გრაფები. ეილერის და ჰამილტონის ციკლები.

ამოცანის ისტორია კენისბერგის ერთ–ერთმა მცხოვრებმა სთხოვა ლეონარდ ეილერს, რომ ქალაქის მთავარი ღირსშესანიშნაობის – ულამაზესი შვიდი ხიდისათვის, ეპოვნა მარშრუტი, რომლის საშუალებითაც მოსეირნე წყვილები შემოივლიდნენ შვიდივე ხიდს ისე, რომ ყოველ ხიდზე მხოლოდ ერთხელ მოუწევდათ გავლა

ეილერის გზა. ეილერის ციკლი. გრაფთა თეორიის ენაზე ეილერის გზა ეწოდება მარტივ გზას გრაფში, რომელიც გადის მის ყველა წიბოზე, ხოლო ეილერის ციკლი წარმოადგენს ისეთ ეილერის გზას, რომელიც მთავრდება საწყის წვეროში. სხვაგვარად რომ ვთქვათ, ციკლს რომელიც შეიცავს გრაფის ყველ წიბოს უწოდებენ ეილერის ციკლს, ხოლო ეილერის გრაფს უწოდებენ ისეთ გრაფს, რომელშიც არსებობს ეილერის ციკლი. ეილერის ციკლის პოვნა გრაფში უკავშირდება ფიგურის დახაზვის ამოცანას ქაღალდიდან ხელის აუღებლად.

ეილერის თეორემა გრაფში ციკლების შესახებ გრაფი წარმოადგენს ეილერს გრაფს მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ის ბმულია და მის ყველა წვეროს ლუწი ხარისხი აქვს. დამტკიცება. აუცილებლობა. ვთქვათ, G ეილერის გრაფია, მაშინ ყოველი წვერო ერთი მაინც წიბოს ინციდენტურია. ეს ნიშნავს, რომ ეილერის ციკლი გადის ყველა წვეროზე. შესაბამისად G-ს ნებისმიერი ორი წვერო დაკავშირებულია გზით, რომელიც ეილერის ციკლის ნაწილია. აქედან გამომდინარე, G ბმულია. ახლა დავამტკიცოთ, რომ G-ს თითოეული წვეროს ხარისხი ლუწია. ვთქვათ, v — ნებისმიერი წვეროა. ეილერის ციკლით გრაფის „შემოვლისას“ ჩვენ იმდენჯერვე შევალთ v წვეროში, რამდენჯერაც გამოვალთ. ამასთან, v წვეროს ინციდენტური თითოეული წიბო ან გამოიყენება მხოლოდ შესვლისას, ან მხოლოს გამოსვლისას. გამონაკლისს წარმოადგენენ მარყუჟები, რომლებიც შესვლისთვისაც გამოიყენებ და გამოსვლისთვისაც. რადგან წვეროს ხარისხის დათვლისას მარყუჟები ორჯერ ითვლება, ხოლო დანარჩენი წვეროები იყოფა წყვილებად: შემავალი წიბო - გამომავალი წიბო, v წვეროს ხარისხი ლუწი იქნება.

