Δρ Μύρια Σιακαλλή Σύμβουλος Μαθηματικών Νοέμβριος 2008

 Aξιοποίηση των ΤΠΕ  Μέθοδος «Πρότζεκτ» (Project)  Διαθεματική προσέγγιση  Προβλήματα της καθημερινής ζωής (Real life problems)  Ανοιχτά προβλήματα (Open-ended problems)

Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών  Geometer’s Sketchpad  Euclidraw  Excel  Logo

H Mέθοδος «Project»  «Το πάρτι»

Διαθεματική Προσέγγιση  Γλώσσα Στ΄ Δημοτικού: Ενότητα 1: Διοργάνωση εκδρομής  Γεωγραφία: Κλίμακα

Επίλυση προβλήματος  Τα παιδιά απαντούν σε σχολικά μαθηματικά λεκτικά προβλήματα αγνοώντας την κατάσταση της καθημερινής πραγματικότητας που περιγράφεται στο κείμενο των προβλημάτων.  Παράδειγμα: «Σε ένα κοπάδι υπάρχουν 125 πρόβατα και 5 σκυλιά. Πόσο χρονών είναι ο βοσκός;» (Greer, 1997)

Επίλυση προβλήματος  Το φαινόμενο αυτό οφείλεται:  στο χαρακτήρα των λεκτικών προβλημάτων  στο κλίμα της τάξης  στη φύση της εκπαίδευσης  όχι σε γνωστικές ελλείψεις των παιδιών

Επίλυση προβλήματος  Διδακτικό Συμβόλαιο

Επίλυση προβλήματος  «Ο κύριος Κώστας, ο χασάπης, είχε 26 κιλά κρέας στο κρεοπωλείο του και παράγγειλε ακόμα 10 κιλά. Πόσο κρέας έχει τώρα;»  Σχόλιο: Το κρέας που έχει παραγγείλει δε θα φτάσει έγκαιρα στο κρεοπωλείο και όταν φτάσει μερικά από τα 26 κιλά θα έχουν ήδη πωληθεί.

Επίλυση προβλήματος  «Υπάρχουν 26 πρόβατα και 10 κατσίκια σε ένα πλοίο. Πόσο χρονών είναι ο καπετάνιος;»  Σχόλιο: Αγόραζε ένα ζώο κάθε χρόνο από τον καιρό που γεννήθηκε για να ξέρει κάθε χρόνο πόσο χρονών είναι.  Οι προφορικές περιγραφές των καταστάσεων εξαρτώνται από σιωπηρούς κανόνες ερμηνείας και από ποικιλία υποθέσεων.

Επίλυση προβλήματος  Προβλήματα με περιττά ή ελλειπή δεδομένα  Προβλήματα που απαιτούν κατά προσέγγιση υπολογισμό  Προβλήματα διαδικασίας που λύνονται με την εφαρμογή κάποιας στρατηγικής  Ανοιχτά προβλήματα (open-ended problems)  Προβλήματα της καθημερινής ζωής (real life problems)

Προβλήματα της καθημερινής ζωής

Πρόβλημα με τους «Φίλους»  «Ο Κώστας και ο Γιάννης θα κάνουν κοινό πάρτι. Ο Κώστας έχει 5 φίλους και ο Γιάννης έχει 6 φίλους. Προσκαλούν όλους τους φίλους τους. Όλοι οι φίλοι είναι στο πάρτι. Πόσοι φίλοι είναι στο πάρτι;»  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση:  5+6 = 11 Οι μαθητές θεωρούν δεδομένο ότι ο Κώστας και ο Γιάννης δεν έχουν κοινούς φίλους.  Ρεαλιστικές απαντήσεις:  Δε γνωρίζω γιατί ο Κώστας και ο Γιάννης ίσως έχουν κοινούς φίλους.  Πρέπει να συμπεριλάβω τον Κώστα και τον Γιάννη;

Πρόβλημα με τις «Σανίδες ξύλου»  «Ο Στέλιος αγόρασε 4 σανίδες ξύλου που η καθεμιά είχε μήκος 2,5 m. Πόσες σανίδες μήκους 1 m μπορεί να κόψει από τις σανίδες που αγόρασε;» (Kaelen, 1992)  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: 4x2,5=10 m άρα 10 σανίδες  Ρεαλιστικές απαντήσεις: Μπορεί να κόψει 8 σανίδες. Θα περισσέψουν 4 κομμάτια μήκους 0,5 m το καθένα.

Πρόβλημα με τη «Θερμοκρασία»  «Ποια θα είναι η θερμοκρασία του νερού αν σε ένα δοχείο χύσουμε 1 λίτρο νερού με θερμοκρασία 80 ⁰ και 1 λίτρο νερού με θερμοκρασία 40 ⁰ ;»  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: 80 ⁰ + 40 ⁰ = 120 ⁰  Ρεαλιστικές απαντήσεις:  80 ⁰ + 40 ⁰ = 120 ⁰ 120 ⁰ : 2 = 60 ⁰  Δεν ξέρω. Πρέπει να είναι κάτι ανάμεσα στις δύο θερμοκρασίες.

