Διδακτική Μαθηματικών Ι Μάθημα 7ο Κατηγορίες προβλημάτων Ρεαλιστικά Μαθηματικά 2 Μαΐου 2014

Κατηγορίες προβλημάτων ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Προβλήματα που επιλύονται πραγματοποιώντας συγκεκριμένα βήματα (αλγόριθμοι) Προβλήματα που απαιτούν τη χρήση διαφόρων ευρετικών (δηλαδή κάποιων στρατηγικών επίλυσης) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΟΙΧΤΟΥ ΤΥΠΟΥ (PROJECT) Παραλλαγμένες ασκήσεις οι οποίες περιλαμβάνουν: Ελλιπή δεδομένα Ανοιχτού τύπου ερωτήσεις Εύρεση δομών, εντοπισμό λαθών Προβλήματα που βασίζονται σε πραγματικές καταστάσεις. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ (PROBLEM POSING)

Τι ερωτήσεις μπορείτε να κάνετε; Πέμπτη Δημοτικού Τι ερωτήσεις μπορείτε να κάνετε;

Ποιες μαθηματικές έννοιες εμπλέκονται; Πέμπτη Δημοτικού Ποιες μαθηματικές έννοιες εμπλέκονται;

Πέμπτη Δημοτικού

Πέμπτη Δημοτικού

Και τώρα ας λύσουμε ένα πρόβλημα!

Ευρετικές Λύσε ένα απλούστερο πρόβλημα (π.χ. μια συγκεκριμένη περίπτωση). Λύσε ένα παρεμφερές πρόβλημα. Διατύπωσε μία υπόθεση και έλεγξέ την (trial and error). Λύσε ένα ισοδύναμο πρόβλημα (π.χ. δουλεύοντας αντίστροφα). Χρησιμοποίησε μια αναπαράσταση (πίνακα, σχεδιάγραμμα).

Λύσε το πρόβλημα με όσο περισσότερους τρόπους μπορείς! Ευρετικές Διατύπωσε μία υπόθεση και έλεγξέ την (trial and error). Ένας αγρότης έχει στην φάρμα του αγελάδες και κοτόπουλα. Τα κεφάλια όλων των ζώων μαζί είναι 50 και τα πόδια τους 172. Πόσες αγελάδες έχει στη φάρμα; Λύσε το πρόβλημα με όσο περισσότερους τρόπους μπορείς!

Μικρή επανάληψη… Πόσους από τους αριθμούς από το 0 έως το 20 μπορείς να σχηματίσεις χρησιμοποιώντας τέσσερα 4 και τις τέσσερις βασικές πράξεις μαζί και με παρενθέσεις αν χρειαστούν;

Ρεαλιστικά Μαθηματικά

Ρεαλιστικά Μαθηματικά Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι κοντά στα παιδιά και να αφορούν καθημερινές για αυτά καταστάσεις. Ο όρος «ρεαλιστικά» δεν αναφέρεται αποκλειστικά σε πραγματικές καταστάσεις, αλλά μπορεί να αφορά και οτιδήποτε είναι «πραγματικό» για τα παιδιά. Τα Μαθηματικά είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα. Τα παιδιά πρέπει να εμπλακούν σε μια καθοδηγούμενη ανακάλυψη. Δηλαδή, πρέπει να: εξερευνούν καταστάσεις ανακαλύπτουν και αναγνωρίζουν τις απαιτούμενες μαθηματικές έννοιες σχηματοποιούν και οπτικοποιούν τις όποιες σχέσεις σχεδιάζουν ένα μοντέλο που οδηγεί σε μια μαθηματική έννοια … μέσω γενικεύσεων και αναστοχασμού

Ρεαλιστικά Μαθηματικά Η μάθηση των Μαθηματικών πραγματοποιείται μαθηματικοποιώντας την πραγματικότητα. Οριζόντια μαθηματικοποίηση: το πραγματικό πρόβλημα μεταφράζεται σε μαθηματικό (εντοπίζουμε τις μαθηματικές έννοιες και δομές που περιέχει – ανακάλυψη σχέσεων, ομοιοτήτων) Κατακόρυφη μαθηματικοποίηση: το μεταφρασμένο πρόβλημα αντιμετωπίζεται με μαθηματικά εργαλεία.

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Ρόλος πλαισίου Ασύνδετο πλαίσιο (μηδενικής τάξης) Η τομή της επιφάνειας ενός ποτηριού σαμπάνιας περιγράφεται από την καμπύλη με τύπο y = 3ημ(x + ½π) + 3. Υπολογίστε τον όγκο του ποτηριού. Το κέρδος P σε ευρώ από την πώληση ενός αυτοκινήτου ορισμένου τύπου και ο χρόνος παραγωγής του t σε ώρες σχετίζονται με τον τύπο: Ρ(t) = 20(200 – 250/t – t2) , t > 3 Να βρεθεί το μέγιστο δυνατό κέρδος.

