Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

Παρουσίαση με θέμα: "Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Παράγωγος Αόριστο Ολοκλήρωμα Προσεγγίσεις

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y = f(x) y x x y x y dy
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y = f(x) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : y dy f(x+dx) dx f(x) x x y x y f(x+Δx) x+Δx Δy Δx f(x) y = f(x) f(x+Δx) x+Δx y = f(x) Δy x f(x) Δx

4 Είναι η κλίση k της εφαπτομένης στο σημείο x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y = f(x) : Είναι η κλίση k της εφαπτομένης στο σημείο x ΜΑΘΜΑΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ: y x y = f(x)

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y = f(x) : Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο μέγεθος (όχι απαραίτητα το χρόνο). ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ: y x y = f(x)

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ s = f(t) : s t s = f(t) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ υ = f(t) : υ t υ = f(t)

7 ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η μερική παράγωγος εφαρμόζεται σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Η παραγώγιση γίνεται ως προς κάθε μια μεταβλητή θεωρώντας όλες τις άλλες μεταβλητές ως σταθερές Αν f(x,y,z) είναι μια συνάρτηση τριών μεταβλητών, τότε Ολικό Διαφορικό της της συνάρτησης f(x,y,z)

8 Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη
ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης Όπου C σταθερά. Aν H σταθερά C υπολογίζεται από κάποιες συνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες) του προβλήματος. y = f(x) y x x y = f(x) dx f(x) dx

9 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Όπου C σταθερά. Aν Το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζεται σε συγκεκριμένο διάστημα (α, β) του πεδίου τιμών της μεταβλητής x y = f(x) y x x=α x=β

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ
Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Το ΟΡΙΣΜΕΝΟ ολοκλήρωμα στη Φυσική είναι ένας ΑΡΙΘΜΟΣ με μονάδες

11 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