ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ (ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ) ΣΕ ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ Σχολείο: Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Πανεπιστημίου Αθηνών (ΠΠΣΠΑ) Τάξη: Β Γυμνασίου (Β1 Τμήμα –Επιβλέπων Καθηγητής: Πολυνίκης Τριγάζης) Ημερομηνία Παρέμβασης: Τρίτη 2 Δεκεμβρίου 2014 Ονοματεπώνυμο Φοιτήτριας: Σελιανάκη Καλλιόπη Παρατηρητές: Προπτυχιακή Φοιτήτρια: Παρασκευή Παπαδάκη Μεταπτυχιακή Φοιτήτρια (Συνοδός): Δήμητρα –Στέλλα Δέγκλερη

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Συμμετέχοντες Μαθηματικό Περιεχόμενο Η παρέμβαση θα πραγματοποιηθεί στο ΠΠΣΠΑ, ένα σχολείο απόλυτα εξοικειωμένο με δειγματοληπτικές διδασκαλίες. Η επιλογή των μαθητών θα γίνει από τον επιβλέποντα καθηγητή. Η ομάδα αποτελείται από 4 μαθητές (2 αγόρια και 2 κορίτσια). Στόχος: Δείγμα αντιπροσωπευτικό του συνόλου της τάξης. Μαθηματικό Περιεχόμενο Η έννοια της Συνάρτησης

Η Εννοια τησ Συναρτησησ στο Αναλυτικο Προγραμμα

Στο Γυμνάσιο… Η έννοια της συνάρτησης στο Γυμνάσιο σχετίζεται με την εξάρτηση δύο μεγεθών η οποία αναπαρίσταται αλγεβρικά, με πίνακα τιμών και γραφικά. Μέσω ενός πραγματικού προβλήματος κατασκευάζεται αρχικά μία αλγεβρική έκφραση (συνήθως της μορφής y=ax+β), από την οποία προκύπτει ένας πίνακας τιμών και έπειτα η γραφική παράσταση αυτής της σχέσης. Συνάρτηση εξίσωση χωρίς περιορισμούς.

Στο Γυμνάσιο… Α΄ Γυμνασίου: Μελέτη των ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών. Εξάρτηση δύο μεγεθών, αλλά δεν αναφέρεται ρητά ο όρος «συνάρτηση». Βασικές αναπαραστάσεις της έννοιας. Β΄ Γυμνασίου: «Επίσημη» εισαγωγή της έννοιας και του όρου «συνάρτηση». Συσχέτιση δύο μεταβλητών, κατασκευή πίνακα τιμών και γραφικής παράστασης. y=ax, y=ax+b, y=a/x, y=ax2 Γ΄ Γυμνασίου: Μελέτη της γραφικής παράστασης της y=ax2+βx+ γ, με a≠0.Μελέτη της y=ax2 (ο ρόλος του a).

Στο Λύκειο… Α’ Λυκείου: Συνάρτηση ως διαδικασία αντιστοίχισης (πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, συμβολισμός f, ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή- μετάβαση). Γραφική παράσταση - μελέτη κοινών σημείων. Μονοτονία , ακρότατα, συμμετρία. Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση της y=ax. Μελέτη συντελεστή a στην y=ax2 . Β΄ Λυκείου: Τριγωνομετρικές (μετασχηματισμοί, γραφική επίλυση εξισώσεων),λογαριθμική, εκθετική, περιοδική. Πεδία ορισμού κλειστά σύνολα. Απουσία αλγεβρικού τύπου. Γ΄ Λυκείου: Πράξεις, σύνθεση, ολοκλήρωση, παραγώγιση (αντικείμενο μελέτης η ίδια)

Μαθηματικοί στόχοι παρέμβασης Ύπαρξη εξάρτησης/αντιστοιχίας μεγεθών. Συνάρτηση ως διαδικασία που εκφράζει αυτή την εξάρτηση. Διττή φύση συνάρτησης: Αντικείμενο & Διαδικασία (A. Sfard). Διαφορετικές αναπαραστάσεις (τύπος, πίνακας τιμών). Ευελιξία μετάβασης από τη μία στην άλλη. Συντονισμός Φυσικής γλώσσας – «Τυπικής» γλώσσας Ανάδειξη αξίας συνάρτησης, ως εργαλείο επίλυσης προβλημάτων καθημερινής ζωής (μοντελοποίηση).

