E-mail: coin_kav@otenet.gr Η βοήθεια της φυσικής και της χημείας κατά τη διδασκαλία βασικών μαθηματικών εννοιών Σάλτας Βασίλειος Διδάκτωρ Μαθηματικών Τηλ.: 251-0-835066 E-mail: coin_kav@otenet.gr Γενικό Τμήμα Θετικών Επιστημών ΤΕΙ Καβάλας

Εισαγωγή Πολλές μαθηματικές ασκήσεις εμφανίζονται σε διαφορετικές φόρμες και σε άλλες επιστήμες ή και το αντίστροφο. Κατά τις ασκήσεις αυτές: γνώσεις και επιδεξιότητες διδακτικού αντικειμένου x χρησιμοποιούνται για την αιτιολόγηση διδακτικού αντικειμένου y. Και ακόμη, γνώσεις και επιδεξιότητες από το x χρησιμοποιούνται κατά τη «γέννηση» της θεωρίας του y. Η σχέση των μαθηματικών (y) με τη χημεία (x) και τη φυσική (x) θα επισημανθεί στη διδασκαλία των εννοιών: 1. Εσωτερικό γινόμενο 2. Συνάρτηση 3. Παράγωγος συνάρτησης Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Διδακτική σχέση των μαθηματικών με τη φυσική και τη χημεία – μοντέλο Διδακτική σχέση των μαθηματικών με τη φυσική και τη χημεία – μοντέλο φυσική – χημεία διδακτική σχέση επιστημονική σχέση διδακτική σχέση μαθητή μαθηματικά διδακτική σχέση Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Δημιουργία ενδιαφέροντος για λύση ασκήσεων Λύση ασκήσεων από τους μαθητές με βοήθεια ή ατομικά Σωστή εκλογή και τοποθέτηση των ασκήσεων προς λύση . Εξασφάλιση της σκοπιμότητας της ενέργειας «λύση της άσκησης». Προκαταβολική ανάλυση και συστηματοποίηση των μαθηματικών γνώσεων. Διαιρούμενη και στην ώρα της διατύπωση όλων των ικανοτήτων συνδεόμενων με τις νέες γνώσεις. Ταξινόμηση των θεωρημάτων και των ορισμών. Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Μαθηματική μοντελοποίηση – βασικοί ορισμοί Μοντελοποίηση: η γνωστική μέθοδο όπου, καλά αναπτυγμένες και γνωστές έννοιες από ένα τομέα, αντιπαραθέτονται με μη αναπτυγμένες και άγνωστες έννοιες από κάποιο άλλο τομέα. Μοντέλα: οι γνώσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται για τη μελέτη και επεξήγηση άλλων γνώσεων. Πρωτότυπες: οι προς μελέτη γνώσεις. Μαθηματικό μοντέλο: αποτελείται από μαθηματικές σχέσεις Μαθηματική μοντελοποίηση: η διαδικασία με την οποία δημιουργείται το μοντέλο. Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Στάδια μαθηματικής μοντελοποίησης Μελέτη του πρωτοτύπου και εν συνεχεία καθορισμός των χαρακτηριστικών, των σχέσεων και των παραμέτρων, τα οποία το προσδιορίζουν. Δημιουργία του μαθηματικού μοντέλου. Λύση της δημιουργημένης μαθηματικής άσκησης. Εκτίμηση της λαμβανόμενης λύσης. Το στάδιο αυτό διαιρείται σε δυο μέρη: Έλεγχος της σχέσης αποτελέσματος και μαθηματικού μοντέλου. Έλεγχος της σχέσης μαθηματική λύση και πρωτοτύπου Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Παράδειγμα μαθηματικής μοντελοποίησης «Από τις πόλεις Α και Β ξεκίνησαν δυο αυτοκίνητα, προς συνάντηση, με ταχύτητα 80Km/h και 60Km/h αντίστοιχα. Συναντήθηκαν 30Km μετά το μέσο της διαδρομής Μ. Να υπολογιστεί η απόσταση ΑΒ.» Α x Β Μ 30 Λύση 1. Έστω με 2x να συμβολίσουμε την απόσταση ΑΒ. 2. Μαθηματική μοντελοποίηση: Επειδή t1=t2 θα ισχύει: 3. Η μαθηματική λύση της εξίσωσης: x=210Km άρα ΑΒ=420Km. 4. Αν υποθέσουμε ότι ΑΒ=420Km, τότε αφού οι ταχύτητες είναι 80Km/h, 60Km/h και θα συναντηθούν 30Km μετά το μέσο της διαδρομής, θα ισχύει t1=t2. Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Η βοήθεια της χημείας στη διδασκαλία των μαθηματικών Η βοήθεια της χημείας στη διδασκαλία των μαθηματικών «Να συμπληρωθούν οι συντελεστές α, β, γ, δ και ε στην ακόλουθη χημική εξίσωση: αH2S04 + βCu + γO2 δCuSO4 + εH2Ο.» Λύση (Μαθηματική μοντελοποίηση) Δημιουργείται η διατεταγμένη τετράδα (H, S, O, Cu): α(2, 1, 4, 0)+β(0, 0, 0, 1)+γ(0, 0, 2, 0)=δ(0, 1, 4, 1)+ε(2, 0, 1, 0). Άρα (2α, α, 4α+2γ, β)=(2ε, δ, 4δ+ε, δ) οπότε 2α=2ε, α=δ, 4α+2γ=4δ+ε και β=δ. Αν α=2 τότε: β=2, γ=1 και δ=ε=2. Επομένως: 2H2S04 + 2Cu + 1O2 2CuSO4 + 2H2Ο. «Να υπολογιστεί το ΜΒ του H2Ο, αν τα ατομικά βάρη των Η και O είναι αντίστοιχα 1και 16 (παρατήρηση: εφαρμογή εσωτερικού γινομένου).» Δημιουργούνται τα διατεταγμένα ζεύγη (H, O) και (ΑΒΗ, ΑΒΟ) με ΜΒ= (2, 1).(1, 16)=2.1+1.16=18 και κατά συνέπεια το ΜΒ του Η2Ο θα είναι 18. Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Εφαρμογή εσωτερικού γινομένου Λύση γραμμικών συστημάτων Διδακτικοί σκοποί Εμπέδωση των εννοιών: Διατεταγμένο ζεύγος Διατεταγμένη τετράδα Εφαρμογή εσωτερικού γινομένου Λύση γραμμικών συστημάτων Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Η βοήθεια της φυσικής στη διδασκαλία των μαθηματικών Η βοήθεια της φυσικής στη διδασκαλία των μαθηματικών Ορισμός: Συνάρτηση ονομάζεται το μεταβαλλόμενο μέγεθος, η τιμή του οποίου αλλάζει σε εξάρτηση με τις τιμές άλλου μεταβαλλόμενου μεγέθους. Κατά τον ορισμό αυτό η έννοια «μέγεθος» χρησιμεύει ως σύνδεσμος μεταξύ της φυσικής και των μαθηματικών. Παράδειγμα: Η απόσταση sKm, την οποία κινητό διανύει σε χρόνο t h, έχοντας ταχύτητα v Km/h, είναι ίση με v.t. Αν v=50Km/h, τότε s=50.t Km. Ο τύπος αυτός δηλώνει τη σχέση μεταξύ της απόστασης και του χρόνου που διανύεται, με σταθερή ταχύτητα 50 Km/h. Τα ποσά s, t είναι ανάλογα: για t=1 h s=50 Km, για t=1,5 h s=75 Km, για t=2h s=100Km κ.τ.λ Κατά συνέπεια: s=s(t)=v.t. Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Διδακτικό σύστημα ασκήσεων εμπέδωσης της έννοιας «παράγωγος συνάρτησης» Ιστορική αναδρομή της έννοιας παράγωγος συνάρτησης Βήματα υπολογισμού παραγώγου συνάρτησης Γεωμετρική ερμηνεία της έννοιας παράγωγος συνάρτησης Εξίσωση εφαπτομένης: y-f(x0)=f´(x0)(x-x0). Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Εφαρμογή της παραγώγου συνάρτησης στη φυσική και τη χημεία Εφαρμογή της παραγώγου συνάρτησης στη φυσική και τη χημεία Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Παράδειγμα εφαρμογή της παραγώγου συνάρτησης στη φυσική «Σώμα κινείται ευθύγραμμα με s(t)=αt2. Σε ποια χρονική στιγμή η ταχύτητά του θα είναι ίση με 3α.» Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας

Συμπεράσματα Οι προαναφερόμενες πρακτικές εφαρμογές και συσχετίσεις των μαθηματικών, θεωρούμε ότι βοηθούν τους μαθητές στα ακόλουθα: Αυξάνουν το ενδιαφέρον τους για τα μαθηματικά, αφού διαπιστώνουν ότι αυτά δεν είναι ανεξάρτητα και χωρίς πρακτική εφαρμογή, σε άλλους επιστημονικούς τομείς. Για μικρό χρονικό διάστημα μαθαίνονται περισσότερα από ένα πράγματα και χρησιμοποιούνται οι γνώσεις από τις διάφορες επιστήμες. Δρ. Σάλτας Βασίλειος ΤΕΙ Καβάλας