Χάος και Φράκταλ 8 Νοεμβρίου 2007: Παράγραφος 2.4 « Η Μυστηριώδης Νήσος του Mandelbrot » Αυτές οι σελίδες Powerpoint συμπληρώνουν το κείμενο του βιβλίου.

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Μετάδοση Θερμότητας με μεταφορά
Advertisements

ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΗΣ Ο σύγχρονος άνθρωπος πρέπει συνεχώς να αποφασίζει και να ελίσσεται σε διαρκώς μεταβαλ .κόσμο.Έχει μεγαλύτερο εύρος επιλογών.
Σας πληροφορώ ότι ανοίγω καινούργιο οδοντιατρείο. Παρακαλώ διαδώστε το. Ειδικές προσφορές σε όλους τους φίλους που μου συστήνουν νέους πελάτες. Κάντε Click.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΡΑΜΑΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ.
1 Δορυφορικό 3 ης Ομάδας. 2 ΕΜΕΙΣ πώς βλέπουμε το Λόγο του Θεού;
3ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Πρωτοπόρων Δασκάλων Συνεργάτες στη Μάθηση Microsoft Hellas.
Πάντα ακούμε τους «κανόνες» των γυναικών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εξωτερική Αξιολόγηση – Διαδικασία.
 Σάββατο πρωί. Μόλις ξημέρωσε, όλα τα παιδιά στον δρόμο με τις σάκες στον ώμο έτοιμα για το σχολείο. Με την αγωνία στα μάτια τους και το τραχύ βήμα στα.
Η αξιολόγηση των σχολικών βιβλίων Κοινωνικών Επιστημών της Πέμπτη τάξης Akdoğan Dr. Fazıl Küçük Τάξη 5 Rabiya Mentes.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην έννοια του Αλγόριθμου και τον Προγραμματισμό 1.1 Τι είναι ‘πρόβλημα’ 1.2 Τι είναι ‘Αλγόριθμος’
Έρευνα για το Εθνικό Φορολογικό Σύστημα Αθήνα 9 Νοεμβρίου ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Ι.Ο.Φο.Μ. Ι.Ο.Φο.Μ. – Π.Μ.Σ. Φορολογία και Ελεγκτική.
Εργασία Η υλοποίηση του αλγορίθμου συγχώνευσης θα πρέπει να χρησιμοποιεί την ιδέα των ροών (streams). Θα πρέπει να υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη.
Τάξη Ε Ενότητα 1 Αφαίρεση Μαρία Μ. Χαραλάμπους
Προγραμματισμός Ενότητας στο μάθημα των Ελληνικών
Διδασκαλία εννοιών προγραμματισμού με το Scratch για τις Ε’ και ΣΤ’ δημοτικού Η παρούσα σειρά μαθημάτων ΤΠΕ υλοποιήθηκε στο 15ο Δημοτικό Σχολείο.
Μάθημα 14ο «Ισοδύναμα κλάσματα» Δάσκαλος: Γιάννης Στυλιανού
Πώς κάνουμε τα μαθήματά μας στο σπίτι Κάνουμε 3 απλά βήματα.
7ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Πρωτοπόρων Εκπαιδευτικών Συνεργάτες στη Μάθηση Microsoft Hellas.
Η εφαρμογή που χρησιμοποιήσαμε είναι το PLANNER 5D. Είναι μια εφαρμογή η οποία χρησιμεύει στην σχεδίαση κτηρίων σε μορφή 2D και 3D.
Στην τάξη μου.
Τίτλος δραστηριότητας: Όνομα Εκπαιδευτικού: Σχολείο:
Τάξη Δ’ Ενότητα 4 Στάση Βροχοσταλίδων Ευρυδίκη Παπαγεωργίου.
Εισαγωγικά Θέματα WWW Διαδικαστικά του μαθήματος 2007 – 2008.
Χρησιμοποίησέ το ξανά … και ξανά … και ξανά
Ενότητα 4 Σκουπίδια στη θάλασσα Δασκάλα: Ευρυδίκη Παπαγεωργίου.
Το Εκτεταμένο Μοντέλο Οντοτήτων - Συσχετίσεων
Ταυτοποίηση (Unification). Πίνακας Ταυτοποίησης Όρος 1 Όρος 2 C1 X1 F (τ 1,…,τ ν ) C2 Επιτυχές αν C1 == C2 Επιτυχές {Χ1 = C2} Αποτυγχάνει Χ2 Επιτυχές.
ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΤΑ ΤΡΙΑ ΑΛΦΑ!!~!! ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΠΑΠΑΔΑΚΗ ΕΛΙΑΝΝΑ ΠΑΠΑΝΔΡΕΟΥ
