ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Καθηγητής: CV Επιμέλεια: G3PF22 Έτος: 2013-2014 2ogl

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0°<ω< 180° Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0°<ω< 180° Θυμόμαστε από παλιά ότι: Ημίτονο: απέναντι κάθετη πλευρά / υποτείνουσα Συνημίτονο: προσκείμενη κάθετη πλευρά / υποτείνουσα Εφαπτομένη: απέναντι κάθετη πλευρά / προσκείμενη κάθετη πλευρά

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0°<ω< 180° Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0°<ω< 180° Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εφαρμόζονται αποκλειστικά και μόνο στα ορθογώνια τρίγωνα!!! Ορθογώνιο Τρίγωνο: ημΒ= ΑΓ/ΒΓ=β/α συνΒ= ΑΒ/ΒΓ=γ/α εφΒ= ΑΓ/ΑΒ=β/γ

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0°<ω< 180° Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0°<ω< 180° Οπότε συμπεραίνουμε ότι: ω=φ => ημω=ημφ συνω=συνφ εφω=ημφ ω>φ => ημω>ημφ, συνω<συνφ εφω>ημφ

Συνεχίζουμε μαθαίνοντας ότι... Αν χρησιμοποιήσουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων μπορούμε να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω και όταν αυτή δεν είναι οξεία. Για να το καταφέρουμε αυτό αρκεί σχεδιάζουμε ένα τρίγωνο όπου η γωνία ω θα τοποθετηθεί σε Οxy έτσι ώστε η κορυφή της να συμπέσει στην αρχή Ο και η μια από τις πλευρές του τριγώνου να συμπέσει με θετικό ημιάξονα Οx. Η άλλη πλευρά του θα βρεθεί στο 2o τεταρτημόριο.

Συνεχίζουμε μαθαίνοντας ότι... Επομένως από το Π.Θ. προκύπτει ο τύπος: ρ = √(x² + y²). Άρα οι τριγ.αριθμοί της γωνίας ω είναι: 1) ημω = y / ρ, 2) συνω = x / ρ 3) εφω = y / x

Συνεχίζουμε μαθαίνοντας ότι... Αν η γωνία ω είναι οξεία τότε είναι x>0 , y>0 και ρ>0 Άρα ημω>0 , συνω>0 και εφω>0. Αν όμως η γωνιά ω είναι αμβλεία τότε είναι x<0 , y>0 και ρ>0 Άρα ημω>0 , συνω<0 και εφω<0.

Συνεχίζουμε μαθαίνοντας ότι... Οι προηγούμενοι τύποι γενικεύονται και όταν ω=0° ή ω=90° ή ω=180° οπότε : ημ0°=y/ρ=0/1=0 ημ90°=y/ρ=1/1=1 ημ180°=y/ρ=0/1=0

συν0°=x/ρ=1/1=1 συν90°=x/ρ=0/1=0 συν180°=x/ρ=-1/1=-1 εφ0°=y/x=0/1=0 εφ90°=δεν ορίζεται εφ180°=y/x=0/1=0

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών αριθμών Παραπληρωματικές ονομάζονται οι γωνίες οι οποίες έχουν άθροισμα 180°. Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν τα ίδια ημίτονα και αντίθετους τους άλλους δύο τριγωνομετρικούς αριθμούς. Συμπληρωματικές ονομάζονται οι γωνίες οι οποίες έχουν άθροισμα 90°

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών αριθμών Ισχύει ο τύπος: ω+φ=180°=>φ=180°- ω Οπότε για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180°- ω ισχύουν: ημ(180°- ω)= ημω συν(180°- ω)= -συνω εφ(180°- ω)=-εφω

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών αριθμών Οι παραπάνω τύποι προκύπτουν από : ημω=y/ρ και ημφ=y/ρ =>ημφ=ημω=>ημ(180°- ω)= ημω , 2) συνω=x/ρ και συνφ=-x/ρ=> συνφ=-συνω=> συν(180°- ω)= -συνω εφω=y/x και εφφ=y/-x=> εφφ=-εφω=>εφ(180°- ω)=-εφω

Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας Τύποι: ημ²ω + συν²ω=1 εφω=ημω/συνω συν²ω=1/(εφ²ω+1)

Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας Τι χρησιμοποιώ για να κάνω τις αποδείξεις των παραπάνω τύπων: 1) ρ²=x²+y² 2) ημω=y/ρ 3) συνω=x/ρ 4) εφω=y/x

Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας Αποδείξεις: Για (1): 1ο μέλος=>ημ²ω+συν²ω= (y/ρ)² + (x/ρ)²= y²/ρ² + x²/ρ²= y²+ x² / ρ²= ρ²/ρ²=1

ΤΕΛΟΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