(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)

Παρουσίαση με θέμα: "(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 (χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)
που μετατρέπονται διαφορικές εξισώσεις σε γνωστές μορφές (χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης) Riccati Bernoulli

2 Bernoulli διαφορική εξίσωση n=0 0n1 n=1 γραμμική αντικατάσταση
1ης τάξης n=1 αντικατάσταση z(x) = y1-n χωριζόμενων μεταβλητών

3 για n = 0 γραμμική 1ης τάξης γενική λύση

4 χωριζόμενων μεταβλητών
για n = 1 χωριζόμενων μεταβλητών γενική λύση

5 y-n (1-n)-1 z΄(x) + P(x) z(x) = Q(x)
θέτουμε: z(x) = y1-n τότε z΄(x) = (1-n)y1-n-1 y΄ y-n y΄ = (1-n)-1 z΄(x) η εξίσωση (Ι) γίνεται γραμμική 1ης τάξης (1-n)-1 z΄(x) + P(x) z(x) = Q(x) z΄(x) + (1-n) P(x) z(x) = (1-n) Q(x) (II) διότι έχει την μορφή: όπου R(x) = (1-n) P(x) και W(x) = (1-n)Q(x)

6 Κατά συνέπεια η γενική λύση της δ.ε. είναι:
z(x) = y1-n έχουμε Από την σχέση γενική λύση

7 Άσκηση: Να λυθεί η δ.ε. xy΄ + y = y2lnx, x>0
διότι έχει την μορφή dy/dx + P(x)y = Q(x)yn όπου P(x)=x-1, Q(x)=lnx/x και n=2 είναι δ.ε. Bernoulli y-2 y-2 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (Ι) με y-2

8 dz/dx+R(x)z=W(x), R(x)=-x-1 και W(x)=-lnxx-1
Θέτουμε: z(x) = y1-2  z(x) = y-1 Παραγωγίζουμε: z΄(x) = -y-2 y΄ Δηλαδή, y-2(dy/dx) = -(dz/dx) η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται Γραμμική 1ης τάξης dz/dx+R(x)z=W(x), R(x)=-x-1 και W(x)=-lnxx-1 γενική λύση (ΙΙΙ)

9 ολοκλήρωση κατά παράγοντες όπου

10 άρα και επομένως η (ΙΙΙ) γίνεται:

11 και επομένως y = lnx + xc3 + 1 = y-1
Επομένως η γενική λύση της δ.ε. γίνεται : z(x) = y-1 δηλαδή, lnx + xc3 + 1 = y-1 και επομένως y = γενική λύση

12 Άσκηση: Να λυθεί η δ.ε. διότι έχει την μορφή dy/dx + P(x)y = Q(x)yn
Λύση: διαιρούμε με x (x0, διότι στην περίπτωση που x=0 δεν έχουμε δ.ε.) διότι έχει την μορφή dy/dx + P(x)y = Q(x)yn όπου P(x)=-4x-1, Q(x)=x και n=1/2 είναι δ.ε. Bernoulli y-1/2 y-1/2 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (Ι) με y-1/2

13 dz/dx+R(x)z=W(x), R(x)=-2/x και W(x)=x/2
Θέτουμε: z(x) = y1-1/2  z(x) = y1/2 Παραγωγίζουμε: z΄(x) = 1/2y-1/2 y΄ Δηλαδή, y-1/2(dy/dx) = 2dz/dx και η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται Γραμμική 1ης τάξης dz/dx+R(x)z=W(x), R(x)=-2/x και W(x)=x/2 γενική λύση (ΙΙΙ)

14 και η γενική λύση γίνεται,

15 Επομένως η γενική λύση της δ.ε. γίνεται :

16 z(x) = y1/2 δηλαδή, γενική λύση

17