Πρόβλημα με τα «Λεωφορεία»  «450 στρατιώτες θα μεταφερθούν με λεωφορεία στο χώρο εκπαίδευσής τους. Κάθε λεωφορείο μπορεί να μεταφέρει 36 στρατιώτες. Πόσα λεωφορεία θα χρειαστούν;» (Carpenter, Lindquist, Matthews, & Silver, 1983)  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: 450 : 36 = 12,5 λεωφορεία  Ρεαλιστική απάντηση: Θα χρειαστούν 13 λεωφορεία αν δε θα χρησιμοποιηθεί κάποιο λεωφορείο 2 φορές.

Πρόβλημα με τον «Αγώνα δρόμου»  «Ο Γιάννης διανύει μία απόσταση 100 m σε 17΄΄. Αυτός είναι ο καλύτερός του χρόνος. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί για να διανύσει 1 km;» (Greer, 1993)  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: 10x7=170, 2 λεπτά και 50 δευτερόλεπτα  Ρεαλιστική απάντηση: Δεν μπορώ να ξέρω εξαιτίας της κούρασης του αθλητή. Περίπου 3,5 λεπτά. Σίγουρα περισσότερο από 170 δευτερόλεπτα.

Πρόβλημα με τις «Διαδρομές»  «Ο Νίκος και η Αλίκη πηγαίνουν στο ίδιο σχολείο. Ο Νίκος κατοικεί σε απόσταση 17 km από το σχολείο και η Αλίκη σε απόσταση 8 km. Ποια είναι η απόσταση ανάμεσα στο σπίτι του Νίκου και της Αλίκης;» (Treffers & de Moor, 1990).  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: = – 8 = 9  Ρεαλιστική απάντηση: Δεν μπορώ να απαντήσω, γιατί η απόσταση από το σχολείο και η απόσταση ανάμεσα στα δύο σπίτια είναι σχετική.

Πρόβλημα με τα «Μπαλόνια»  «Ο παππούς έδωσε στα 4 εγγονάκια του ένα κουτί με 18 μπαλόνια για να τα μοιραστούν στα ίσα. Πόσα μπαλόνια θα πάρει το κάθε παιδί;» (Davis, 1989)  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: 18 : 4 = 4,5 μπαλόνια για κάθε παιδί  Ρεαλιστική απάντηση: 4 μπαλόνια και θα περισσέψουν 2 μπαλόνια

Πρόβλημα με τις «Ηλικίες»  «Ο Μάριος γεννήθηκε το Τώρα είναι Πόσο χρονών είναι;» (Nelissen, 1987)  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: = 2008 Είναι 30 χρονών.  Ρεαλιστική απάντηση: Δεν μπορώ να ξέρω με ακρίβεια. 29 ή 30 χρονών.

Πρόβλημα με το «Σχοινί»  «Ένας κύριος χρειάζεται ένα σχοινί για να το απλώσει ανάμεσα σε δύο πασάλους που βρίσκονται σε απόσταση 12 m ο ένας από τον άλλο. Έχει μόνο κομμάτια σχοινιού μήκους 1,5 m το καθένα. Πόσα τέτοια κομμάτια θα χρειαστεί να δέσει για να έχει ένα σχοινί με το μήκος που χρειάζεται;» (Greer, 1993).  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: 12:8=1,5 Θα χρειαστεί 8 κομμάτια σχοινί.  Ρεαλιστική απάντηση: Σίγουρα θα χρειαστεί περισσότερα από 8 κομμάτια.

Πρόβλημα με το «Δοχείο»  «Μια βρύση γεμίζει ένα δοχείο με σταθερό ρυθμό. Αν το ύψος του νερού είναι 4 cm μετά από 10΄΄, πόσο θα είναι το ύψος του μετά από 30΄΄;» (Greer, 1993)  Δίνεται το σχήμα ενός κωνικού δοχείου.  Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: 3 x 4 = 12 cm  Ρεαλιστική απάντηση: Δεν μπορεί να δοθεί ακριβής απάντηση.

Ανοιχτά προβλήματα  Προβλήματα με περισσότερες από μία σωστές λύσεις.  Προβλήματα όπου η σωστή απάντηση μπορεί να βρεθεί με περισσότερο από έναν τρόπους.

Πλεονεκτήματα από τη χρήση ανοιχτών προβλημάτων 1. Οι μαθητές συμμετέχουν πιο ενεργά στο μάθημα και εκφράζουν τις ιδέες τους πιο ελεύθερα. 2. Οι μαθητές έχουν περισσότερες ευκαιρίες να συνθέσουν τις μαθηματικές τους γνώσεις και δεξιότητες. 3. Κάθε μαθητής μπορεί να ανταποκριθεί στο πρόβλημα με το δικό του / της τρόπο.

Πλεονεκτήματα από τη χρήση ανοιχτών προβλημάτων 4. Το μάθημα παρέχει στους μαθητές μια εμπειρία λογικής αιτιολόγησης. 5. Παρέχονται στους μαθητές πλούσιες εμπειρίες μέσα από την ικανοποίηση της ανακάλυψης και της είσπραξης της αποδοχής των συμμαθητών τους.