιχτά προβλήματα.. Aνοιχτά προβλήματα... (το μαθηματικό μοντέλο δεν είναι προφανές ούτε μοναδικό) Καταστάσεις-προβλήματα (situations-problèmes Η διδακτική προσέγγιση της πλειονότητας των μαθηματικών εννοιών επιτυγχάνεται καλύτερα μέσα από τη λύση προβλημάτων Καταστάσεις-προβλήματα (situations-problèmes) : Το μαθηματικό μοντέλο δεν δίνεται. Βίωση και ανακάλυψη νέων γνώσεων και σχηματισμός εννοιών μέσω προβλημάτων. Η διδακτική προσέγγιση της πλειονότητας των μαθηματικών εννοιών επιτυγχάνεται καλύτερα μέσα από τη λύση προβλημάτων. Προβλήματα ή ασκήσεις εφαρμογής Προβλήματα ή ασκήσεις εφαρμογής (το μαθηματικό μοντέλο είναι δεδομένο και το πρόβλημα είναι μέσον για την εξάσκηση, επανάληψη, επανεπένδυση ή εμπέδωση) Προβλήματα παιδαγωγικής αξιολόγησης Προβλήματα παιδαγωγικής αξιολόγησης (τι περίμενα, διάγνωση δυσκολιών, διαβάθμιση κατανόησης μαθητών) Προβλήματα μεταφοράς γνώσης, προβλήματα μοντελοποίησης Προβλήματα μεταφοράς γνώσης, προβλήματα μοντελοποίησης (εντός των μαθηματικών ή σε άλλα επιστημονικά πεδία) Aνοιχτά προβλήματα.. Aνοιχτά προβλήματα... (το μαθηματικό μοντέλο δεν είναι προφανές ούτε μοναδικό)

8 Οι δημοτικές αρχές τεσσάρων πόλεων αποφάσισαν να κατασκευάσουν ένα αεροδρόμιο, το οποίο θα εξυπηρετεί τις ανάγκες των κατοίκων τους. Να βρείτε τη βέλτιστη θέση για την κατασκευή του αεροδρομίου έτσι ώστε οι ανάγκες των τεσσάρων πόλεων να εξυπηρετούνται κατά δίκαιο τρόπο (Christou κ. ά., 2005). Ένα παράδειγμα ανοιχτού προβλήματος: “η κατασκευή του αεροδρομίου”

9 “βέλτιστη λύση” “κατά δίκαιο τρόπο”, διαφορετικές λογικές τοποθεσίες Στο πρόβλημα ο λύτης θα πρέπει να σκεφτεί τους όρους “βέλτιστη λύση” και “κατά δίκαιο τρόπο”, αλλά και με ποιο τρόπο θα τοποθετηθούν οι πόλεις. Η θέση του αεροδρομίου θα ισαπέχει από τις κορυφές του τετραπλεύρου; Θα ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα των αποστάσεων από αυτές; Όταν τα τελικά αποτελέσματα είναι ανοιχτά, τότε το πρόβλημα επιδέχεται πολλές σωστές απαντήσεις (Pehkonen, 1997). Στο πρόβλημα του αεροδρομίου υπάρχουν διαφορετικές λογικές τοποθεσίες (Christou κ. ά., 2005). διαφορετικά εργαλεία του GeoGebra η ερμηνεία της εκφώνησης είναι ανοιχτή. Η διαδικασία είναι ανοιχτή όταν υπάρχουν πολλαπλές σωστές στρατηγικές για την επίλυση του προβλήματος (Nohda, 2000). Για παράδειγμα, στο πρόβλημα του αεροδρομίου οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν διαφορετικά εργαλεία του GeoGebra για να λύσουν το πρόβλημα. Στο εν λόγω πρόβλημα η ερμηνεία της εκφώνησης είναι ανοιχτή. “βέλτιστη λύση” “κατά δίκαιο τρόπο”, διαφορετικές λογικές τοποθεσίες Στο πρόβλημα ο λύτης θα πρέπει να σκεφτεί τους όρους “βέλτιστη λύση” και “κατά δίκαιο τρόπο”, αλλά και με ποιο τρόπο θα τοποθετηθούν οι πόλεις. Η θέση του αεροδρομίου θα ισαπέχει από τις κορυφές του τετραπλεύρου; Θα ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα των αποστάσεων από αυτές; Όταν τα τελικά αποτελέσματα είναι ανοιχτά, τότε το πρόβλημα επιδέχεται πολλές σωστές απαντήσεις (Pehkonen, 1997). Στο πρόβλημα του αεροδρομίου υπάρχουν διαφορετικές λογικές τοποθεσίες (Christou κ. ά., 2005). διαφορετικά εργαλεία του GeoGebra η ερμηνεία της εκφώνησης είναι ανοιχτή. Η διαδικασία είναι ανοιχτή όταν υπάρχουν πολλαπλές σωστές στρατηγικές για την επίλυση του προβλήματος (Nohda, 2000). Για παράδειγμα, στο πρόβλημα του αεροδρομίου οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν διαφορετικά εργαλεία του GeoGebra για να λύσουν το πρόβλημα. Στο εν λόγω πρόβλημα η ερμηνεία της εκφώνησης είναι ανοιχτή. Σχόλιο για το πρόβλημα του αεροδρομίου

10 “Το πρόβλημα του αεροδρομίου” 4-point Fermat Frank Plastria (2005). 4-point Fermat location problems revisited. New proofs and extensions of old results http://server.math.uoc.gr/~tzanakis/Courses/EuclideanGeometry/Course-8.pdf Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M. & Pitta-Pantazi, D. (2005). Problem Solving and Problem Posing in a Dynamic Geometry Environment. The Montana Mathematics Enthusiast, 2(2), 125-143. Κεφ. 3 σελ. 58

11 ανοιχτής έρευνας δεν ξέρουν πώς να ξεκινήσουν. Στα Μαθηματικά ανοιχτό ονομάζεται ένα πρόβλημα που δεν έχει κλείσει, ένα πρόβλημα ανοιχτής έρευνας. Στη διδασκαλία οι μαθητές δεν ξέρουν πώς να ξεκινήσουν. Πρέπει πρώτα να σκεφτούν… μπορούν να κάνουν επιλογές στα δεδομένα, τις υποθέσεις, τη στρατηγική επίλυσης, Δεν αποτελεί πρόβλημα καθημερινής ρουτίνας της σχολικής τάξης, αλλά ασυνήθιστο πρόβλημα, στο οποίο οι μαθητές μπορούν να κάνουν επιλογές στα δεδομένα, τις υποθέσεις, τη στρατηγική επίλυσης, τους στόχους και να καταλήγουν σε διαφορετικά αποτελέσματα (Cifarelli & Cai, 2005). συζήτηση των λύσεων σε ολόκληρη την τάξη Με τη συζήτηση των λύσεων σε ολόκληρη την τάξη οι μαθητές δραστηριοποιούν τα μαθησιακά τους κίνητρα για τα Μαθηματικά, εξηγούν τη λύση στους συμμαθητές τους, κάνουν νέους εννοιολογικούς συσχετισμούς και αναπτύσσουν τη μαθηματική τους σκέψη. ανοιχτής έρευνας δεν ξέρουν πώς να ξεκινήσουν. Στα Μαθηματικά ανοιχτό ονομάζεται ένα πρόβλημα που δεν έχει κλείσει, ένα πρόβλημα ανοιχτής έρευνας. Στη διδασκαλία οι μαθητές δεν ξέρουν πώς να ξεκινήσουν. Πρέπει πρώτα να σκεφτούν… μπορούν να κάνουν επιλογές στα δεδομένα, τις υποθέσεις, τη στρατηγική επίλυσης, Δεν αποτελεί πρόβλημα καθημερινής ρουτίνας της σχολικής τάξης, αλλά ασυνήθιστο πρόβλημα, στο οποίο οι μαθητές μπορούν να κάνουν επιλογές στα δεδομένα, τις υποθέσεις, τη στρατηγική επίλυσης, τους στόχους και να καταλήγουν σε διαφορετικά αποτελέσματα (Cifarelli & Cai, 2005). συζήτηση των λύσεων σε ολόκληρη την τάξη Με τη συζήτηση των λύσεων σε ολόκληρη την τάξη οι μαθητές δραστηριοποιούν τα μαθησιακά τους κίνητρα για τα Μαθηματικά, εξηγούν τη λύση στους συμμαθητές τους, κάνουν νέους εννοιολογικούς συσχετισμούς και αναπτύσσουν τη μαθηματική τους σκέψη. Το ανοιχτό πρόβλημα