ეილერის თეორემა გრაფში ციკლების შესახებ დამტკიცება. საკმარისობა. ავიღოთ ბმული გრაფი G, რომლის ყველა წვეროს ხარისხი ლუწია. შევნიშნოთ, რომ მარყუჟები გრაფში შეგვიძლია უგულვებელყოთ - ამით გრაფის ბმულობა და წვეროთა ხარისხის ლუწობა არ ირღვევა. ვთქვათ v0 — G გრაფის ნებისმიერი წვეროა. რადგან v0 იზოლირებული არ არის, შეგვიძლია ავაგოთ ჯაჭვი, დასაწყისით v0 წვეროში; ავაგოთ ის e1,e2,... წიბოების ნებისმიერად არჩევით და გავჩერდეთ მომენტში, როცა ჯაჭვის გაგრძელება შეუძლებელია (ანუ იმ წვეროს ინციდენტური ყველა წიბო, სადაც ჩვენ მოვხვდით, უკვე ჩართულია ჯაჭვში). რადგან გრაფში წიბოების რაოდენობა სასრულია, ჩვენც შევჩერდებით სასრული სვლების შემდეგ. ვთქვათ, ჩვენს მიერ აგებულია ჯაჭვი e1,...,ek, რომელიც გადის წვეროებზე v0,...,vk. დავამტკიცოთ, რომ vk = v0, ანუ ჩვენ ავაგეთ ციკლი. დავუშვათ, vk≠ v0. მაშინ თუ გავივლით მთლიან ჯაჭვს v0-დან vk-სკენ, ჩვენ რამდენჯერმე, ვთქვათ, x-ჯერ შევალთ vk წვეროში და x-1-ჯერ გამოვედით. ამასთან, ყველა წიბო ამ შესვლა გამოსვლისას განსხვავებული იყო. ამრიგად, აგებულ ჯაჭვში vk წვეროს ინციდენტური ზუსტად 2x − 1 წიბოა. რადგან წვეროს ხარისხი ლუწია, გამოდის, რომ არსებობს წიბო, რომელიც არ მონაწილეობს ჯაჭვში. ეს კი ეწინააღმდეგება ჯაჭვის აგების პრინციპს. აქედან გამომდინარე vk = v0.

ეილერის თეორემა გრაფში ციკლების შესახებ დამტკიცება. საკმარისობა. e1,...,ek წიბოებით შექმნილი ციკლი აღვნიშნოთ C1-ით. თუ ის ეილერისაა დამტკიცება დასრულებულია. დავუშვათ ის არაა ეილერის ციკლი და გრაფში არსებობს G1 = G − {e1,...,ek} წიბოები. გრაფის ბმულობის გამო ამ წიბოებს შორის აუცილებლად იარსებებს C1 ციკლის ინციდენტური წიბოები. აღვნიშნოთ f1-ით G1 გრაფის წიბო, რომელიც ინციდენტურია vi წვეროსი. G1 გრაფში, ისევე როგორც საწყის G გრაფში, ყველა წვეროს ხარისხი ლუწია. e1,...,ek წიბოების წაშლის შემდეგ თითოეული v0,...,vk წვეროს ხარისხი შემცირდებოდა ლუწი რიცხვით, ხოლო სხვა წვეროების ხარისხი იგივე დარჩებოდა. განვიხილოთ ბმული კომპონენტი G1, რომელიც შეიცავს f1 წიბოს. ამ კომპონენტის შიგნით vi წვეროდან დაწყებული, შეიძლება ავაგოთ ციკლი C2, რომლებიც შედგება წიბოებისაგან f1,...,fm, იმავე მეთოდით, რომლითაც C1 ციკლი იყო აგებული. მაშინ წიბოთა e1,...,ei,f1,f2,...,fm,ei+1,...,ek მიმდევრობა ასევე ჰქმნის ციკლს (აღვნიშნოთ ის C2-ით) და ეს ციკლი შეიცავს უფრო მეტ წიბოს, ვიდრე C1. თუ C2 ეილერის ციკლია, აგება დასრულებულია, წინააღმდეგ შემთხვევაში კი გავიმეორებთ ზემოთ მოყვანილ მსჯელობას და რადგან G გრაფში წიბოთა რაოდენობა სასრულია, რომელიღაც ბიჯზე აგებული ციკლი ეილერის ციკლი გახდება.