ΤΑ ΠΡΩΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΑΓΟΡΑ « Τα ανοίγματα 1  και 1  »
ΦΙΛΙΑ Σε μια αληθινή φιλία, βρίσκομαι μαζί με τον άλλο άνθρωπο για να μοιραστούμε την ίδια τη ζωή, τις χαρές και τις λύπες της. Ο αληθινός φίλος είναι.
ΕΡΕΥΝΑ ΚΕ.ΜΕ.ΤΕ. - Ο.Λ.Μ.Ε. (Απρίλης – Μάης 2008)
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ
1 4 Ερωτήσεις σε ένα Τετράγωνο B A Δ Γ Κοίταξε προσεκτικά το σχήμα. Θα σου κάνω 4 ερωτήσεις. Είσαι έτοιμος;
Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Μάθημα: Θρησκευτικά Υπ. Καθηγητής: Γ. Καπετανάκης Μαθήτρια: Κατερίνα Ζιάκα Τμήμα: Β1 Σχολικό έτος:
« ΨΑΧΝΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ 1821 » ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Β΄, Ε΄ και ΣΤ΄ τάξεις του 27 ου Πειραματικού Δημ. Σχολείου Αθηνών.
Πανεπιστήμιο Βόλου Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης «Αρχαία Ελληνική και Βυζαντινή Ιστορία και Πολιτισμός» Μάθημα 3 ο (Μυκηναϊκός Πολιτισμός – Γεωμετρική.
Γυμνάσιο Αγίου Νεοφύτου Φυσιογνωστικά Α΄ Γυμνασίου.
«DIFRIENDS» Κατερίνα Μαρία-Αγγελική Βασιλική Ανδριάνα Σενάριο για το μάθημα της Γλώσσας Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Κ. Κατερίνα Νικολοπούλου.
Διδάσκων: Αριστοτέλης Παπαδόπουλος Ημερομηνία διδασκαλίας: 22/4/2016 Σχολικό έτος: Μάθημα: Πολιτική Παιδεία Τάξη: Α’ Λυκείου Τίτλος μαθήματος:7.8.
Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
Πρόλογος Κυριαρχεί η τάξη στον κόσμο μας;
ΜΥΛΟΙ.
«Το αλφαβητάρι της Ιλιάδας»
Ενθαρρύνοντας την ανταπόκριση στη Βιβλική Αλήθεια
ΣΑΝΤΟΡΙΝΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΟΣ ΟΔΗΓΟΣ
Βήματα Πίστης Παλαια Διαθήκη Τόμος 3
Παρουσίαση θέματος – Προϋποθέσεις επιτυχίας
Παρουσιάζουν οι : Αποστόλης Τσιριβάκος Βασίλης Χουβαρδάς από το Ε2
Πορεία Διδασκαλίας-Στάδια Διδασκαλίας
ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ
Συνηρημένα ρήματα σε –αω (ενεργητική & μέση φωνή)
Δυσκολίες των Μαθηματικών
Ζωγράφου Αθηνά (ΠΕ02)-Κοπατσάρη Γεωργία (ΠΕ03)
Ας φτιάξουμε ένα ελέφαντα!
Πανεπιστήμιο Βόλου Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης
ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2016 ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΙΑΤΙΚΟΣ ΣΤΟΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΚΑΒΑΛΑΣ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ.
ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Β.ΕΠΑΛ-Γενικής Παιδείας  ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στης αρχές Επιστήμης των Η/Υ  ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Γλώσσες Αναπαράστασης Αλγορίθμων  ΕΝΟΤΗΤΑ 4.2: Δομή Ακολουθίας 
Η παρουσίαση αυτή ίσως προκαλέσει συζήτηση με το κοινό από την οποία θα προκύψουν ενέργειες. Χρησιμοποιήστε το PowerPoint για να καταγράψετε τις ενέργειες.
Λογισμικό Εφαρμογών/Επεξεργασία Κειμένου
Λογισμικό Εφαρμογών/Επεξεργασία Κειμένου
Λογισμικό Εφαρμογών/Επεξεργασία Κειμένου
Λογισμικό Εφαρμογών/Επεξεργασία Κειμένου
Λογισμικό Εφαρμογών/Επεξεργασία Κειμένου
Λογισμικό Εφαρμογών/Επεξεργασία Κειμένου
Λογισμικό Εφαρμογών/Επεξεργασία Εικόνας
МИФ ғылымына саяхат Интелектуалды шоу.
Νηπιαγωγείο Κ. Μαζαρακίου
Μεταγράφημα παρουσίασης:

Χάος και Φράκταλ 8 Νοεμβρίου 2007: Παράγραφος 2.4 « Η Μυστηριώδης Νήσος του Mandelbrot » Αυτές οι σελίδες Powerpoint συμπληρώνουν το κείμενο του βιβλίου. Τα έδειξα κατά τη διάρκεια του μαθήματος, και μ’ αυτό τον τρόπο μπορούν τώρα και οι φοιτητές που έχασαν το μάθημα λόγω συνέλευσης να δουν τι ειπώθηκε. Ο διδάσκων, Ιάκωβος βαν ντερ Βέιλε 8 Νοεμβρίου 2007

Η μυστηριώδης νήσος του Mandelbrot

Για ποιες τιμές του c είναι το σύνολο Julia της μιγαδικής απεικόνισης z n+1 = z n 2 + c συνεκτικό;

Απάντηση b a στο (a,b) επίπεδο : c = a + i b

a b c = a + i bc = a + i b Το νησί του Mandelbrot

Το νησί του Mandelbrot είναι κι αυτό το ίδιο ένα συνεκτικό φράκταλ!

Για να δούμε τώρα ένα ακρωτήρι του νησιού: c = i

Πράγματι ένα ακρωτήρι

Ποιο σύνολο Julia αντιστοιχεί στο ακρωτήρι c = i ; Δηλαδή, ψάχνουμε το σύνολο των αρχικών σημείων z 0 που δεν καταλήγουν στο άπειρο υπό την επίδραση της απεικόνισης z n+1 = z n 2 + i

x y

χρειαζόμαστε περισσότερα βήματα

όλο και περισσότερα βήματα

και πάλι περισσότερα βήματα Μόλις συνεκτικό... όπως περιμέναμε

Ποια θα είναι η διάσταση D c της ακτής του νησιού ;

Σημείο συμπύκνωσης

Χάρη στα σημεία συμπύκνωσης στις « ουρές του ιππόκαμπου » : D c = 2 Η μέγιστη τιμή για μια ακτή Ζήτω ο Mandelbrot! Shishikura, 1991

Πώς εξηγείται το σχήμα του νησιού ;

Από τα πολλά πολλά μυστικά που κρύβει ακόμα η Νήσος του Mandelbrot, εμείς διαλέγουμε μόνο ένα: την ξακουστή ακολουθία διπλασιασμού περιόδων

κλπ Ακολουθία διπλασιασμού περιόδων

Όπως θα δούμε στα επόμενα μαθήματα, αυτή η ακολουθία είναι πολύ σημαντική: μετάβαση από Τάξη σε Χάος.

Tέλος