Η έννοια του αντικειμένου είναι δομημένη έτσι ώστε να ενσωματώνει τη διαδικασία. Πολλές μαθηματικές έννοιες μπορούμε να τις δούμε με δύο διαφορετικούς συμπληρωματικούς τρόπους (Dubinsky& Harel 1992). Η χρήση περισσότερων του ενός συστημάτων αναπαράστασης βοηθά τους μαθητές να διαμορφώσουν καλύτερη εικόνα για μια μαθηματική έννοια (Kaput, 1992). Είναι ένας τρόπος να δειχθεί ότι το αποβλεπτικό αντικείμενο είναι ανεξάρτητο από τη μορφή που έχει το σύστημα αναπαράστασής του (Husserl, 1900). Η ικανότητα να προσδιορίζεται η έννοια με διαφορετικές αναπαραστάσεις και η ευελιξία μετάβασης από μια αναπαράσταση σε άλλη, είναι κύρια στοιχεία στη μάθηση των μαθηματικών, διότι επιτρέπουν στους μαθητές να δουν τις πολλαπλές σχέσεις και να κατανοήσουν βαθιά την έννοια. (Even, 1998)

Δραστηριότητα Ο βαθμός τριμήνου ενός μαθητή εξαρτάται από την προσπάθεια του. Η περίμετρος ενός τετραγώνου εξαρτάται από το μήκος της πλευράς του. Στην τάξη κάθε καρέκλα αντιστοιχεί σε ένα μαθητή. Τι δηλώνει η έκφραση «εξαρτάται από» και «κάθε ….. αντιστοιχεί σε ένα…..» ; Εισαγωγή: Δίνονται στους μαθητές φράσεις της καθημερινής ζωής που φανερώνουν εξάρτηση - αντιστοιχία μεγεθών. Στόχος Εξάρτηση μεγεθών = μεταβολή. Όταν μεταβάλλεται το ένα μέγεθος, μεταβάλλεται και το άλλο και μάλιστα με κάποια αντιστοιχία.

Κεντρική ιδέα είναι το πρόβλημα Στόχος: Να τοποθετήσω τους μαθητές μπροστά σε μια κατάσταση δραστηριοποίησης, τέτοια ώστε: να τους θέτει ένα πρόβλημα του οποίου, στις προτεινόμενες συνθήκες , η καλύτερη μέθοδος επίλυσης είναι η χρήση της έννοιας της συνάρτησης. να μπορούν να επεμβαίνουν πάνω της και να ανατροφοδοτούν με πληροφορίες την δράση τους. Κυρίως μέρος: Κεντρική ιδέα είναι το πρόβλημα «κιλά- κόστος» Οι μαθητές καλούνται να μπουν στη θέση του ταμία και του λογιστή ενός συνεταιρισμού κερασιών και να αντιμετωπίσουν διάφορες καταστάσεις της πραγματικότητας.

Δραστηριότητα 1: Εργοστάσιο Κερασιών Στόχος: Να εντοπίσουν οι μαθητές την σχέση ανάμεσα στα κιλά και το κόστος και τη χρονοβόρα διαδικασία, ώστε να γίνει φανερή η ανάγκη γενικού τύπου. Συμφωνείτε με το συλλογισμό του ταμία; Ήταν καλή η επιλογή του να εξηγήσει έτσι στον ηλικιωμένο κύριο τι πρέπει να πληρώσει; Προσπαθήστε να εφαρμόσετε το συλλογισμό για ποσότητα κερασιών ίση με 10 κιλά, 20 κιλά, 100 κιλά. Τι παρατηρείτε; Δραστηριότητα 1: Εργοστάσιο Κερασιών Ένας συνεταιρισμός κερασιών στη Λάρισα διαθέτει την παραγωγή του στην αγορά με τιμή 1,60 το κιλό. Λόγω της προσφοράς και μάλιστα σε περίοδο οικονομικής κρίσης, μανάβηδες, απλοί πολίτες και πωλητές λαϊκών αγορών σπεύδουν να αγοράσουν ποσότητες κερασιών. Ένας ηλικιωμένος κάνει παράπονα για το ποσό που πλήρωσε (5,60ευρώ) λέγοντας ότι είναι μεγάλο σε σχέση με την ποσότητα που αγόρασε(3,5 κιλά κεράσια). Ο ταμίας του συνεταιρισμού προκειμένου να του εξηγήσει λέει τα εξής: «Αν το 1 κιλό τα κεράσια κοστίζει 1,60 ευρώ τότε τα 2 κιλά κεράσια κοστίζουν 3,20 ευρώ τα 3 κιλά κεράσια κοστίζουν 4,80 ευρώ τα 3,5 κιλά κεράσια κοστίζουν 5,60 ευρώ » Έτσι λύθηκε η παρεξήγηση.