ამოცანა კენისბერგის ხიდების შესახებ დავუბრუნდეთ კენისბერგის ხიდების ამოცანას. გამოვიყენოთ მისთვის ეილერის თეორემა გრაფში ციკლების შესახებ. კენისბერგის ხიდების შესაბამისი გრაფი ასე გამოიყურება: b a d c ამ გრაფის ყველა წვერო კენტი ხარისხისაა, ამიტომ ეილერის თეორემის მიხედვით, მათი შემოვლა ისე, რომ ყოველ ხიდზე მხოლოდ ერთხელ გავიაროთ და ბოლოს საწყის წერტილში დავრუნდეთ, შეუძლებელია.

ფლერის ალგორითმი ეილერის თეორემის ზემოთ მოყვანილი დამტკიცება მოიცავს ციკლის აგების ალგორითმსაც, თუმცა პრაქტიკაში ცოტა სხვაგვარი ალგორითმი გამოიყენება და მას ფლერის ალგორითმს უწოდებენ: შესატანი მონაცემი: ეილერის გრაფი G. გამოსატანი მონაცემი: G გრაფის წიბოთა ჩამონათვალი იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი ადგენენ ეილერის ციკლს. 1. ავიღოთ G გრაფის ტოლი მიმდინარე გრაფი, ხოლო მიმდინარე წვერო იყოს ნებისმიერი v ∈ V(G). 2. ავირჩიოთ მიმდინარე გრაფში ნებისმიერი e წიბო ქვემოთ ნაჩვენები შეზღუდვის გათვალისწინებით, რომელიც მიმდინარე წვეროს ინციდენტურია 3. გავხადოთ მიმდინარედ e წიბოს ინციდენტური მეორე წვერო.. 4. წავშალოთ e წიბო მიმდინარე გრაფიდან და შევიტანოთ გამოსატან სიაში. 5. თუ გრაფში კიდევ დარჩა წვეროები, დავბრუნდეთ მეორე ბიჯზე. შეზღუდვა: თუ მიმდინარე წვეროს ხარისხი მიმდინარე გრაფში 1-ზე მეტია, არ შეიძლება იმ წიბოს არჩევა, რომლის წაშლაც მიმდინარე გრაფში გაზრდის ბმული კომპონენტების რაოდენობას.

ფლერის ალგორითმის მუშაობის მაგალითი v4 v5 v6 v4 v5 v6 v1 v2 v3 v1 v2 v3 განვიხილოთ ალგორითმის მუშაობა მარცხენა ნახაზზე ნაჩვენები გრაფისთვის. ის წარმოადგენს ეილერის გრაფს ეილერის თეორემის თანახმად და ვიპოვოთ მასში ეილერის ციკლი. ვთქვათ, პირველ ბიჯზე ავირჩიეთ წვერო v1. მეორე ბიჯის არჩევაზე შეზღუდვა არ მოქმედებს და ვთქვათ ავირჩიეთ წიბო (v1,v5). შემდეგ ორ ბიჯზეც არ მოქმედებს შეზღუდვა და ვთქვათ ავირჩიეთ წიბოები (v5,v2) და (v2,v6). ამ ბიჯების მერე მიმდინარე გრაფი გახდება ისეთი, როგორიც მარჯვენა ნახაზზეა გამოსახული და მიმდინარე წვერო იქნება v6. შემდეგ ბიჯზე (v6,v3) წიბოს არჩევა შეზღუდვის გამო არ შეიძლება. უნდა ავირჩიოთ წიბო (v6,v5). ამის შემდეგ ყველა არჩევანი ცალსახადაა განსაზღვრული (მიმდინარე წვეროს ხარისხი ყოველთვის 1 ექნება). ამგვარად მივიღებთ ეილერის შემდეგ ციკლს: v1 → v5 → v2 → v6 → v5 → v4 → v6 → v3 → v2 → v1.

