Υπόδειγμα Solow (συνέχεια) Περίπτωση 1η (που εξετάσαμε): κεφάλαιο ↑↓ Περίπτωση 2η: κεφάλαιο, εργασία ↑↓ Υπόθεση: πληθυσμός και εργατικό δυναμικό αυξάνονται κατά n. (dL/L) = n dK= I - δΚ
Τι προκαλεί την μεταβολή του k; dk; dk = d(K/L) = = (dK·L - dL·K)/L2 = = dK/L – (dL/L)·(K/L)= = dK/L – nk = = i – δk – nk = = i - (δ+n)k
⇒ dk = i - (δ+n)k Κατάσταση σταθερής μακροχρόνιας ισορροπίας; (steady state) Πότε το εισόδημα y=(Y/L) μένει στάσιμο; y = f(k) y: σταθερό, όταν k σταθερό. k σταθερό, όταν dk=0
dk = i - (δ+n)k = 0 i = (δ+n)k Επένδυση νεκρού σημείου: i = i*, k = k* επίσης: dk = d(K/L) = = {(dK·L) – (dL·K)}/L2 = 0 ⇒ (dK·L) – (dL·K) = 0 ⇒ dK·L = dL·K ⇒ ⇒ (dK/K) = (dL/ L) = n
Επομένως, σε κατάσταση σταθερής μακροχρόνιας ισορροπίας: Επομένως, σε κατάσταση σταθερής μακροχρόνιας ισορροπίας: i = i*, k = k*, y = y* (dy/y) = 0 (dK/K) = n (dL/ L) = n (dY/Y) = n (σταθερές αποδόσεις κλίμακος)
Η μακροχρόνια ισορροπία είναι σταθερή διότι Αν k > k* dk = i - (δ+n)k < 0 i < (δ+n)k Διαχρονικά k ↓ : Απόσβεση και αύξηση του πληθυσμού προκαλούν μείωση του k που δεν καλύπτει η επένδυση / εργαζόμενο (i) που πραγματοποιείται στην οικονομία.
Άρα αν k > k* στο χρόνο k↓, y↓ (αρνητική μεγέθυνση του y) έως k=k* στο χρόνο: k↑, y↑ (θετική μεγέθυνση)
Χρυσός κανόνας συσσώρευσης κεφαλαίου: Y= f(K,L) (1) Y= C+I = C+S (2) S = sY (3) I = S (4) Διαιρώ όλες τις μεταβλητές με L (1)-(4) ⇒ c = y- i = f(k) - s·f(k)
c = y- i = f(k) - s·f(k) (5) Σε μακροχρόνια σταθερή ισορροπία: k=k* (6) i=i*= (δ+n)k (7) Αντικαθιστώ (6) και (7) στην (5) c= f(k*) - (δ+n)k (8) Μεγιστοποιώ την (8) διαφορίζοντας ως προς k: max c: (dc/dk) = 0
⇒ MPk = δ + n ή MPk - δ = n Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου, μετά την αφαίρεση της απόσβεσης, πρέπει να ισούται με την αύξηση του πληθυσμού: χρυσός κανόνας συσσώρευσης κεφαλαίου