12 Ανοιχτά και κλειστά προβλήματα (PME, Pehkonen E.) 12

13 Ανοιχτό πρόβλημα και ανοιχτή προσέγγιση 13 Το ανοιχτό πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα που επιδέχεται πολλαπλές σωστές απαντήσεις ή μια σωστή απάντηση που εκφράζεται με διαφορετικούς τρόπους. ανοιχτή προσέγγιση Το ανοιχτό πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα που επιδέχεται πολλαπλές σωστές απαντήσεις ή μια σωστή απάντηση που εκφράζεται με διαφορετικούς τρόπους. Η ανοιχτή λύση προβλήματος βασίζεται στην έρευνα που πραγματοποιήθηκε από τον Shimada S., η οποία αποκαλείται "ανοιχτή προσέγγιση". Η ανοιχτή προσέγγιση ξεκίνησε τη δεκαετία του '70. εμπειρίες ανακάλυψης νέων τρόπων ανοιχτή επίλυση προβλήματος Η ανοιχτή προσέγγιση παρέχει στους μαθητές εμπειρίες ανακάλυψης νέων τρόπων (Shimada 1997). Από τότε, οι ιάπωνες εκπαιδευτικοί έχουν δοκιμάσει στη διδασκαλία τους πολλά ανοιχτά προβλήματα και σχέδια μαθήματος. Αυτά τα προβλήματα χρησιμοποιούνται στη διδασκαλία και σήμερα αποκαλούνται ανοιχτή επίλυση προβλήματος.

14 14 Becker, J., Shimada, S. (1997).

15 Ανοιχτό πρόβλημα και αιτιολόγηση 15 αξιολόγηση Τα ανοιχτά προβλήματα και οι αυθεντικές ή κατάλληλα κατασκευασμένες δραστηριότητες (π. χ. Pisa, TIMSS), προσφέρονται για την αξιολόγηση. "Απαντώντας σε ανοιχτά ερωτήματα, οι μαθητές καλούνται συχνά όχι μόνο να εκθέσουν την εργασία τους, αλλά και να εξηγήσουν πώς βρήκαν τις απαντήσεις τους ή γιατί επέλεξαν τη συγκεκριμένη μέθοδο". προχωρημένη μέθοδος Επιπλέον, η ανοιχτή επίλυση προβλήματος έχει θεωρηθεί ευρέως ως προχωρημένη μέθοδος διδασκαλίας των μαθηματικών στην Αμερική.

16 Συνόψιση των πλεονεκτημάτων των ανοιχτών προβλημάτων (Sawada, 1997). 16 υποστηρικτικό μαθησιακό περιβάλλον φιλοπερίεργοι Οι μαθητές εμπλέκονται ενεργά στα μαθήματα και εκφράζουν τις ιδέες τους συχνότερα. Η λύση ανοιχτών προβλημάτων παρέχει ένα ελεύθερο και υποστηρικτικό μαθησιακό περιβάλλον όπου η συνύπαρξη πολλών διαφορετικών σωστών λύσεων παρέχει στους μαθητές ευκαιρίες να διαμορφώσουν τη δική τους απάντηση. Επιπλέον, οι μαθητές είναι φιλοπερίεργοι για τις άλλες λύσεις, μπορούν να τις συγκρίνουν με τις δικές τους και να τις συζητήσουν. Επειδή μαθητές είναι πολύ ενεργοί, η μαθηματική συζήτηση στην τάξη είναι ενδιαφέρουσα. ευκαιρίες να αξιοποιήσουν με επιτυχία τις μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητές τους Δεδομένου ότι υπάρχουν πολλαπλές λύσεις, οι μαθητές μπορούν να επιλέξουν το δικό τους τρόπο προς την απάντηση και να επινοήσουν τη λύση τους. Οι μαθητές έχουν περισσότερες ευκαιρίες να αξιοποιήσουν με επιτυχία τις μαθηματικές γνώσεις και δεξιότητές τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν πολλαπλές λύσεις, οι μαθητές μπορούν να επιλέξουν το δικό τους τρόπο προς την απάντηση και να επινοήσουν τη λύση τους.

17 Συνόψιση των πλεονεκτημάτων των ανοιχτών προβλημάτων (Sawada, 1997). 17 διάφορες κατηγορίες μαθητών Υπάρχουν διάφορες κατηγορίες μαθητών σε μια τάξη μαθηματικών. Κάθε μαθητής μπορεί να καταγίνεται με το πρόβλημα με το δικό του προσωπικό τρόπο. Τα ανοιχτά προβλήματα παρέχουν σε κάθε μαθητή ιδιαίτερες ευκαιρίες. εμπειρίες μαθηματικού συλλογισμού και αιτιολόγησης να επιχειρηματολογήσουν Το μάθημα μπορεί να παρέχει στους μαθητές εμπειρίες μαθηματικού συλλογισμού και αιτιολόγησης. Η σύγκριση των διαφορετικών λύσεων και η συζήτηση πάνω σε αυτές παρακινεί τους μαθητές να επιχειρηματολογήσουν αναπτύσσοντας τη μαθηματική τους σκέψη. να βιώσουν την απόλαυση της έρευνας, τη χαρά της ανακάλυψης και την επιβράβευση των συμμαθητών τους ενδιαφέρεται για τη λύση των συμμαθητών του Προσφέρονται πλούσιες ευκαιρίες να βιώσουν την απόλαυση της έρευνας, τη χαρά της ανακάλυψης και την επιβράβευση των συμμαθητών τους. Δεδομένου ότι κάθε μαθητής σκέφτεται κατά μοναδικό τρόπο, ενδιαφέρεται για τη λύση των συμμαθητών του.

18 Τα γνωρίσματα ενός ανοιχτού προβλήματος από την ερευνητική ομάδα του IREM de Lyon εμπλοκή όλων των μαθητών Η εκφώνηση επιτρέπει την εμπλοκή όλων των μαθητών στη δραστηριότητα διερεύνησης και λύσης. σύντομη Η εκφώνηση θα πρέπει να είναι σύντομη. δεν «προδίδει» τη μέθοδο ή τη λύση Η εκφώνηση δεν «προδίδει» τη μέθοδο ή τη λύση. – Δεν υπάρχουν ερωτήσεις της μορφής «να αποδείξετε ότι». – Δεν υπάρχουν βοηθητικά ενδιάμεσα υποερωτήματα. – Δεν συνδέονται με τις έννοιες των τελευταίων μαθημάτων. εννοιολογικό πεδίο οικείο Το εννοιολογικό πεδίο θα πρέπει να είναι οικείο στους μαθητές. εμπλοκή όλων των μαθητών Η εκφώνηση επιτρέπει την εμπλοκή όλων των μαθητών στη δραστηριότητα διερεύνησης και λύσης. σύντομη Η εκφώνηση θα πρέπει να είναι σύντομη. δεν «προδίδει» τη μέθοδο ή τη λύση Η εκφώνηση δεν «προδίδει» τη μέθοδο ή τη λύση. – Δεν υπάρχουν ερωτήσεις της μορφής «να αποδείξετε ότι». – Δεν υπάρχουν βοηθητικά ενδιάμεσα υποερωτήματα. – Δεν συνδέονται με τις έννοιες των τελευταίων μαθημάτων. εννοιολογικό πεδίο οικείο Το εννοιολογικό πεδίο θα πρέπει να είναι οικείο στους μαθητές. 18