ჰამილტონის ციკლი ციკლს, რომელიც გრაფის ყველა წვეროზე ზუსტად ერთხელ გადის, უწოდებენ ჰამილტონის ციკლს. გრაფს უწოდებენ ჰამილტონის გრაფს, თუ მასში ჰამილტონის ციკლი არსებობს. მარცხენა ნახაზზე გამოსახული გრაფი ჰამილტონისაა, იმიტომ რომ მასში არსებობს ჰამილტონის ციკლი: v1 → v2 → v3 → v8 → v4 → v9 → v12 → v11 → v7 → v6 → v10 → v5 → v1. მარჯვენა ნახაზზე მოცემული გრაფი ჰამილტონის გრაფს არ წარმოადგენს, იმიტომ რომ მასში შეუძლებელია ჰამილტონის ციკლის პოვნა. v1 v2 v3 v4 v1 v2 v5 v5 v6 v7 v8 v9 v3 v4 v10 v11 v12

კომივოიაჟერის ამოცანა ყველაზე ცნობილი ამოცანა ჰამილტონის ციკლის შესახებ არის კომივოიაჟერის ამოცანა: მოცემულია გზებით შეერთებული ქალაქების სია. გზების სიგრძეები ცნობილია. კომივოიაჟერმა უნდა შემოიაროს ყველა ქალაქი ისე, რომ თითოეულ ქალაქში მხოლოდ ერთხელ მივიდეს და დაბრუნდეს საწყის ქალაქში. ამასთან, კომივოიაჟერის მარშრუტი უმოკლესი უნდა იყოს. იოლი შესამჩნევია, რომ კომივოიაჟერის ნებისმიერი მარშრუტი (თუნდაც არაოპტიმალური) ჰამილტონის ციკლს წარმოადგენს, აქედან გამომდინარე სამართლიანია შემდეგი შენიშვნა: კომივოიაჟერის ამოცანა ამოხსნადია, მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ამ ამოცანის შესაბამისი გრაფი ჰამილტონის გრაფს წარმოადგენს.

ეილერის და ჰამილტონის ციკლების შედარება მიუხედავად ეილერის და ჰამილტონის ციკლების გარეგნული მსგავსებისა, მათი პოვნის ამოცანები გრაფში სირთულით ძალიან განსხვავდებიან ერთმანეთისაგან. ეილერის ციკლის პოვნის ამოცანა მარტივია: ცნობილია ეილერის ციკლის არსებობის ეფექტური კრიტერიუმი (ეილერის თეორემა). კრიტერიუმის დაკმაყოფილების შემთხვევაში არსებობს ციკლის პოვნის ეფექტური ალგორითმი (ფლერის ალგორითმი). „ეფექტურობა“ ორივე შემთხვევაში ნიშნავს ოპერაციების რაოდენობის სიმცირეს გრაფის ზომებთან შედარებით. ჰამილტონის ციკლის შემთხვევაში არც კრიტერიუმი და არც ციკლის პოვნის ეფექტური ალგორითმი ცნობილი არ არის (სავარაუდოდ, არც არსებობს). აქედან გამომდინარე, ჰამილტონის ციკლის პოვნა რთული ამოცანაა. ეილერის გრაფის ანალოგიურად, ჰამილტონის გრაფის შემთხვევაშიც გრაფი ბმულია, ხოლო მარყუჟების არსებობა ამოცანის ხასიათზე გავლენას ვერ ახდენს.

