Αριθμοί Catalan και Stirling Διπλωματική Εργασία Δέδε Γεωργία Αθήνα, 2013

ΔΟΜΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΡΙΘΜΟΙ CATALAN και εφαρμογές ΑΡΙΘΜΟΙ STIRLING α’ και β’ είδους και εφαρμογές

Τι είναι; ή καλύτερα Τι ΔΕΝ είναι; Διακριτά Μαθηματικά Τι είναι; ή καλύτερα Τι ΔΕΝ είναι;

Διακριτά Μαθηματικά Αφορούν σε δομές διακριτές (μη συνεχείς) π.χ. σύνολα, άλγεβρες Boole, διάφορες κατηγορίες ακεραίων, γραφήματα, τυπικές γλώσσες

Διακριτά Μαθηματικά π.χ. το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων Συγκέντρωση σε έναν κλάδο προβλημάτων που ταλάνιζαν για χρόνια τους Μαθηματικούς και δεν μπορούσαν να λυθούν με βάση τη Μαθηματική Ανάλυση! π.χ. το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων

Γιατί μια πρόταση είναι αληθής! Διακριτά Μαθηματικά Λογική και Απόδειξη Γιατί μια πρόταση είναι αληθής!

Διωνυμικοί Συντελεστές Εμφανίζονται στο Διωνυμικό Θεώρημα:  

Διωνυμικοί Συντελεστές  

Διωνυμικοί Συντελεστές  

Τρίγωνο του Pascal  

Τρίγωνο του Pascal Κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς στην επάνω σειρά, π.χ. 10 = 6+4. Προηγούμενη αναφορά από τον Κινέζο Μαθηματικό Chu Shih – Chieh «Τέλειος καθρέπτης των τεσσάρων στοιχείων» (1303).

Ακολουθίες Αριθμών Bell Motkzin Lucas – Fibonacci

Αριθμοί Bell Eric Temple Bell (February 7, 1883 – December 21, 1960) Γνωστός και ως John Taine, συγγραφέας αστυνομικών μυθιστορημάτων

Αριθμοί Bell  

Αριθμοί Motzkin Theodore Samuel Motzkin (26 March 1908–15 December 1970)

Αριθμοί Motzkin  

Αριθμοί Lucas - Fibonacci Leonardo Pisano Bigollo (c. 1170 – c. 1250) γνωστός και ως Fibonacci, σύντμηση για το filius Bonacci, δηλαδή γιος του Guglielmo Bonacci

Αριθμοί Lucas - Fibonacci Το 1202 στο βιβλίο Liber Abaci («Περί του Άβακα») κατέγραψε τη μαθηματική γνώση που συγκέντρωσε στα ταξίδια του γύρω στη Μεσόγειο. Εκεί, έθεσε το πρόβλημα του υπολογισμού των απογόνων που προκύπτουν από ένα ζευγάρι κουνελιών, που δεν αναπαράγει τον πρώτο μήνα της ζωής του και στη συνέχεια γεννά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών κάθε μήνα.

Αριθμοί Lucas - Fibonacci   n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fn 13 21 34 55

Αριθμοί Lucas - Fibonacci  

Αριθμοί Catalan Eugène Charles Catalan (Bruges 30/05/1814 – Liège 14/02/1894) Αρχικά είχε το επίθετο Bardin, της μητέρας του, αφού οι γονείς του παντρεύτηκαν όταν ήταν 7 ετών

Η μοναδική λύση στο πρόβλημα: Αριθμοί Catalan ασχολήθηκε με προβλήματα παραστατικής γεωμετρίας, συνεχών κλασμάτων, θεωρίας αριθμών και συνδυαστικής έδωσε το όνομά του σε μια περιοχή του R3 και στους αριθμούς Catalan έθεσε το πρόβλημα που σήμερα ονομάζουμε «εικασία του Catalan» Η μοναδική λύση στο πρόβλημα: xa + yb = 1, για a,x,b,y>1 είναι x=3, a=2, b=3, y=2.