19 Πρώτο παράδειγμα (Β΄ Γυμνασίου) Ανοιχτή εκφώνηση Ανοιχτή εκφώνηση: Έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 2 εκατοστά και θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα δεύτερο με διπλάσιο εμβαδό. Μπορείς να βρεις μια μέθοδο να το κατασκευάσεις; Κλειστή εκφώνηση Κλειστή εκφώνηση: Έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 2 εκατοστά και θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα δεύτερο με διπλάσιο εμβαδό. Να διαπιστώσεις ότι η λύση θα βρεθεί αν πάρουμε ως πλευρά του δεύτερου ζητούμενου τετραγώνου τη διαγώνιο του πρώτου. Ανοιχτή εκφώνηση Ανοιχτή εκφώνηση: Έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 2 εκατοστά και θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα δεύτερο με διπλάσιο εμβαδό. Μπορείς να βρεις μια μέθοδο να το κατασκευάσεις; Κλειστή εκφώνηση Κλειστή εκφώνηση: Έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 2 εκατοστά και θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα δεύτερο με διπλάσιο εμβαδό. Να διαπιστώσεις ότι η λύση θα βρεθεί αν πάρουμε ως πλευρά του δεύτερου ζητούμενου τετραγώνου τη διαγώνιο του πρώτου. 19

20 Δεύτερο παράδειγμα (Γ΄ Γυμνασίου) Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ ισοπλεύρου τρίγωνου ΑΒΓ παίρνουμε τμήματα έτσι ώστε ΑΔ=ΒΕ=ΓΖ. Να διερευνήσετε το είδος του τριγώνου ΔΕΖ. Να αποδείξετε τον ισχυρισμό σας.

21 Τρίτο παράδειγμα (Α΄ Λυκείου) 21 Δίνεται ευθεία (ε) και δύο σημεία Α και Β προς το ίδιο μέρος της. Που θα τοποθετήσουμε σημείο Μ στην ευθεία (ε) έτσι ώστε η διαδρομή ΑΜ+ΜΒ να είναι η ελάχιστη δυνατή;

22 Αμφισβήτηση της παραδοσιακού ΑΠΣ Μαθηματικών Η καλλιέργεια Ερευνητικής στάσης Αμφισβήτηση της κυρίαρχης Επιστημολογίας των Μαθηματικών Η καλλιέργεια της κριτικής σκέψης στα Μαθηματικά Η ανάπτυξη της Δημιουργικής σκέψης Τα ανοιχτά προβλήματα στην τάξη των μαθηματικών Η ρήξη του “διδακτικού συμβολαίου” Πολυαισθητήρια Πολυλειτουργική μάθηση Πολλαπλή νοημοσύνη Μαθηματική συζήτηση σε ολόκληρη την τάξη, διαμάχη, ανταλλαγή επιχειρημάτων διαφορετικών ικανοτήτων ιεραρχίας Η ανάδειξη των διαφορετικών ικανοτήτων, ανακατάταξη της ιεραρχίας των μαθησιακών στόχων γνωστικών στυλ των μαθητών και γνωστικών στυλ των μαθητών, αξιολόγηση.

23 σκηνοθεσία Η σκηνοθεσία της ανοιχτής κατάστασης προβληματισμού Εκχώρηση διαφορετικότητες (π. χ. πολλαπλές στρατηγικές) Εκχώρηση ενός προβλήματος που αναδεικνύει διαφορετικότητες (π. χ. πολλαπλές στρατηγικές). Οι μαθητές χρησιμοποιούν συλλογισμό, επιχειρηματολογία και κριτική σκέψη για να βρουν τη λύση. εμβαθύνει στην κατανόηση γνώσεις, δεξιότητες και στάσεις. Η μαθησιακή διαδικασία εμβαθύνει στην κατανόηση και αναπτύσσει γνώσεις, δεξιότητες και στάσεις. μικρέςομάδες: από κοινού Η εργασία των παιδιών σε μικρές ομάδες: Οι μαθητές θα πρέπει από κοινού να προσδιορίσουν τη λύση, να την παρουσιάσουν και να υποστηρίξουν τις απαντήσεις τους. Εκχώρηση διαφορετικότητες (π. χ. πολλαπλές στρατηγικές) Εκχώρηση ενός προβλήματος που αναδεικνύει διαφορετικότητες (π. χ. πολλαπλές στρατηγικές). Οι μαθητές χρησιμοποιούν συλλογισμό, επιχειρηματολογία και κριτική σκέψη για να βρουν τη λύση. εμβαθύνει στην κατανόηση γνώσεις, δεξιότητες και στάσεις. Η μαθησιακή διαδικασία εμβαθύνει στην κατανόηση και αναπτύσσει γνώσεις, δεξιότητες και στάσεις. μικρέςομάδες: από κοινού Η εργασία των παιδιών σε μικρές ομάδες: Οι μαθητές θα πρέπει από κοινού να προσδιορίσουν τη λύση, να την παρουσιάσουν και να υποστηρίξουν τις απαντήσεις τους. 23

24 Καθώς μοιράζουμε μια χρηματική αξία τη διαιρούμε και λιγοστεύει. Η γνώση είναι η μόνη αξία που αυξάνει όταν τη μοιραζόμαστε. Ινδική παροιμία

25 Ο δάσκαλος πρέπει να ενθαρρύνει τους μαθητές στην υιοθέτηση «ενεργητικών μεθόδων» μάθησης. Βασικό εργαλείο προς την κατεύθυνση αυτή αποτελούν οι μαθησιακές δραστηριότητες που περιλαμβάνουν ερευνητικές εργασίες και εργασία σε μικρές ομάδες μαθητών (Βιβ. Εκπαιδ. Α΄ Γυμνασίου, 2007, σ. 32). Επιπλέον υπάρχουν 5 σχέδια εργασίας για συλλογική διερευνητική δουλειά των μαθητών με διαθεματικό περιεχόμενο …(στο ίδιο, σ. 34). Ο δάσκαλος πρέπει να ενθαρρύνει τους μαθητές στην υιοθέτηση «ενεργητικών μεθόδων» μάθησης. Βασικό εργαλείο προς την κατεύθυνση αυτή αποτελούν οι μαθησιακές δραστηριότητες που περιλαμβάνουν ερευνητικές εργασίες και εργασία σε μικρές ομάδες μαθητών (Βιβ. Εκπαιδ. Α΄ Γυμνασίου, 2007, σ. 32). Επιπλέον υπάρχουν 5 σχέδια εργασίας για συλλογική διερευνητική δουλειά των μαθητών με διαθεματικό περιεχόμενο …(στο ίδιο, σ. 34). Ομαδοσυνεργατικές δραστηριότητες (βιβλίο εκπαιδευτικού Α΄ Γυμνασίου)

26 ανοιχτά προβλήματα Με τον όρο «πρόβλημα» δεν εννοούμε μόνο τα γνωστά προβλήματα, αλλά και τα λεγόμενα «ανοιχτά προβλήματα». Γενικά θα ονομάζουμε ανοιχτό το πρόβλημα που μπορεί να ερμηνευτεί με πολλούς τρόπους και επομένως δέχεται διαφορετικές λύσεις… (στο ίδιο, σ. 33). ανοικτές δραστηριότητες Το να δίνουμε μερικές φορές στους μαθητές μας ανοικτές δραστηριότητες αντί για ασκήσεις των δύο ή τριών λεπτών, είναι ένα βήμα για τη μεταφορά της υπευθυνότητας της διαδικασίας της μάθησης από το δάσκαλο στο μαθητή (στο ίδιο, σ. 33). Εισαγωγικές δραστηριότητες στην τάξη που είναι «ανοιχτά προβλήματα» …(στο ίδιο, σ. 34). ανοιχτά προβλήματα Με τον όρο «πρόβλημα» δεν εννοούμε μόνο τα γνωστά προβλήματα, αλλά και τα λεγόμενα «ανοιχτά προβλήματα». Γενικά θα ονομάζουμε ανοιχτό το πρόβλημα που μπορεί να ερμηνευτεί με πολλούς τρόπους και επομένως δέχεται διαφορετικές λύσεις… (στο ίδιο, σ. 33). ανοικτές δραστηριότητες Το να δίνουμε μερικές φορές στους μαθητές μας ανοικτές δραστηριότητες αντί για ασκήσεις των δύο ή τριών λεπτών, είναι ένα βήμα για τη μεταφορά της υπευθυνότητας της διαδικασίας της μάθησης από το δάσκαλο στο μαθητή (στο ίδιο, σ. 33). Εισαγωγικές δραστηριότητες στην τάξη που είναι «ανοιχτά προβλήματα» …(στο ίδιο, σ. 34). Ανοιχτό πρόβλημα (βιβλίο εκπαιδευτικού Α΄ Γυμνασίου)

