Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ (ΜΑ , PhD) Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Κιλκίς 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

Εξισώσεις δευτέρου βαθμού : ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διδακτική ενότητα : Εξισώσεις δευτέρου βαθμού : Α. Επίλυση εξισώσεων Β΄ βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων Προτεινόμενες διδακτικές ώρες (2) 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

Εισαγωγή : Λόγοι που επιβάλλουν την διδασκαλία των δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Παρέχουν τα πρώτα θεμελιώδη στοιχεία σχεδιασμού και ερμηνείας των γραφικών παραστάσεων (οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα xx΄ ), τα οποία είναι απαραίτητα για την γενικότερη μελέτη των συναρτήσεων στην Γ΄ Λυκείου. Υπάρχουν πολλά προβλήματα της καθημερινότητας που συνδέονται με την επίλυση εξισώσεων β΄ βαθμού. 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

(I) ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να γνωρίζουν τις διάφορες μορφές εξισώσεων β΄ βαθμού. Να λύνουν εξισώσεις δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων. Να μετατρέπουν ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

(II) ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Να γνωρίζουν ότι αν : α•β = 0 τότε α = 0 ή β = 0 Να γνωρίζουν τί λέγεται εξίσωση και τί ρίζα ή λύση μιας εξίσωσης. Να γνωρίζουν πότε μια εξίσωση έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατη ή είναι ταυτότητα. Να ξεχωρίζουν τις ισότητες απο τις εξισώσεις. 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

(III) ΚΥΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Επίλυση εξίσωσης της μορφής : αx2 + β x = 0 με α≠0 Επίλυση εξίσωσης της μορφής : αx2 + γ = 0 με α≠0 Επίλυση εξίσωσης της μορφής : αx2 + β x + γ= 0 με α≠0 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

(IV) ΠΟΡΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΦΟΡΜΗΣΗ (Ως γνωστόν, η αφόρμηση προηγείται της παρουσίασης της νέας ύλης και αποσκοπεί στην νοητική και συναισθηματική προπαρασκευή των μαθητών, ώστε να παρακολουθήσουν όσα πρόκειται να διαμειφθούν στη διδακτική ώρα που θα διανυθεί. Συνήθως, επιχειρείται από το διδάσκοντα με κατάλληλες ερωτήσεις ή δραστηριότητες η σύνδεση με τα προηγούμενα αλλά και η δημιουργία προσδοκιών για όσα πρόκειται να ακολουθήσουν). Εδώ η σύνδεση της συγκεκριμένης ενότητας με την προηγούμενη γνώση και η εισαγωγή της καινούργιας προτείνεται να γίνουν με δραστηριότητες. Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να δώσουμε ενδεικτικά στους μαθητές την παρακάτω δραστηριότητα : 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

Εμβ.(βεράντας) = Εμβ.(μπαλκονιού) x2 = β · υ x2 = 9 · 1 x2 = 9 x2 = 32 ΛΥΣΗ : α) Αν ονομάσουμε x το μήκος της πλευράς της τετραγωνικής βεράντας τότε λόγω του ότι αυτή έχει το ίδιο εμβαδόν με το μπαλκόνι θα ισχύει η σχέση : Εμβ.(βεράντας) = Εμβ.(μπαλκονιού) x2 = β · υ x2 = 9 · 1 x2 = 9 x2 = 32 x2 - 32 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 οπότε x - 3 = 0 ή x + 3 = 0 και άρα x = 3 ή x = - 3 (απορρίπτεται διότι πρέπει x > 0) 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

Εμβ.(βεράντας) = Εμβ.(μπαλκονιού) (x + 3)2 = β · υ (x + 3)2 = 9 · (1 + x) x2 + 6x + 9 = 9 + 9x x2 + 6x + 9 - 9 - 9x = 0 x2 - 3x = 0 x(x – 3) = 0 x = 0 ή x = 3 (η x = 0 απορρίπτεται διότι θα πρέπει x > 0 ) 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

Εμβ.(βεράντας) + Εμβ.(μπαλκονιού) = 34 m2 (x + 3)2 + β · υ = 34 γ) Θα πρέπει να ισχύει : Εμβ.(βεράντας) + Εμβ.(μπαλκονιού) = 34 m2 (x + 3)2 + β · υ = 34 (x + 3)2 + 9 · (1 + x) = 34 x2 + 6x + 9 + 9 + 9x = 34 x2 + 6x + 9 + 9 + 9x – 34 = 0 x2 + 15x – 16 = 0 4x2 + 60x - 64 = 0 (2x)2 + 2∙2x·15 = 64 (2x)2 + 2∙2x·15 + (15)2 = 64 - (15)2 (2x + 15)2 = 289 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

x = 1 ή x = -16 (απορρίπτεται διότι θα πρέπει x > 0). (Μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου) 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΛΥΣΗ : α) Λ , β) Σ, γ) Σ , δ) Λ , ε) Σ , στ) Σ 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

ΛΥΣΗ : α) Σ , β) Λ , γi) Σ , γii) Σ 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ

Έκανε διαίρεση με το μηδέν . ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ : Έκανε διαίρεση με το μηδέν . ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Προτείνονται οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου : 1α , 1ε , 2β , 3β , 3ε , 4γ , 5δ , 6β , 6γ , 7β 4/3/2017 ΘΩΜΑΣ ΒΑΣΑΚΟΣ ΣΧ. ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ν. ΚΙΛΚΙΣ