Αξιοποιώντας τον μαθητικό υπολογιστή στη τάξη … Γ. Λαγουδάκος – Χρ. Σταύρου

Ένα μάθημα όπου συμμετείχαν δύο καθηγητές και 22 μαθητές χρησιμοποιώντας ο κάθε μαθητής το δικό του Η/Υ και το λογισμικό geogebra. Στόχος του μαθήματος « η ανακάλυψη του σημείου του Ήρωνος» Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα

•Η όλη κατασκευή από μέρους των μαθητών παίρνει περίπου 20 λεπτά. Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Παρατηρήσεις •Στους μαθητές δίνονται αναλυτικές οδηγίες για να κατασκευάσει ο καθένας την δική του εφαρμογή. •Στο διαδραστικό πίνακα αναπτύσσεται η κατασκευή και από τον καθηγητή. •Η ύπαρξη δύο καθηγητών διευκολύνει την προσπάθεια, ο ένας εξηγεί ο άλλος κατασκευάζει. •Όταν υπάρξει κάποιο πρόβλημα και οι δύο μπορούν να βοηθήσουν γρήγορα και αποτελεσματικά.

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Η εφαρμογή …

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Στην πρώτη … Δύο σημεία Α και Β βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας (ε) Αναζητούμε σημείο Μ της (ε) ώστε το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ να γίνεται ελάχιστο. Η διερεύνηση … Οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν σε δύο δραστηριότητες.

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Η διερεύνηση … Η απόδειξη στους περισσότερους μαθητές παρουσιάζεται ως προφανής λόγω της τριγωνικής ανισότητας, αφού η σχέση γράφεται ΝΑ+ΝΒ>ΑΒ. Η εφαρμογή δίνει στους μαθητές τη δυνατότητα να πειραματιστούν … Σχεδόν αμέσως ακούγεται … « να βρίσκονται στην ίδια ευθεία » Εύκολα δικαιολογούν ότι για ένα άλλο σημείο Ν ισχύει ότι ΝΑ+ΝΒ>ΜΑ+ΜΒ

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Η διερεύνηση … Οι μαθητές διαπιστώνουν την ύπαρξη πολλών σημείων στα οποία το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ να γίνεται ελάχιστο. Στη δεύτερη ερώτηση Αν τα σημεία Α,Β βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της (ε) … Οι καθηγητές ζητούν οι μαθητές να επιλέξουν καλύτερη προσέγγιση στις μετρήσεις, μέχρι και 3-4 δεκαδικά ψηφία. Η αναζήτηση συνεχίζεται, ακούγονται πολλά …

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Η διερεύνηση … Ο καθηγητής ακούει και σχεδιάζει ότι λέγεται στον πίνακα … Η Βασιλική, μία ιδιαίτερα προσεκτική, μαθήτρια λέει … το σημείο είναι εκείνο όπου οι δύο γωνίες που σχηματίζονται με την ευθεία (ε) είναι ίσες. Γίνεται φανερό, ότι η Βασιλική έχει συνδύασε ι γνώσεις Φυσικής και της λέξης « κατοπτρικά » που υπάρχει στην 2 η υπόδειξη. Να φέρουμε κάθετες από τα Α και Β στην ευθεία… Οι μαθητές μετράνε τις γωνίες και επιβεβαιώνουν την εικασία της Βασιλικής Κάτι ακούγεται για τις υποτείνουσες των σχηματιζόμενων τριγώνων. Η εμφάνιση ορθογωνίων τριγώνων δίνει ιδέες.

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Η διερεύνηση … Ο Νίκος ζητά να προεκταθεί η ΑΜ ώστε να σχηματιστούν κατακορυφήν γωνίες. Ο Ιάσονας προτρέπει να προεκτείνουμε τις καθέτους που είχαμε φέρει προηγουμένως Ο Κωστής διαπιστώνει την ύπαρξη ισοσκελούς τριγώνου. Η ώρα περνά …. Ο καθηγητής παρεμβαίνει σχεδιάζει ξανά την ευθεία (ε) και τα δύο σημεία Α και Β. Ζητά με βάση όσα έχουν ειπωθεί να εξηγήσουν βήμα – βήμα πως τελικά θα βρεθεί η θέση του σημείου Μ για το οποίο το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ γίνεται ελάχιστο. Όλο και περισσότεροι μαθητές «βλέπουν» τις ομοιότητες ανάμεσα στην 1 η και 2 η δραστηριότητα.