27 να ενθαρρύνει τη συνεργασία και την ομαδική Η δραστηριότητα στοχεύει να ενθαρρύνει τη συνεργασία και την ομαδική εργασία παροτρύνοντας τους μαθητές ή τις ομάδες των μαθητών σε πνευματικό, διανοητικό ανταγωνισμό… Οι δραστηριότητες αυτές δίνουν επιπλέον στο διδάσκοντα τη δυνατότητα να προκαλέσει τη συμμετοχή των μαθητών του στη διαδικασία της μάθησης μέσα στην τάξη ενθαρρύνοντας τη συνεργασία (Βιβ. Εκπαιδ. Γ΄ Γυμνασίου, 2007, σ. 9). εκπόνηση Διαθεματικών εργασιών οι οποίες αποτελούν πρόκληση για ομαδική έρευνα και συνεργασία …Προτείνονται ακόμη θέματα για την εκπόνηση Διαθεματικών εργασιών οι οποίες αποτελούν πρόκληση για ομαδική έρευνα και συνεργασία μεταξύ των μαθητών. (στο ίδιο, σ. 11). να ενθαρρύνει τη συνεργασία και την ομαδική Η δραστηριότητα στοχεύει να ενθαρρύνει τη συνεργασία και την ομαδική εργασία παροτρύνοντας τους μαθητές ή τις ομάδες των μαθητών σε πνευματικό, διανοητικό ανταγωνισμό… Οι δραστηριότητες αυτές δίνουν επιπλέον στο διδάσκοντα τη δυνατότητα να προκαλέσει τη συμμετοχή των μαθητών του στη διαδικασία της μάθησης μέσα στην τάξη ενθαρρύνοντας τη συνεργασία (Βιβ. Εκπαιδ. Γ΄ Γυμνασίου, 2007, σ. 9). εκπόνηση Διαθεματικών εργασιών οι οποίες αποτελούν πρόκληση για ομαδική έρευνα και συνεργασία …Προτείνονται ακόμη θέματα για την εκπόνηση Διαθεματικών εργασιών οι οποίες αποτελούν πρόκληση για ομαδική έρευνα και συνεργασία μεταξύ των μαθητών. (στο ίδιο, σ. 11). Ομαδοσυνεργατική λύση προβλήματος (βιβλίο εκπαιδευτικού Γ΄ Γυμνασίου) (βιβλίο εκπαιδευτικού Γ΄ Γυμνασίου)

28 Η ομαδοσυνεργατικ οργάνωση των μαθητών (Ολομέλεια & μικρο-ομάδες) βιωματικό, συναισθηματικό, κιναισθητικό, κοινωνικό, γνωστικό και ηθικό Η ομαδοσυνεργατική διδασκαλία βοηθά στην ολόπλευρη ανάπτυξη του μαθητή στους τομείς: βιωματικό, συναισθηματικό, κιναισθητικό, κοινωνικό, γνωστικό και ηθικό. “Η ομάδα είναι κάτι περισσότερο από το άθροισμα των επιμέρους ατόμων”. Μορφολογική Ψυχολογία

29 Η ατομική διερεύνηση Η ατομική διερεύνηση (κατανόηση του προβλήματος) (κατανόηση του προβλήματος) Η ομαδική διερεύνηση Η ομαδική διερεύνηση Η μαθηματική συζήτηση στην ολομέλεια της τάξης (υπεράσπιση ισχυρισμών) Η μαθηματική συζήτηση στην ολομέλεια της τάξης (υπεράσπιση ισχυρισμών) Η σύνθεση από τον εκπαιδευτικό Η σύνθεση από τον εκπαιδευτικό Η ατομική διερεύνηση Η ατομική διερεύνηση (κατανόηση του προβλήματος) (κατανόηση του προβλήματος) Η ομαδική διερεύνηση Η ομαδική διερεύνηση Η μαθηματική συζήτηση στην ολομέλεια της τάξης (υπεράσπιση ισχυρισμών) Η μαθηματική συζήτηση στην ολομέλεια της τάξης (υπεράσπιση ισχυρισμών) Η σύνθεση από τον εκπαιδευτικό Η σύνθεση από τον εκπαιδευτικό Οι 4 φάσεις της ομαδοσυνεργατικής δραστηριότητας των μαθητών Οι ενεργοί μαθητές αναλαμβάνουν το έργο της μάθησης. Δεν αποφασίζει μόνο ο δάσκαλος τι είναι σωστό ή λάθος.

30 Κινητοποίηση των μαθητών από τον εκπαιδευτικό. Διανοητική και συναισθηματική προετοιμασία. Διευκρίνιση του συμβολαίου. εκφώνηση ένα φύλλο κατά ομάδα Η εκφώνηση του προβλήματος μοιράζεται στους μαθητές (ένα φύλλο κατά ομάδα). φροντίζοντας να μη μετατρέψει την ανοιχτή προβληματική κατάσταση σε κλειστή Ο εκπαιδευτικός επισκέπτεται διαδοχικά τις ομάδες φροντίζοντας να μη μετατρέψει την ανοιχτή προβληματική κατάσταση σε κλειστή. κατανόηση του προβλήματος Αν πολλοί μαθητές έχουν δυσκολίες με την κατανόηση του προβλήματος, γίνεται συζήτηση σε όλη την τάξη. ευθύνη Οι μαθητές πριν αρχίσουν τη δουλειά θα πρέπει να έχουν κατανοήσει τόσο το πρόβλημα όσο και την ευθύνη που τους ανατέθηκε. δοκιμές και επαληθεύσεις πρώτη αναπαράσταση Οι μαθητές διερευνούν το πρόβλημα και κάνουν ατομικές δοκιμές και επαληθεύσεις και σχηματίζουν μια πρώτη αναπαράσταση του προβλήματος. Κινητοποίηση των μαθητών από τον εκπαιδευτικό. Διανοητική και συναισθηματική προετοιμασία. Διευκρίνιση του συμβολαίου. εκφώνηση ένα φύλλο κατά ομάδα Η εκφώνηση του προβλήματος μοιράζεται στους μαθητές (ένα φύλλο κατά ομάδα). φροντίζοντας να μη μετατρέψει την ανοιχτή προβληματική κατάσταση σε κλειστή Ο εκπαιδευτικός επισκέπτεται διαδοχικά τις ομάδες φροντίζοντας να μη μετατρέψει την ανοιχτή προβληματική κατάσταση σε κλειστή. κατανόηση του προβλήματος Αν πολλοί μαθητές έχουν δυσκολίες με την κατανόηση του προβλήματος, γίνεται συζήτηση σε όλη την τάξη. ευθύνη Οι μαθητές πριν αρχίσουν τη δουλειά θα πρέπει να έχουν κατανοήσει τόσο το πρόβλημα όσο και την ευθύνη που τους ανατέθηκε. δοκιμές και επαληθεύσεις πρώτη αναπαράσταση Οι μαθητές διερευνούν το πρόβλημα και κάνουν ατομικές δοκιμές και επαληθεύσεις και σχηματίζουν μια πρώτη αναπαράσταση του προβλήματος. Η φάση της ατομικής διερεύνησης (περίπου 5 min)