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Ρόλος πλαισίου Σχετικό πλαίσιο (1ης τάξης) το πλαίσιο είναι απαραίτητο για την απάντηση Σε μια εκδήλωση αναμένονται 150 άτομα. Θα χρησιμοποιηθούν τραπέζια των 4 θέσεων. Πόσα τραπέζια θα χρειαστούν;

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Ρόλος πλαισίου Σχετικό πλαίσιο (2ης τάξης) το πλαίσιο είναι απαραίτητο για την απάντηση απαιτείται μοντελοποίηση (οριζόντια μαθηματικοποίηση) Μία σκάλα μήκους 3 μέτρων τοποθετείται σε ένα τοίχο, σε απόσταση ενός μέτρου από τη βάση του. Μέχρι ποιο ύψος του τοίχου θα φτάσει;

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Ρόλος πλαισίου Σχετικό πλαίσιο (2ης τάξης) το πλαίσιο είναι απαραίτητο για την απάντηση απαιτείται μοντελοποίηση (οριζόντια μαθηματικοποίηση)

Ποιο είναι το συνολικό μήκος της κορδέλας που θα χρειαστεί; Έστω ότι η διάμετρος του πασσάλου είναι 10 cm… Ποιο είναι το συνολικό μήκος της κορδέλας που θα χρειαστεί;

Ρεαλιστικά Μαθηματικά Πόσο πραγματικό είναι το πλαίσιο; Σε ποιο ύψος βρίσκεται το καταφύγιο της εικόνας; Εφτά νάνοι δουλεύουν στο δάσος. Αποφάσισαν να κάνουν ένα διάλειμμα για φαγητό. Υπάρχουν αρκετά μανιτάρια για όλους;

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Καθοδηγούμενη πορεία από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο Το μοντέλο του «παγόβουνου»

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Χρήση ερωτήσεων με σταδιακή αύξηση των λογικών βημάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της δραστηριότητας Παράδειγμα: Από μια φωτογραφία … σε μια εικόνα Οι σχηματισμοί των πουλιών είναι συχνά σε σχήμα V. Το σμήνος που βλέπετε ξεκίνησε από 3 πουλιά σε σχήμα V. Σε ένα λεπτό έγιναν 5 και σε δυο λεπτά, όπως βλέπετε στην εικόνα ήταν ήδη 7. Αν συνεχίζουν να αυξάνονται με τον ίδιο τρόπο πόσα πουλιά θα έχει το σμήνος σε 10 λεπτά;

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Χρήση ερωτήσεων με σταδιακή αύξηση των λογικών βημάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της δραστηριότητας

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Χρήση ερωτήσεων με σταδιακή αύξηση των λογικών βημάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της δραστηριότητας Ζωγραφίστε τον τέταρτο σχηματισμό κουκίδων. Είναι δυνατό σε έναν τέτοιο σχηματισμό να υπάρξουν 84 σημεία; Γιατί ναι ή γιατί όχι; Πόσα σημεία θα έχει ο έκτος σχηματισμός; Ο δέκατος σχηματισμός; Ο εκατοστός; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Δυο σχηματισμοί πουλιών καθένας σε σχήμα V ενώνονται. Είναι δυνατόν να δημιουργηθεί από την ένωσή τους ένας νέος σχηματισμός V; Έχω επιλέξει δύο ακέραιους αριθμούς. Τους πρόσθεσα και το άθροισμα είναι άρτιος αριθμός. Τι μπορείτε να πείτε για τους δυο αρχικούς αριθμούς; Έχω επιλέξει δύο ακέραιους αριθμούς. Τους πρόσθεσα και το άθροισμα είναι περιττός αριθμός. Τι μπορείτε να πείτε για τους δυο αρχικούς αριθμούς;

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Χρήση ερωτήσεων με σταδιακή αύξηση των λογικών βημάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της δραστηριότητας Είναι δυνατό σε έναν τέτοιο σχηματισμό να υπάρξουν 84 σημεία; Γιατί ναι ή γιατί όχι; Όχι, επειδή υπάρχει ένα πουλί στο μέτωπο (σωστός, άτυπος συλλογισμός, που αναφέρεται στα πουλιά αντί στα σημεία) Όχι, εάν χωρίσουμε το 84 σε δύο έχουμε 42 από κάθε πλευρά αλλά πρέπει να υπάρξει ένα επιπλέον πουλί στο μέτωπο (σωστός, προ – τυπικός συλλογισμός. Αναφορά στις ιδιότητες του αριθμού αλλά και με το σχέδιο των πουλιών στο μυαλό.) Όχι κάθε σχηματισμός V είναι περιττός αριθμός και το 84 είναι άρτιος (σωστός, τυπικός συλλογισμός, που αναφέρεται στις ιδιότητες του αριθμού)

