Γιάννης Σταματίου Γεννήτριες συναρτήσεις Webcast 5

Τι είναι η γεννήτρια συνάρτηση; Δοθείσας μίας ακολουθίας a0, a1, a2, …, η συνήθης γεννήτρια συνάρτησή της είναι η

Τι είναι η γεννήτρια συνάρτηση; Δοθείσας μίας ακολουθίας a0, a1, a2, …, η συνήθης γεννήτρια συνάρτησή της είναι η Η παράσταση αυτή είναι, απλά, η σειρά της ακολουθίας anzn όταν το n τείνει στο άπειρο

Τι είναι η γεννήτρια συνάρτηση; Δοθείσας μίας ακολουθίας a0, a1, a2, …, η συνήθης γεννήτρια συνάρτησή της είναι η Η παράσταση αυτή είναι, απλά, η σειρά της ακολουθίας anzn όταν το n τείνει στο άπειρο Προσέξτε! Η γεννήτρια συνάρτηση εξαρτάται μόνο από το z

Τι είναι η γεννήτρια συνάρτηση; Δοθείσας μίας ακολουθίας a0, a1, a2, …, η συνήθης γεννήτρια συνάρτησή της είναι η Η παράσταση αυτή είναι, απλά, η σειρά της ακολουθίας anzn όταν το n τείνει στο άπειρο Προσέξτε! Η γεννήτρια συνάρτηση εξαρτάται μόνο από το z Σύγκλιση; Μεγάλη ιστορία (Ανάλυση) μέρος της οποίας θα δούμε αμέσως πιο κάτω!

Παραδείγματα an = 2n

Παραδείγματα an = 2n Σύγκλιση:z<1/2

Παραδείγματα an = 2n an = 4n Σύγκλιση:z<1/2

Παραδείγματα an = 2n an = 4n Σύγκλιση:z<1/2 Σύγκλιση:z<1/4

Παραδείγματα an = 2n an = 4n an = C(2n,n) Σύγκλιση:z<1/2

Παραδείγματα an = 2n an = 4n an = C(2n,n) Σύγκλιση:z<1/2

Παραδείγματα an = 2n an = 4n an = C(2n,n) Λίγο προχωρημένο! Σύγκλιση:z<1/2 Σύγκλιση:z<1/4 Λίγο προχωρημένο!

Ωραία όλα αυτά, αλλά ποια είναι η σημασία των γεννητριών συναρτήσεων; Γεννήτρια συνάρτηση: Αντίστοιχη ακολουθία:

Ωραία, αλλά ποια είναι η σημασία των γεννητριών συναρτήσεων; Γεννήτρια συνάρτηση: Αντίστοιχη ακολουθία:

Ωραία, αλλά ποια είναι η σημασία των γεννητριών συναρτήσεων; Γεννήτρια συνάρτηση: Αντίστοιχη ακολουθία:

Ωραία, αλλά ποια είναι η σημασία των γεννητριών συναρτήσεων; Γεννήτρια συνάρτηση: Αντίστοιχη ακολουθία:

Ωραία, αλλά ποια είναι η σημασία των γεννητριών συναρτήσεων; Γεννήτρια συνάρτηση: Αντίστοιχη ακολουθία:

Ωραία, αλλά ποια είναι η σημασία των γεννητριών συναρτήσεων; Γεννήτρια συνάρτηση: Αντίστοιχη ακολουθία:

Ωραία, αλλά ποια είναι η σημασία των γεννητριών συναρτήσεων; Γεννήτρια συνάρτηση: Αντίστοιχη ακολουθία: Οι ιδιότητες της ακολουθίας «μεταφέρονται» (κωδικοποιούνται) στη γεννήτρια συνάρτηση!

Γεννήτριες συναρτήσεις και DNA!

Γεννήτριες συναρτήσεις και DNA!

Γεννήτριες συναρτήσεις και DNA! Δοθείσας μιας γεννήτριας συνάρτησης υπάρχει μοναδική ακολουθία στην οποία αντιστοιχεί

Μα πώς βρίσκουμε τη γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας που ψάχνουμε; Είπαμε ότι η γεννήτρια συνάρτηση οδηγεί στον καθορισμό της ακολουθίας που μας ενδιαφέρει σε ένα πρόβλημα μέτρησης

Μα πώς βρίσκουμε τη γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας που ψάχνουμε; Είπαμε ότι η γεννήτρια συνάρτηση οδηγεί στον καθορισμό της ακολουθίας που μας ενδιαφέρει σε ένα πρόβλημα μέτρησης Όμως! Πώς μπορούμε να βρούμε τη γεννήτρια συνάρτηση μιας άγνωστης ακολουθίας την οποία και ψάχνουμε; Όχι από τον ορισμό φυσικά!

Μα πώς βρίσκουμε τη γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας που ψάχνουμε; Είπαμε ότι η γεννήτρια συνάρτηση οδηγεί στον καθορισμό της ακολουθίας που μας ενδιαφέρει σε ένα πρόβλημα μέτρησης Όμως! Πώς μπορούμε να βρούμε τη γεννήτρια συνάρτηση μιας άγνωστης ακολουθίας την οποία και ψάχνουμε; Όχι από τον ορισμό φυσικά! Υπάρχει μία πολύ βασική τεχνική που βασίζεται στην εύρεση αναδρομικής περιγραφής της λύσης σε ένα πρόβλημα μέτρησης

Εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις Ποια είναι η γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας an = n!, της οποίας ο «νιοστός» όρος δίνει τον αριθμό των μεταθέσεων n διαφορετικών στοιχείων; Ας εφαρμόσουμε τον ορισμό μας: Συγκλίνει, όμως, το άθροισμα; Υπάρχει, δηλαδή, αριθμός c έτσι ώστε για |z| < c το άθροισμα να είναι πεπερασμένο και να εξαρτάται μόνο από το z; Όχι!

Ένας ορισμός που «δουλεύει»! Δοθείσας μίας ακολουθίας a0, a1, a2, …, η εκθετική γεννήτρια συνάρτησή της είναι η Η παράσταση αυτή δεν είναι παρά η σειρά της ακολουθίας (an/n!)zn όταν το n τείνει στο άπειρο Πάλι, η γεννήτρια συνάρτηση εξαρτάται μόνο από το z Σύγκλιση; Η διαίρεση με n! εξασφαλίζει τη σύγκλιση για ακολουθίες που μεγαλώνουν πολύ γρήγορα όπως είναι η ίδια η n!

Παραδείγματα an = n!

Παραδείγματα an = n! Σύγκλιση:z<1

Παραδείγματα an = n! an = (n-1)! (αριθμός κυκλικών μεταθέσεων) Σύγκλιση:z<1

Παραδείγματα an = n! an = (n-1)! (αριθμός κυκλικών μεταθέσεων) Σύγκλιση:z<1

Παραδείγματα an = n! an = (n-1)! (αριθμός κυκλικών μεταθέσεων) an = 1 Σύγκλιση:z<1 an = 1

Παραδείγματα an = n! an = (n-1)! (αριθμός κυκλικών μεταθέσεων) an = 1 Σύγκλιση:z<1 an = 1