31 βιωματικής-επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης εικασίες, μαθηματικές εμπειρίες, συνερευνούν ιδέες και επιχειρήματα Τα μέλη κάθε ομάδας μέσω βιωματικής-επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης διατυπώνουν και ελέγχουν εικασίες, ανταλλάσσουν μαθηματικές εμπειρίες, συνερευνούν και μοιράζονται ιδέες και επιχειρήματα. να ετοιμαστούν για τη συζήτηση. Τα παιδιά έχουν την ευκαιρία να εργαστούν πάνω στο πρόβλημα χωρίς διαρκή καθοδήγηση και να ετοιμαστούν για τη συζήτηση. αιτιολογημένη λύση κοινή τεκμηρίωση της λύσης γράφουν διαφάνεια εργασίας Σκοπός του έργου κάθε ομάδας είναι να συμφωνήσουν σε μια αιτιολογημένη λύση του προβλήματος. Την κοινή τεκμηρίωση της λύσης γράφουν πάνω σε μια διαφάνεια εργασίας (σε ένα χαρτόνι κανσόν, ή σε μια μεγάλη αφίσα). σταματούν και να σκέφτονται Όταν τα παιδιά της ομάδας γράφουν, μπορούν να σταματούν και να σκέφτονται. Ο διδάσκων καλλιεργεί την προσδοκία ότι οι μαθητές θα τα καταφέρουν. βιωματικής-επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης εικασίες, μαθηματικές εμπειρίες, συνερευνούν ιδέες και επιχειρήματα Τα μέλη κάθε ομάδας μέσω βιωματικής-επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης διατυπώνουν και ελέγχουν εικασίες, ανταλλάσσουν μαθηματικές εμπειρίες, συνερευνούν και μοιράζονται ιδέες και επιχειρήματα. να ετοιμαστούν για τη συζήτηση. Τα παιδιά έχουν την ευκαιρία να εργαστούν πάνω στο πρόβλημα χωρίς διαρκή καθοδήγηση και να ετοιμαστούν για τη συζήτηση. αιτιολογημένη λύση κοινή τεκμηρίωση της λύσης γράφουν διαφάνεια εργασίας Σκοπός του έργου κάθε ομάδας είναι να συμφωνήσουν σε μια αιτιολογημένη λύση του προβλήματος. Την κοινή τεκμηρίωση της λύσης γράφουν πάνω σε μια διαφάνεια εργασίας (σε ένα χαρτόνι κανσόν, ή σε μια μεγάλη αφίσα). σταματούν και να σκέφτονται Όταν τα παιδιά της ομάδας γράφουν, μπορούν να σταματούν και να σκέφτονται. Ο διδάσκων καλλιεργεί την προσδοκία ότι οι μαθητές θα τα καταφέρουν. Η φάση της ομαδικής διερεύνησης: Αφήνουμε τα ηνία στους μαθητές (συμπλήρωση της πρώτης διδακτικής ώρας) (συμπλήρωση της πρώτης διδακτικής ώρας) 31

32 πρώτη διαφάνεια σε ολόκληρη την τάξη Ο εκπαιδευτικός επιλέγει την πρώτη διαφάνεια και την προβάλει με το διαφανοσκόπιο σε ολόκληρη την τάξη. Οι μαθητές διαβάζουν προσεκτικά το περιεχόμενό της. επιχειρήματα κάθε ομάδας Ο εκπαιδευτικός γράφει στον πίνακα τα επιχειρήματα κάθε ομάδας (απαντήσεις “υπέρ” και “κατά”). εγκυρότητα των συλλογισμών που ξετυλίγονταιπειστικότητα των επιχειρημάτων Η “διαμάχη” διεξάγεται πάνω στην ορθότητα της προτεινόμενης λύσης, την εγκυρότητα των συλλογισμών που ξετυλίγονται και την πειστικότητα των επιχειρημάτων. πρώτη διαφάνεια σε ολόκληρη την τάξη Ο εκπαιδευτικός επιλέγει την πρώτη διαφάνεια και την προβάλει με το διαφανοσκόπιο σε ολόκληρη την τάξη. Οι μαθητές διαβάζουν προσεκτικά το περιεχόμενό της. επιχειρήματα κάθε ομάδας Ο εκπαιδευτικός γράφει στον πίνακα τα επιχειρήματα κάθε ομάδας (απαντήσεις “υπέρ” και “κατά”). εγκυρότητα των συλλογισμών που ξετυλίγονταιπειστικότητα των επιχειρημάτων Η “διαμάχη” διεξάγεται πάνω στην ορθότητα της προτεινόμενης λύσης, την εγκυρότητα των συλλογισμών που ξετυλίγονται και την πειστικότητα των επιχειρημάτων. Η φάση της μαθηματικής συζήτησης στην ολομέλεια (δεύτερη διδακτική ώρα) 32

33 Πρωταγωνιστές οι μαθητές: κατάργηση της έδρας και παραχώρηση «εξουσίας» το δικό τους λόγο Διαμορφώνουμε προϋποθέσεις έτσι ώστε οι έφηβοι να αρθρώσουν το δικό τους λόγο. «Η τάξη θα αποφασίσει ποια από τις ιδέες είναι έγκυρες και σωστές και ποιες είναι λάθος». «Εσείς θα κρίνετε ποιες απόψεις θα δεχθείτε και ποιες θα απορρίψετε, αναλογιστείτε …». μέσα σε συνθήκες ισότιμων σχέσεων επικοινωνίας και συνεργασίας Η ανάπτυξη του αυτόνομου, ενεργού και υπεύθυνου δημοκρατικού πολίτη συντελείται μέσα σε συνθήκες ισότιμων σχέσεων επικοινωνίας και συνεργασίας. Υπεράσπιση του περιεχομένου, σύγκριση διάφορων εκδοχών, ανασκευή, φιλτράρισμα, πειστική τεκμηρίωση, λογική συνοχή, ακρίβεια, συνέπεια, σεβασμός κανόνων υπεύθυνης συζήτησης κλπ. το δικό τους λόγο Διαμορφώνουμε προϋποθέσεις έτσι ώστε οι έφηβοι να αρθρώσουν το δικό τους λόγο. «Η τάξη θα αποφασίσει ποια από τις ιδέες είναι έγκυρες και σωστές και ποιες είναι λάθος». «Εσείς θα κρίνετε ποιες απόψεις θα δεχθείτε και ποιες θα απορρίψετε, αναλογιστείτε …». μέσα σε συνθήκες ισότιμων σχέσεων επικοινωνίας και συνεργασίας Η ανάπτυξη του αυτόνομου, ενεργού και υπεύθυνου δημοκρατικού πολίτη συντελείται μέσα σε συνθήκες ισότιμων σχέσεων επικοινωνίας και συνεργασίας. Υπεράσπιση του περιεχομένου, σύγκριση διάφορων εκδοχών, ανασκευή, φιλτράρισμα, πειστική τεκμηρίωση, λογική συνοχή, ακρίβεια, συνέπεια, σεβασμός κανόνων υπεύθυνης συζήτησης κλπ.

