Μελέτη Δ.Ε. με χρήση του Mathematica ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μελέτη Δ.Ε. με χρήση του Mathematica

Εισαγωγή Η επίλυση ΔΕ με Mathematica γίνεται απευθείας με τις εντολές DSolve : επίλυση με συμβολικό τρόπο NSolve : αριθμητική (προσεγγιστική) επίλυση

Εισαγωγή Και οι δυο εντολές δέχονται μια ή περισσότερες εξισώσεις για επίλυση Πρώτης ή ανώτερης τάξης εξισώσεις Γραμμικές ή μη γραμμικές εξισώσεις Προβλήματα με αρχικές συνθήκες, συνοριακά προβλήματα.

Η εντολή DSolve

Συμβολική επίλυση (symbolic solution) Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης Γενική λύση ΔΕ: eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕ DSolve[eqn,y[t],t] όπου eqn η ονομασία που δείνει ο χρήστης y[t] η άγνωστη συνάρτηση της ΔΕ και t η μεταβλητή

Παραδείγματα Έστω η ΔΕ eqn=y'[t] ==r y[t](M-y[t]) DSolve[eqn,y[t],t] Οι εξισώσεις 0ρίζονται με διπλό = Παραδείγματα Έστω η ΔΕ eqn=y'[t] ==r y[t](M-y[t]) DSolve[eqn,y[t],t]

Όπου C[1] είναι η σταθερά ολοκλήρωσης c Η λύση της ΔΕ δόθηκε από το πρόγραμμα :

ΔΕ με αρχικές συνθήκες Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης με αρχικές συνθήκες eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕ con=αρχική συνθήκη DSolve[{eqn,con},y[t],t] Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς y’

Παραδείγματα Να λυθεί το πρόβλημα

Πρόβλημα Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ

Λύση Η λύση είναι με Mathematica

Γραφικές παραστάσεις Πολλές φορές θέλουμε να έχουμε εκτός από τη λύση της ΔΕ και την γραφική παράσταση κάποιας ή κάποιων μερικών λύσεων από τη γενική λύση της διαφορικής

Πρόβλημα Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής Μετά να γίνει η γραφική παράσταση της λύσης στο διάστημα -1<χ<1

Λύση Η λύση με Mathematica

Γραφική λύση

Παράδειγμα Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ Να γίνει γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ)

Λύση Βρίσκουμε τη γενική λύση, με την εντολή:

Γραφική παράσταση Evaluate Η εντολή Evaluate είναι απαραίτητη για να δημιουργηθεί πρώτα η Λίστα των 5 λύσεων και μετά να δουλέψει η Plot

Παράδειγμα Να λυθούν οι ΔΕ Στη δεύτερη ΔΕ να γίνουν ολοκληρωτικές καμπύλες για 10 αρνητικές τιμές της αυθαίρετης σταθεράς και για τιμές y στο διάστημα -5<y<0

Λύση

Γραφική λύση PlotRange Η εντολή PlotRange δίνεται για να καθορίσουμε το σύνολο τιμών στον άξονα y

Αρκετές ΔΕ που καταλήγουν σε ΔΕ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ μεταβλητών αντιμετωπίζονται αμέσως με την εντολή DSolve χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε επι μέρους ολοκληρώσεις σε κάποιο ενδιάμεσο στάδιο.

Παράδειγμα Να λυθεί η ΔΕ Να σχεδιαστούν οι ολοκληρωτικές καμπύλες όταν η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τιμές -2,-1,0,1,2

Λύση

Γραφική παράσταση PlotStyle RGBColor H εντολή RGBColor δείνει το κατάλληλο χρώμα