ორეს თეორემა თეორემა. ვთქვათ, G ჩვეულებრივი ბმული გრაფია, რომელიც n (n > 2) წვეროს შეიცავს. თუ G გრაფის ნებისმიერი ორი განსხვავებული არამეზობელი v და w წვეროსთვის: ρ(v)+ρ(w) ≥ n, მაშინ G ჰამილტონის გრაფია. დამტკიცება. დავუშვათ, რომ არსებობს G გრაფი, რომელიც აკმაყოფილებს თეორემის ყველა პირობას და ამასთან, არ წარმოადგენს ჰამილტონის გრაფს. თუ შესაძლებელია, დავუმატოთ G-ს ახალი წიბო ისე, ის ვერ გახდეს ჰამილტონის გრაფი. ცხადია, ახალი გრაფი ასევე აკმაყოფილებს თეორემის ყველა პირობას. გავიმეოროთ მოცემული პროცედურა მანამ, ვიდრე ეს შესაძლებელია. შედეგად მივიღებთ G′ გრაფს, რომელიც აკმაყოფილებს თეორემის ყველა პირობას და წარმოადგენს მაქსიმალურ არაჰამილტონურ გრაფს, ანუ გარდაიქმნება ჰამილტონის გრაფად ნებისმიერი წიბოს დამატებით (ასეთი G′ გრაფის არსებობა იოლი დასამტკიცებელია, რადგან ადრე თუ გვიან ჩვენ მივიღებთ სრულ გრაფს, რომელშიც ნებისმიერი ორი წვერო დაკავშირებული ერთმანეთთან. სრული გრაფი კი ყოველთვის წარმოადგენს ჰამილტონის გრაფს). მივიღოთ წინააღმდეგობა საწყის დებულებასთან და დავამტკიცოთ, რომ G′ ჰამილტონის გრაფია.

ორეს თეორემა ავიღოთ G′ გრაფში ნებისმიერი არამეზობელი u და v წვეროები. G′ გრაფის განმარტების თანახმად, თუ მასში დავამატებთ (u,v) წიბოს, გაჩნდება ჰამილტონის ციკლი, რომელიც ამ წიბოს შეიცავს. აქედან გამომდინარე, G′ გრაფში არსებობს (u,v) გზა (ჯაჭვი), რომელიც შეიცავს გრაფის ყველა n წვეროს. u= v1 v5 v3 vn =v განვიხილოთ სიმრავლე S = {i | u მეზობელია vi+1} და სიმრავლე T = {i | v მეზობელია vi}. S-ში არის ρ(u) ელემენტი, ხოლო T-ში — ρ(v) ელემენტი, რაც ჯამში იძლევა ρ(u) + ρ(v) > n ელემენტს თეორემის პირობის თანახმად. ყველა ელემენტი S და T სიმრავლეში წარმოადგენს რიცხვებს 1-დან (n−1)-მდე. აქედან გამომდინარე, S და T სიმრავლეებს აქვთ საერთო ელემენტი (ვთქვათ, ეს ელემენტია i). ამრიგად G′ გრაფში გვაქვს წიბოები (u, vi+1) და (vi ,v), რაც ნიშნავს, რომ გვაქვს ქვემოთ ნახაზზე გამოსახული სიტუაცია:

u → v2 → ··· → vi → v → vn−1 → ··· → vi+1 → u, ორეს თეორემა u vi vi+1 v ამრიგად, G′ გრაფში არსებობს ციკლი: u → v2 → ··· → vi → v → vn−1 → ··· → vi+1 → u, რომელიც გადის ყვეელა წვეროზე მხოლოდ ერთხელ, ანუ ჰამილტონის ციკლია. მაშასადამე, ვაჩვენეთ, რომ G′ ჰამილტონის გრაფია და მივიღეთ წინააღმდეგობა.

დირაკის თეორემა ორეს თეორემიდან გამომდინარეობს შედარებით სუსტი პირობა, რომელიც სამაგიეროდ გაცილებით იოლი შესამოწმებელია:. დირაკის თეორემა. ვთქვათ, G ჩვეულებრივი ბმული გრაფია, რომელიც n (n>2) წვეროს შეიცავს. თუ G გრაფის ნებისმიერი v წვეროსთვის ρ(v)≥n/2, მაშინ G ჰამილტონის გრაფია. ორესა და დირაკის თეორემებით მოცემული საკმარისი პირობები ჰამილტონის გრაფის არსებობისათვის აუცილებელ პირობებს არ წარმოადგენენ. მაგალითად, ქვემოთ ნახაზზე ნაჩვენები გრაფი ნახსენებ პირობებს არ აკმაყოფილებს. 1 2 6 3 5 4