34 Φάση της κοινής συζήτησης στην ολομέλεια της τάξης συνόψιση των σκέψεων και των αποφάσεων Η συνεργασία μικρές ομάδες ολοκληρώνεται με τη συζήτηση σε ολόκληρη την τάξη, αφού κάθε παρουσίαση προϋποθέτει τη συνόψιση των σκέψεων και των αποφάσεων των μελών της. ενώ δέχονται τις εξηγήσεις του δασκάλου χωρίς να τις εξετάζουν Στη φάση αυτή μιλούν και αιτιολογούν μόνο οι μαθητές. Συνήθως αμφισβητούν τους συμμαθητές τους, ενώ δέχονται τις εξηγήσεις του δασκάλου χωρίς να τις εξετάζουν (θεσμική εξουσία) περισσότερο διεισδυτικά ερωτήματα Ταυτόχρονα, όμως, ενεργοποιούνται νέες συνομιλίες στις μικρές ομάδες, νέα και περισσότερο διεισδυτικά ερωτήματα και πληρέστερα επιχειρήματα. κριτικές αναλύσεις Τα Χαρτόνια Εργασίας προκαλούν ωριμότερες διαβουλεύσεις και κριτικές αναλύσεις και συμβάλλουν στην αλληλομόρφωση. συνόψιση των σκέψεων και των αποφάσεων Η συνεργασία μικρές ομάδες ολοκληρώνεται με τη συζήτηση σε ολόκληρη την τάξη, αφού κάθε παρουσίαση προϋποθέτει τη συνόψιση των σκέψεων και των αποφάσεων των μελών της. ενώ δέχονται τις εξηγήσεις του δασκάλου χωρίς να τις εξετάζουν Στη φάση αυτή μιλούν και αιτιολογούν μόνο οι μαθητές. Συνήθως αμφισβητούν τους συμμαθητές τους, ενώ δέχονται τις εξηγήσεις του δασκάλου χωρίς να τις εξετάζουν (θεσμική εξουσία) περισσότερο διεισδυτικά ερωτήματα Ταυτόχρονα, όμως, ενεργοποιούνται νέες συνομιλίες στις μικρές ομάδες, νέα και περισσότερο διεισδυτικά ερωτήματα και πληρέστερα επιχειρήματα. κριτικές αναλύσεις Τα Χαρτόνια Εργασίας προκαλούν ωριμότερες διαβουλεύσεις και κριτικές αναλύσεις και συμβάλλουν στην αλληλομόρφωση.

35 έλεγχος της των διαδικασιών τεκμηρίωσης και αιτιολόγησης Στο τέλος γίνεται επαλήθευση των αποτελεσμάτων, έλεγχος της των διαδικασιών τεκμηρίωσης και αιτιολόγησης, των κριτηρίων εγκυρότητας και των κανόνων της συζήτησης. σύνθεση της δραστηριότητας της τάξης Ο εκπαιδευτικός συνοψίζει τις στρατηγικές, τα επιχειρήματα, τα συμπεράσματα από τις λύσεις που εκτέθηκαν, κάνει σύνθεση της δραστηριότητας της τάξης. Εννοείται ότι μπορούν να συμμετέχουν και οι μαθητές. αναστοχασμός Στη φάση αυτή ο αναστοχασμός και η αναθεώρηση των λαθών από τους ίδιους τους μαθητές είναι θεμελιώδης. η επιμονή στην ολοκλήρωση του έργου, η συνεργασία Επίσης σχολιάζονται: η υπευθυνότητα, η επιμονή στην ολοκλήρωση του έργου, η συνεργασία, κλπ. έλεγχος της των διαδικασιών τεκμηρίωσης και αιτιολόγησης Στο τέλος γίνεται επαλήθευση των αποτελεσμάτων, έλεγχος της των διαδικασιών τεκμηρίωσης και αιτιολόγησης, των κριτηρίων εγκυρότητας και των κανόνων της συζήτησης. σύνθεση της δραστηριότητας της τάξης Ο εκπαιδευτικός συνοψίζει τις στρατηγικές, τα επιχειρήματα, τα συμπεράσματα από τις λύσεις που εκτέθηκαν, κάνει σύνθεση της δραστηριότητας της τάξης. Εννοείται ότι μπορούν να συμμετέχουν και οι μαθητές. αναστοχασμός Στη φάση αυτή ο αναστοχασμός και η αναθεώρηση των λαθών από τους ίδιους τους μαθητές είναι θεμελιώδης. η επιμονή στην ολοκλήρωση του έργου, η συνεργασία Επίσης σχολιάζονται: η υπευθυνότητα, η επιμονή στην ολοκλήρωση του έργου, η συνεργασία, κλπ. Η φάση της σύνθεσης από τον εκπαιδευτικό (προς το τέλος της δεύτερης διδακτικής ώρας) Η φάση της σύνθεσης από τον εκπαιδευτικό (προς το τέλος της δεύτερης διδακτικής ώρας)

36 εμψύχωση των μαθηματικών αλληλεπιδράσεων στη σχολική τάξη γόνιμη ανταλλαγή σκέψεων εθιμικών κανόνων της μικροκουλτούρας της κάθε τάξης Ο ρόλος του δασκάλου στο ομαδοσυνεργατικό πλαίσιο διδασκαλίας και μάθησης συνίσταται κατά βάση στην εμψύχωση των μαθηματικών αλληλεπιδράσεων στη σχολική τάξη: κύριο μέλημά του είναι η δημιουργία κλίματος καλοπροαίρετης συζήτησης μεταξύ των μαθητών, η ενθάρρυνσή τους για γόνιμη ανταλλαγή σκέψεων πάνω στο πρόβλημα, η παρότρυνσή τους για κοινή διερεύνηση και συναποδοχή νοημάτων. Όλα αυτά συλλειτουργούν στο πλαίσιο των εθιμικών κανόνων της μικροκουλτούρας της κάθε τάξης. ακούει προσεκτικά θέτουν και τεκμηριώνουν εικασίες, στοχάζονται και παίρνουν αποφάσεις Από τη μια πλευρά, ακούει προσεκτικά ενθαρρύνει μαθησιακές καταστάσεις όπου οι μαθητές συνεργάζονται "χωρίς" το δάσκαλο, κάνουν δοκιμές και επαληθεύσεις, θέτουν και τεκμηριώνουν εικασίες, στοχάζονται και παίρνουν αποφάσεις, συμβάλλοντας στην έρευνα και την κατασκευή των δικών τους γνώσεων. συντονίζει τις μαθηματικές συζητήσεις σε ολόκληρη την τάξη Από την άλλη συντονίζει τις μαθηματικές συζητήσεις σε ολόκληρη την τάξη όπου οι μαθητές συζητούν, μοιράζονται ιδέες και προβάλλουν επιχειρήματα για να πείσουν τους συμμαθητές τους για την ορθότητα των ισχυρισμών τους. εμψύχωση των μαθηματικών αλληλεπιδράσεων στη σχολική τάξη γόνιμη ανταλλαγή σκέψεων εθιμικών κανόνων της μικροκουλτούρας της κάθε τάξης Ο ρόλος του δασκάλου στο ομαδοσυνεργατικό πλαίσιο διδασκαλίας και μάθησης συνίσταται κατά βάση στην εμψύχωση των μαθηματικών αλληλεπιδράσεων στη σχολική τάξη: κύριο μέλημά του είναι η δημιουργία κλίματος καλοπροαίρετης συζήτησης μεταξύ των μαθητών, η ενθάρρυνσή τους για γόνιμη ανταλλαγή σκέψεων πάνω στο πρόβλημα, η παρότρυνσή τους για κοινή διερεύνηση και συναποδοχή νοημάτων. Όλα αυτά συλλειτουργούν στο πλαίσιο των εθιμικών κανόνων της μικροκουλτούρας της κάθε τάξης. ακούει προσεκτικά θέτουν και τεκμηριώνουν εικασίες, στοχάζονται και παίρνουν αποφάσεις Από τη μια πλευρά, ακούει προσεκτικά ενθαρρύνει μαθησιακές καταστάσεις όπου οι μαθητές συνεργάζονται "χωρίς" το δάσκαλο, κάνουν δοκιμές και επαληθεύσεις, θέτουν και τεκμηριώνουν εικασίες, στοχάζονται και παίρνουν αποφάσεις, συμβάλλοντας στην έρευνα και την κατασκευή των δικών τους γνώσεων. συντονίζει τις μαθηματικές συζητήσεις σε ολόκληρη την τάξη Από την άλλη συντονίζει τις μαθηματικές συζητήσεις σε ολόκληρη την τάξη όπου οι μαθητές συζητούν, μοιράζονται ιδέες και προβάλλουν επιχειρήματα για να πείσουν τους συμμαθητές τους για την ορθότητα των ισχυρισμών τους. Ο εκπαιδευτικός ως διευκολυντής και ενεργός ακροατής