Πίνακας τιμών Ο λογιστής βρίσκεται σε άδεια και αφήνει εσάς στη θέση του. Μέτα από ισχυρή καταιγίδα στην περιοχή , που προκαλεί διακοπές ρεύματος ,η μηχανή του εργοστασίου παθαίνει βλάβη και εμφανίζονται σφάλματα στα αποτελέσματα που εξάγει. Αν σας δινόταν μόνο ο πίνακας τιμών, θα μπορούσατε να βγάλετε συμπεράσματα για τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα κιλά των κερασιών και το κόστος τους; Δηλαδή να υπολογίσετε τι πρέπει να πληρώσει κάθε πελάτης (το κόστος), μέχρι να επισκευασθεί το μηχάνημα. Θα βρίσκατε το κόστος 60 κιλών κεράσια; Συνέχεια Δραστηριότητας 1: Ο λογιστής της εταιρίας προκειμένου να οργανώσει τα δεδομένα των πωλήσεων των κιλών σε σχέση με το κόστος κρατάει σημειώσεις τις οποίες ταξινομεί σε ένα πίνακα τιμών. Παρακάτω μας δίνετε ένα μέρος από τις σημειώσεις του λογιστή: ΚΙΛΑ ΚΕΡΑΣΙΑ 1 2 3,5 7 10 12 ΚΟΣΤΟΣ 1,6Ο 3,20 5,60 11,20 16 19,20

Ανακεφαλαίωση: Δίνεται στους μαθητές ένα σκίτσο Ανακεφαλαίωση: Δίνεται στους μαθητές ένα σκίτσο. Ακολουθεί συζήτηση και αναστοχασμός πάνω στα όσα ειπώθηκαν. Εξάγονται συμπεράσματα.

Στόχος: Η οπτικοποίηση και τα ωφέλη της Στο σκίτσο η συνάρτηση παρουσιάζεται σαν μία μηχανή που λαμβάνει τιμές από ένα σύνολο (τσουβάλι) και τις εξάγει τροποποιημένες σε ένα άλλο σύνολο (κουτί). Η τροποποίηση γίνεται σύμφωνα με το όνομα της μηχανής (τύπος συνάρτησης). Διδακτική αξία: Τα σχήματα σκέψης όταν συντονίζουν ένα πλήθος ενεργειών, επικεντρώνουν την προσοχή στις κοινές ιδιότητες των ενεργειών αυτών αναδεικνύοντας αυτά που ονομάζουμε αναλλοίωτα. Απαρχή της διαδικασίας αφαίρεσης (Από τα σχήματα στις έννοιες - Piaget).

Κρισιμα συμβαντα

Κρίσιμα Συμβάντα (1) Κ: Ποια πιστεύεται ότι είναι η σημασία των φράσεων αυτών; A2: Στο εξαρτάται εννοεί συνάρτηση. Ερμηνεία: 1) Στην εισαγωγή που έκανα ανέφερα ότι θα ασχοληθούμε με ένα σημαντικό κεφάλαιο των μαθηματικών τις Συναρτήσεις. Πιθανοί και οι εξωσχολικοί παράγοντες. 2) Οι νόρμες τις σχολικής τάξης, συχνά , δημιουργούν στους μαθητές την αντίληψη ότι στόχος είναι η λύση, όχι ο συλλογισμός. Η απάντηση γίνεται αυτοσκοπός.

Κρίσιμα Συμβάντα (2) A1: Tη συνάρτηση. Κ: Για να μην γράφουμε κιλά επί τιμή ίσον κόστος θα ονομάσουμε x τα κιλά και y το κόστος, την τιμή. Ωραία; Άρα πες μου αυτό που μου έλεγες με x και y. Κ2: Δηλαδή; Δεν καταλαβαίνω. Κ: Πες μου ξανα πως θα το υπολογιζες. Κ2: 10 επί 1,60 Κ: Το 10 τι συμβολίζει? Κ2: Κιλά Κ: Τα κιλά. Άρα; Το x. Αν το γράψουμε μαθηματικά. Επί το 1,60 που είναι η τιμή του κιλού. Τι έιναι όλο αυτό; Τι υπολογίσαμε; Εσύ τι λές; A1: Tη συνάρτηση. Κ: Όχι. Η συμμαθήτρια σας πολλαπλασίασε τα κιλά με την τιμή του ενός. Τι βρήκε;

K1: Την τιμή. Κ: Την τιμή, το κόστος δηλαδή το y. Ερμηνεία: 1) Η δυσκολία μετάβασης των μαθητών από την φυσική γλώσσα στην αλγεβρική. 2) Οι μαθητές δεν κατανοούν την έννοια της μεταβλητής και το ρόλο της. Δίνουν βάση στην ονοματολογία.