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Η διερεύνηση … «Φέρνω την κάθετη ΒΣ προς την (ε) και παίρνω σημείο Β’ ώστε Β’Σ=ΒΣ. Ενώνω το Β’ με το Α. Το τμήμα Β’Α τέμνει την (ε) στο Μ. Το σημείο αυτό έχει την ιδιότητα, να σχηματίζει τις δύο γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης να είναι ίσες.» Η Βασιλική – δικαιωματικά- παίρνει τον λόγο. Έχουμε 1 λεπτό ακόμα… Ο καθηγητής ζητά να δικαιολογήσουν οι μαθητές γιατί αν πάρουν ένα άλλο σημείο Ν στην (ε) τότε θα είναι ΜΑ+ΜΒ<ΝΑ+ΝΒ. Τις σκέψεις τους να τις γράψουν σε κείμενο word και μαζί με το applet που έχουν φτιάξει να το στείλουν στο του καθηγητή.

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Η διερεύνηση … Αν πάρουμε ένα άλλο σημείο … πάλι με τριγωνική ανισότητα ισχύει ότι ΝΑ+ΝΒ>ΜΑ+ΜΒ, αφού ΜΑ+ΜΒ=ΑΒ’, ΝΒ=ΝΒ’ και μας δείχνει το σχήμα που έχει μείνει στον πίνακα. Το κουδούνι χτυπά, ενώ μαζεύουμε τα πράγματά μας, έρχεται ο Κωνσταντίνος. και μας λέει …

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Μερικές από τις εργασίες …

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Η συνέχεια … Ένα ακόμα πιο «δύσκολο» αλλά συγχρόνως και ενδιαφέρον πρόβλημα είναι το λεγόμενο σημείο του Steiner. Εδώ αναζητάμε ένα σημείο Μ εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ ώστε το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ+ΜΓ να γίνεται ελάχιστο. Το θέμα αυτό το διαπραγματεύτηκαν οι μαθητές στην επίσκεψη που πραγματοποίησαν στην Εθνική Εστία επιστημών τον Δεκέμβρη. Εκεί οι μαθητές ανακάλυψαν το σημείο του Steiner με υπολογισμούς αλλά και με κατασκευές με …σαπουνόφουσκες, αποδεικνύοντας για άλλη μία φορά ότι η φύση λειτουργεί πάντα με γνώμονα την οικονομία. Όσες εργασίες δοθούν θα ανέβουν στο LMS του σχολείου. Αυτό που έμεινε τελικά στους μαθητές είναι ότι η ίδια η φύση λειτουργεί με κανόνες οικονομίας. Δεν είναι τυχαίο ότι το φως ακολουθεί την πορεία αυτή όταν ανακλάται. Το φως διαλέγει το πιο σύντομο δρόμο. Η φύση κάνει οικονομία!!!

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Ποιο είναι το όφελος ; αναπτύσσεται κλίμα έρευνας και αναζήτησης οι μαθητές •κατανοούν το πρόβλημα •δημιουργούν την δική τους εφαρμογή •διερευνούν τις παραμέτρους •υποθέτουν •επαληθεύουν ή απορρίπτουν •συνεργάζονται •δικαιολογούν •καταγράφουν •επικοινωνούν

Η αναζήτηση του σημείου του Ήρωνα Ποιο είναι το όφελος ; Αρκετοί από τους μαθητές έφθασαν στο σημείο σε άσκηση που αντιμετώπισαν αργότερα να φέρουν την δική τους πρόταση - εφαρμογή. Αλλά αυτό είναι μία ωραία ιστορία που θα την πούμε κάποια άλλη στιγμή … Με ερωτήσεις … Τι θα γίνει αν το σημείο Μ κινηθεί εκτός του ΒΓ; Ποια σχέση υπάρχει τότε ανάμεσα στα τμήματα ΒΕ και ΓΖ και με απαντήσεις …