37 ποικιλία στρατηγικών 1.Ανοιχτά προβλήματα με ποικιλία στρατηγικών (ή μια πρωτότυπη στρατηγική) με πολλά σωστά αποτελέσματα 2.Ανοιχτά προβλήματα με πολλά σωστά αποτελέσματα ανοιχτή ερμηνεία της εκφώνησης 3.Ανοιχτά προβλήματα με ανοιχτή ερμηνεία της εκφώνησης 4.Ανοιχτά προβλήματα-γρίφοι 4.Ανοιχτά προβλήματα-γρίφοι που απαιτούν αποκόλληση από την πρώτη αντίληψη και αλλαγή οπτικής γωνίας ποικιλία στρατηγικών 1.Ανοιχτά προβλήματα με ποικιλία στρατηγικών (ή μια πρωτότυπη στρατηγική) με πολλά σωστά αποτελέσματα 2.Ανοιχτά προβλήματα με πολλά σωστά αποτελέσματα ανοιχτή ερμηνεία της εκφώνησης 3.Ανοιχτά προβλήματα με ανοιχτή ερμηνεία της εκφώνησης 4.Ανοιχτά προβλήματα-γρίφοι 4.Ανοιχτά προβλήματα-γρίφοι που απαιτούν αποκόλληση από την πρώτη αντίληψη και αλλαγή οπτικής γωνίας Απόπειρα ταξινόμησης των ανοιχτών προβλημάτων

38 1. Ανοιχτά προβλήματα με ποικιλία στρατηγικών Ανοιχτό πρόβλημα: Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο Ο. Να αποδείξετε με όσους περισσότερους τρόπους μπορείτε ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΒΟΓ έχουν ίσα εμβαδά. τρέφει τη δημιουργικότητα και την περιέργεια. Σχόλιο: Ο πλούτος που αναδεικνύεται μέσα από τη διαδικασία της μαθηματικής ανακάλυψης και της ενεργητικής εμπλοκής τρέφει τη δημιουργικότητα και την περιέργεια.

39 39 Να κατασκευάσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα με μήκος σε εκατοστά όσο η τετραγωνική ρίζα του 2 1. Ανοιχτά προβλήματα με ποικιλία στρατηγικών

40 Ανοιχτό πρόβλημα: (Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου, σελ. 209, αναπροσαρμογή) Οι τεχνίτες θα πρέπει να τοποθετήσουν μια κολώνα φωτισμού στο κέντρο ενός κυκλικού σιντριβανιού. Όμως το κέντρο έχει χαθεί. Μπορείτε να τους βοηθήσετε να προσδιορίσουν το κέντρο του κυκλικού σιντριβανιού; 1. Ανοιχτά προβλήματα με ποικιλία στρατηγικών

41 Ανοιχτό πρόβλημα 10 (Β΄ Λυκείου, Κατεύθυνση, αξιοποίηση ΤΠΕ) Ο γνώμονας ΑΒΓ τοποθετείται κατά τέτοιο τρόπο ώστε το σημείο Β να βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα των τετμημένων και το Γ στον θετικό ημιάξονα των τεταγμένων. Μετακινούμε το γνώμονα ώστε τα Β και Γ να “γλιστρούν” στους άξονες. Με ποιο τρόπο μετακινείται το σημείο Α; 1. Ανοιχτά προβλήματα με ποικιλία στρατηγικών

42

43 Δύο ευθείες ε 1 και ε 2 τέμνονται στο εξωτερικό του φύλλου σχεδίασης σε ένα σημείο Ο. Να βρεις μια μέθοδο να χαράξεις τη διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι ε1 και ε2 χωρίς να βγεις έξω από το φύλλο σχεδίασης. Δύο ευθείες ε 1 και ε 2 τέμνονται στο εξωτερικό του φύλλου σχεδίασης σε ένα σημείο Ο. Να βρεις μια μέθοδο να χαράξεις τη διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι ε1 και ε2 χωρίς να βγεις έξω από το φύλλο σχεδίασης. 1. Ανοιχτά προβλήματα με ποικιλία στρατηγικών

44 Διαγωνισμός Pisa 2000 (15χρονοι σε 57 χώρες) α) Συμπληρώστε τα στοιχεία που λείπουν στον παραπάνω πίνακα. Στη συνέχεια να γενικεύσετε το πρόβλημα δίνοντας το πλήθος των δέντρων μηλιάς και το πλήθος των κυπαρισσιών για ν σειρές από μηλιές β) Υπάρχει μια τιμή του ν, για την οποία το πλήθος των δέντρων μηλιάς ισούται με το πλήθος των κυπαρισσιών. Να βρείτε αυτήν την τιμή του ν και να περιγράψετε τον τρόπο, με τον οποίο την υπολογίσατε. γ) Ας υποθέσουμε ότι ο αγρότης μεγαλώνει συνέχεια το περιβόλι του προσθέτοντας συνεχώς σειρές δέντρων. Ενώ ο αγρότης μεγαλώνει το περιβόλι του προσθέτοντας σειρές, θα χρειαστεί περισσότερες μηλιές ή κυπαρίσσια; Γράψτε παρακάτω τον τρόπο με τον οποίο βρήκατε την απάντησή σας. Ένας αγρότης θέλει να φυτέψει μηλιές σε σειρές και σε τετράγωνο σχήμα. Σκέφτεται να προστατέψει τις μηλιές από τον αέρα, περιφράζοντάς τες με κυπαρίσσια. Στα παρακάτω διαγράμματα βλέπουμε τη διάταξη των δέντρων, όπως τα φαντάζεται ο αγρότης. Κάθε διάγραμμα περιλαμβάνει διαφορετικές σειρές από μηλιές. (ν = σειρές από μηλιές)

45 2. Ανοιχτά προβλήματα με πολλά σωστά αποτελέσματα Ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι 48 m 3 και οι διαστάσεις του είναι ακέραιοι αριθμοί. Ποιες θα μπορούσαν να είναι οι διαστάσεις του; Να βρείτε όλες τις δυνατές λύσεις.

46 3. Ανοιχτά προβλήματα με ανοιχτή ερμηνεία της εκφώνησης Πώς μπορείς να γεμίσεις πιο αποτελεσματικά ένα κουτί με αντικείμενα του ίδιου σχήματος; Πόσα κύτταρα υπάρχουν κατά μέσο όρο στο σώμα ενός ενήλικου άνδρα; 3. Ανοιχτά προβλήματα με ανοιχτή ερμηνεία της εκφώνησης Πώς μπορείς να γεμίσεις πιο αποτελεσματικά ένα κουτί με αντικείμενα του ίδιου σχήματος; Πόσα κύτταρα υπάρχουν κατά μέσο όρο στο σώμα ενός ενήλικου άνδρα;

47 3. Ανοιχτά προβλήματα με ανοιχτή ερμηνεία της εκφώνησης 3. Ανοιχτά προβλήματα με ανοιχτή ερμηνεία της εκφώνησης Παράδειγμα: (Βιβλίο καθηγητή Γεωμετρίας Λυκείου, σελ. 55) Δίνονται τρία σημεία Α, Β, Γ, μη συνευθειακά. Να βρείτε σημείο Σ του επιπέδου, ώστε τα τρίγωνα ΣΑΒ και ΣΒΓ να είναι ισοσκελή. Δύο ομάδες της Α΄ Λυκείου έδωσαν τις ακόλουθες λύσεις:

48 Πρώτη ερμηνεία (ομάδα Α): Το σημείο Σ ορίζεται ως σημείο τομής των μεσοκαθέτων των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΒΓ. Επειδή το Σ είναι σημείο της μεσοκαθέτου η 1, θα ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Επομένως το τρίγωνο ΣΑΒ είναι ισοσκελές. Ομοίως το τρίγωνο ΣΒΓ είναι ισοσκελές. Δεύτερη ερμηνεία (ομάδα Β): Το σημείο Σ ορίζεται ως το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων (Α, ΑΒ) και (Γ, ΓΒ). Επειδή ΑΒ=ΑΣ (ακτίνες του ίδιου κύκλου), το τρίγωνο ΑΒΣ είναι ισοσκελές. Ομοίως το τρίγωνο ΒΓΣ είναι ισοσκελές