Κρίσιμα Συμβάντα (3) Ερμηνεία: Κ: Tι παρατηρείτε; Αν σας έλεγα περιγράψτε μου τι βλέπετε; (έχω γράψει y=1,60 x) Κ1: Εξίσωση με δύο αγνώστους. Κ: Τι μπορείτε να πείτε γα αυτούς τους δύο αγνώστους; Τα μεγέθη; K2: Έχουν σχέση. Κ1: Γιατί δεν βάλαμε 10; K: Ξέρουμε ότι είναι τόσο; K1: Mας το λέει το πρόβλημα. Ερμηνεία: 1) Οι μαθητές στο Γυμνάσιο αντιλαμβάνονται τη συνάρτηση ως εξίσωση. 2) Επανεμφάνιση του προβλήματος με την μεταβλητή. Αδυναμία κατανόησης της γενικής ισχύς του τύπου.

ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ Τροποποιήσεις για μια νέα διδασκαλία Εναλλακτικό σχέδιο διδασκαλίας – Μικρότερος βαθμός καθοδήγησης: Εξωγενείς παράγοντες περιόρισαν τη διάρκεια της παρέμβασης στα 20 λεπτά, με αποτέλεσμα, λόγω άγχους, το πρώτο μέρος, να διέπεται από υψηλό βαθμό καθοδήγησης. Μονολογική διδασκαλία. Σύγχυση ως προς την προτεραιότητα στόχων. Θα ήταν βοηθητική η ύπαρξη ενός μικρότερου πλάνου διδασκαλίας.

Διαχείριση μαθητών : Ως απόρροια των προηγούμενων έρχονται να προστεθούν τα εξής: Φαινόμενο Topaze: Όταν οι μαθητές συναντούν μια δυσκολία, την ξεπερνά η διδάσκουσα για λογαριασμό τους. Φαινόμενο ακατανόητων προσδοκιών: Η λανθασμένη υπόθεση ότι κάποιες αναμενόμενες απαντήσεις των μαθητών προκύπτουν από μόνες τους.

«γραμμικότητα» , «κωδικοποίηση» Επιβράβευση: Θα έπρεπε να αργεί, ώστε οι μαθητές να προλάβουν να εκφράσουν τις δυνατότητες τους. Απλούστερη γλώσσα: Χρησιμοποιήθηκαν κατά τη διδασκαλία εκφράσεις δυσνόητες για μαθητές Β Γυμνασίου. «γραμμικότητα» , «κωδικοποίηση» Δ-οντογενετικά εμπόδια.

Πρωτοτυπία Δραστηριότητας: Προσπάθεια επιλογής μίας λιγότερο τετριμμένης δραστηριότητας. Αξιοποίηση πίνακα: Πιο συστηματική και οργανωμένη καταγραφή των σημαντικών στοιχείων της διδασκαλίας στον πίνακα. Αντίστοιχη παρότρυνση και προς τους μαθητές.

Θετικά Σημεία Τήρηση σχεδίου διδασκαλίας: Οι διδακτικοί στόχοι παρέμειναν διατεταγμένοι σε μια πρόοδο μέσα στο χρόνο. Ευελιξία: Μετά το «πρώτο άγχος» αναπροσαρμόστηκε το σχέδιο και προστέθηκαν καινούριοι στόχοι, σύμφωνοι με την ροή και τις ανάγκες του μαθήματος.

Βιβλιογραφία - Πηγές ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ « Η έννοια της συνάρτησης και το επίπεδο κατανόησής της από μαθητές της Β΄ Λυκείου» Μεταπτυχιακός Φοιτητής: Φαλαγκάρας Αριστείδης Η θεωρεία γνώσης Piaget Η Θεωρεία της A. Sfard Εικόνα έννοιας και Ορισμός έννοιας Ανάλυση της συνάρτησης ως διαδικασιοέννοια. Φάκελος μαθήματος για τη Διδακτική 1 Π. Σπύρου E class Τμήματος Μαθηματικών: Διαφάνειες Διδακτικής 1,2 και Πρακτικής Άσκησης Ψηφιακό σχολείο

Ευχαριστω πολυ!