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Χρήση ερωτήσεων με σταδιακή αύξηση των λογικών βημάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της δραστηριότητας Πόσα σημεία θα έχει ο εκατοστός σχηματισμός; Στη μια πλευρά 49 και στην άλλη 51 (λανθασμένη απάντηση που βασίζεται στον άτυπο συλλογισμό) 201, επειδή χρειαζόμαστε τον ίδιο αριθμό πουλιών σε κάθε ένα πλευρά και έναν αρχηγό (σωστός, άτυπος συλλογισμός) 201, διπλασιάζουμε τον αριθμό του σχηματισμού(εκατοστός)και προσθέτουμε 1 (σωστός, προ-τυπικός συλλογισμός) 2x (αριθμός σχηματισμού) + 1 (σωστός, τυπικός)

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Χρήση ερωτήσεων με σταδιακή αύξηση των λογικών βημάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της δραστηριότητας Μπορούν δυο σχηματισμοί να ενωθούν ώστε να φτιάξουν έναν νέο σχηματισμό; Δεν μπορούμε να ξέρουμε, γιατί δεν ξέρουμε πως θα πετάξουν τα πουλιά. (λανθασμένος, άτυπος) Πρώτα πρέπει να ξέρουμε πόσα πουλιά είναι στο σύνολο. (λανθασμένος, άτυπος) Όχι, αυτό είναι αδύνατο, δεν υπάρχει κανένας αρχηγός. (σωστός, άτυπος) Όχι, επειδή περιττός και περιττός δίνει άρτιο (σωστός,τυπικός)

Ρεαλιστικά Μαθηματικά – Βασικές αρχές Χρήση ερωτήσεων με σταδιακή αύξηση των λογικών βημάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της δραστηριότητας Έχω επιλέξει δύο ακέραιους αριθμούς. Τους πρόσθεσα και το άθροισμα είναι περιττός αριθμός. Τι μπορείτε να πείτε για τους δυο αρχικούς αριθμούς; Δεν μπορώ να ξέρω τίποτα για τους αριθμούς, είναι στο κεφάλι σας! Ξέρω ότι επιλέξατε 3 και 8 επειδή 3 + 8 = 11 Ο ένας πρέπει να είναι περιττός και ο άλλος άρτιος. Στην πορεία από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο οι διάφορες στρατηγικές των μαθητών χρησιμοποιούνται από τον εκπαιδευτικό ως: - ενδείξεις του επιπέδου τους και - αφορμή για περαιτέρω ανάλυση του μαθηματικού θέματος.

Ρεαλιστικά Μαθηματικά Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι κοντά στα παιδιά και να αφορούν καθημερινές για αυτά καταστάσεις. Ο όρος «ρεαλιστικά» δεν αναφέρεται αποκλειστικά σε πραγματικές καταστάσεις, αλλά μπορεί να αφορά και οτιδήποτε είναι «πραγματικό» για τα παιδιά. Τα Μαθηματικά είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα. Τα παιδιά πρέπει να εμπλακούν σε μια καθοδηγούμενη ανακάλυψη.

Μη πλαισιωμένο πρόβλημα Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι 21, 14 και 16. Πρόκειται για ορθογώνιο τρίγωνο; With Level 2problems, we limit the amount of information presented so that the text or visuals do not guide the student in a particular direction in solving the problem. To elicit this level of reasoning, we expect students will infer the knowledge, tools and/or procedures they will need to use to provide an acceptable response from the problem text. This means for instance that we do not tell students, “Use the tangent to calculate the slope” or “Solve this problem using the Pythagorian Theorem”. We want them to choose their own mathematical tools. This implies that for most of the problems there is more than one possible correct answer. 212 142 + 162, 441 196 + 256 if the triangle is a right triangle, the sine of one sharp angle is 14/21 and the angle is 41.8 degrees. The sine of the other sharp angle is 16/21 for an angle of 49.6 degrees. But these two do not add to exactly 90 degrees. 212 = 142 + 162 – 2 .14 .16xcos, 448x cos = 441; cos =441/448 cos  1   Age: 14, 15 Level 2