Αριθμοί Catalan   n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cn 14 42 132 429 1430 4862

Αριθμοί Catalan Ο πρώτος που τους όρισε και τους χρησιμοποίησε ήταν ο Μογγόλος Μαθηματικός, Αστρονόμος και Τοπογράφος Minggatu το 1730 Η πρώτη αναφορά από τον Catalan έγινε το 1838 στη επίλυση του προβλήματος τοποθέτησης παρενθέσεων σε ένα γινόμενο

Αριθμοί Catalan Οι αριθμοί Catalan προκύπτουν από το τρίγωνο του Pascal, αν από την κεντρική στήλη και για τις σειρές άρτιου αριθμού αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες τιμές τις μεθεπόμενης στήλης

Τριγωνισμός n-γώνου Ένας τριγωνισμός ενός κυρτού n-γώνου είναι μια διαμέριση του εσωτερικού του n-γώνου σε τρίγωνα με ευθείες που είναι μη τεμνόμενες διαγώνιοι του n-γώνου.

Τριγωνισμός n-γώνου  

Οι δυνατοί τριγωνισμοί ενός πενταγώνου. Τριγωνισμός n-γώνου   Οι δυνατοί τριγωνισμοί ενός πενταγώνου.   n1 n5 n4 n3 n2

Χειραψίες σε κυκλικό τραπέζι  

Τοποθέτηση Παρενθέσεων σε γινόμενο  

Τοποθέτηση Παρενθέσεων σε γινόμενο π.χ. για n=4 ((x1x2)(x3x4)) (((x1x2)x3)x4) ((x1(x2x3))x4) (x1 ((x2x3)x4)) (x1 (x2(x3x4)))  

Σχεδίαση οροσειρών με n ανοδικές πλευρές (/) και n καθοδικές πλευρές (\)  

Το πρόβλημα της κάλπης  

Dyck Paths/Διαδρομές  

Dyck Paths/Διαδρομές π.χ. για n=4  

Μεταθέσεις  

Μεταθέσεις

Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα  

Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα  

Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

(Stirlingshire 1692 – Edinburgh 1770) James Stirling (Stirlingshire 1692 – Edinburgh 1770) Ασχολήθηκε με σειρές, διαφορικές εξισώσεις, Συνδυαστική, Μηχανική, Οπτική, Υδροδυναμική και Αστρονομία Η συμμετοχή του στο κίνημα των Ιακωβιτών για την απελευθέρωση της Σκωτίας καθυστέρησε την επαγγελματική του σταδιοδρομία και δυσκόλεψαν τη ζωή του Εκτός από επιτυχημένος Μαθηματικός ήταν εξίσου επιτυχημένος Μηχανικός και διευθυντής εταιρείας ορυχείων

Αριθμοί Stirling β’ είδους  

Αριθμοί Stirling β’ είδους οι αριθμοί Stirling β’ είδους για 1≤k≤n≤6:

Αριθμοί Stirling β’ είδους Τοποθέτηση σε τρίγωνο:

Αριθμοί Stirling β’ είδους Κάθε αριθμός στο τρίγωνο προκύπτει αν προσθέσουμε τον πάνω αριστερά με τον πάνω δεξιά πολλαπλασιασμένο επί την τάξη του στη γραμμή που βρίσκεται, π.χ. 25 = 7 + 6*3

Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας Πολλά προβλήματα απαρίθμησης αντικειμένων είναι δυνατό να τα διατυπώσουμε σα να είχαμε να τοποθετήσουμε μπάλες σε κελιά ή δοχεία. Έχουμε αντιστοιχίσει, λοιπόν, τις μπάλες στα προς απαρίθμηση αντικείμενα και τα κελιά στις στάθμες απαρίθμησης. Το ερώτημα που τίθεται είναι με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε n μπάλες σε m κελιά, δεδομένου ότι σε κάθε κελί μπορούν να χωρέσουν και όλες οι μπάλες.

Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας Οι διαφορετικές περιπτώσεις των προβλημάτων πληρότητας φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. (pm(n) εκφράζει το πλήθος των διαμερίσεων του φυσικού n σε m προσθετέους, κάποιοι από τους οποίους μπορεί να είναι 0)

Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας  

Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας  

Αριθμοί Stirling β’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας

Αριθμοί Stirling α’ είδους  

Ευχαριστώ!