49 4. Ανοιχτά προβλήματα-γρίφοι που απαιτούν αποκόλληση από την πρώτη αντίληψη και αλλαγή οπτικής γωνίας Τοποθετήστε εννέα σπίρτα έτσι ώστε να σχηματίζουν τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα, όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Να βρείτε τρόπο να σχηματίσετε τέσσερα τρίγωνα ίδιου σχήματος και ίσου μεγέθους με αυτό που έχετε, χρησιμοποιώντας μόνο έξι σπίρτα. Μπορείτε να ενώσετε τις τελείες στο διπλανό σχήμα με τέσσερις μόνο ευθείες χωρίς να σηκώσετε το μολύβι σας; Με μια τεθλασμένη (πολυγωνική) γραμμή που έχει 6 ευθύγραμμα τμήματα ενώστε τέσσερις τετράδες σημείων που είναι τοποθετημένα σε σχήμα τετραγώνου. Μπορείτε; 4. Ανοιχτά προβλήματα-γρίφοι που απαιτούν αποκόλληση από την πρώτη αντίληψη και αλλαγή οπτικής γωνίας Τοποθετήστε εννέα σπίρτα έτσι ώστε να σχηματίζουν τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα, όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Να βρείτε τρόπο να σχηματίσετε τέσσερα τρίγωνα ίδιου σχήματος και ίσου μεγέθους με αυτό που έχετε, χρησιμοποιώντας μόνο έξι σπίρτα. Μπορείτε να ενώσετε τις τελείες στο διπλανό σχήμα με τέσσερις μόνο ευθείες χωρίς να σηκώσετε το μολύβι σας; Με μια τεθλασμένη (πολυγωνική) γραμμή που έχει 6 ευθύγραμμα τμήματα ενώστε τέσσερις τετράδες σημείων που είναι τοποθετημένα σε σχήμα τετραγώνου. Μπορείτε;

50 Πώς μπορούμε να αξιοποιήσουμε τα ανοιχτά προβλήματα στη διδασκαλία των Μαθηματικών Κατά τη διδασκαλία των Μαθηματικών κυριαρχούν τα κλειστά προβλήματα, τα οποία υπαγορεύονται από την αξιολόγηση και το σύστημα εισαγωγής των μαθητών στα Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα. Σύγχρονες διδακτικές προσεγγίσεις που ευνοούν την εισαγωγή προκλήσεων συμπλέουν με το ΑΠΣΜ περισσότερο του Γυμνασίου και λιγότερο του Λυκείου. διανθιστική Η ενασχόληση της τάξης με ανοιχτά προβλήματα, μπορεί να είναι διανθιστική (4-5 φορές το χρόνο), ανοιχτό πρόβλημα εβδομάδας ενσωματωμένη στις ενότητες του ΑΠΣΜ της αντίστοιχης τάξης (ανοιχτό πρόβλημα εβδομάδας) ή ενταγμένη σε ειδικές δραστηριότητες του ετήσιου προγραμματισμού του σχολείου (π. χ. ημέρα ανοιχτών προβλημάτων, διερευνητικά projects, διαθεματικές εργασίες).

51 Ενδεικτική Βιβλιογραφία Arsac, G. & Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert. Villeurbanne : IREM de Lyon, CRDP. Becker, J., Shimada, S. (1997). The open-ended approach: a new proposal for teaching mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M. & Pitta-Pantazi, D. (2005). Problem Solving and Problem Posing in a Dynamic Geometry Environment. The Montana Mathematics Enthusiast, 2(2), 125-143. Cifarelli, V. & Cai, J. (2005). The evolution of mathematical explorations in open-ended problem solving situations. Journal of Mathematical Behavior, 24, 302-324. English, L. D. (1997). Development of fifth grade children’s problem posing abilities. Educational Studies in Mathematics, 34, 183-217. Kosyvas, G. (2010). Problèmes ouvertes: notion, catégories et difficultés. Annales de Didactique et des Sciences cognitives, 15, IREM de Strasbourg, 43-71. Kosyvas, G. (2013). Pratiques pédagogiques de problèmes ouverts dans un collège expérimental à Athènes. Repères-IREM, 91, 25-50. Kosyvas, G. (2013). Problèmes ouverts dans la classe. International Journal for Mathematics in Education (HMS iJME), Vol. 5, 46-83. Athens. Kosyvas, G. (2013): Originality and beauty of arithmetic reasoning. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, vol. 12, 1-2, 23-37. Nohda, N. (2000). Teaching by open-approach method in Japanese mathematics classroom.In Nakahara, T. & Koyama, M. (Eds.), Proceedings of the 24th conference of the international group for the psychology of mathematics education (Vol. 1, pp. 39-53). Hiroshima, Japan: PME. Pehkonen, E. (Ed.) (1997). Use of open-ended problems in mathematics classroom. Department of Teacher Education, Research Report 176. University of Helsinki. Voskoglou, M. & Kosyvas, G. (2012). Analyzing students' difficulties in understanding real numbers. REDIMAT Journal of Research in Mathematics Education, 1(3), 301-336, www.hipatiapress.info/hpjournals/index.php/redimat/article/view/229/pdf_1 Polya, G. (1998). Πώς να το λύσω. (Τ. Πατρώνης, Επιμέλεια ελληνικής έκδοσης). Αθήνα: Εκδόσεις Καρδαμίτσα. Γαγάτσης, Α. (1988). Διδασκαλία των μαθηματικών με ανοιχτά προβλήματα. Tετράδια Διδακτικής των Μαθηματικών, 1, 26-28 και 64-67. Θεσσαλονίκη. Κόσυβας, Γ. (1995). Προσεγγίσεις της έννοιας και του ρόλου του ανοιχτού προβλήματος στη διδασκαλία των μαθηματικών. Ευκλείδης Γ΄, 43, 11- 33. Αθήνα: ΕΜΕ. Κόσυβας, Γ. (1996). Η πρακτική του ανοιχτού προβλήματος στο δημοτικό σχολείο. Αθήνα: Gutenberg. Κόσυβας, Γ. (2008). Εικασίες και μαθηματική συζήτηση στην τάξη. Πρακτικά του 25ου Συνεδρίου της ΕΜΕ, 434-448, Βόλος: ΕΜΕ. Κόσυβας, Γ. (2013). Αξιοποίηση ανοιχτών προβλημάτων στη διδασκαλία των μαθηματικών. Πρακτικά 30ου συνεδρίου της ΕΜΕ, 487-501, Καρδίτσα: ΕΜΕ. Κυνηγός, Χ., Γαβρίλης, Κ. Κεΐσογλου Σ., Ψυχάρης Γ. (2009). Η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στη Διδακτική των Μαθηματικών με τη βοήθεια εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ. «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη Διδακτική Πράξη», Σύρος. Φερεντίνος, Σ. & Γαλάνη, Ι. (2012). Τα ανοιχτά προβλήματα στη μαθηματική εκπαίδευση. Πρακτικά 29ου Συνεδρίου ΕΜΕ, 916-931. Καλαμάτα: ΕΜΕ. Χιονίδου-Μοσκοφόγλου, Μ. (1999). Επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στο κονστρουκτιβιστικό-δομητιστικό μοντέλο διδασκαλίας και μάθησης των Μαθηματικών με χρήση ανοιχτών προβλημάτων (open-ended) και ομαδοσυνεργατικής διδασκαλίας. Ερευνητική Διάσταση, 4, 3-36, Θεσσαλονίκη.

52 52 Τρόποι επικοινωνίας: e-mail : gkosyvas@sch.grgkosyvas@sch.gr Δικτ. τόπος: http://users.sch.gr/gkosyvas/http://users.sch.gr/gkosyvas/ Κινητό. : 6934844288 Τρόποι επικοινωνίας: e-mail : gkosyvas@sch.grgkosyvas@sch.gr Δικτ. τόπος: http://users.sch.gr/gkosyvas/http://users.sch.gr/gkosyvas/ Κινητό. : 6934844288