Επανάληψη (Υπολογισμοί παρούσας αξίας) ΟΣΣ1 Επανάληψη (Υπολογισμοί παρούσας αξίας) Μέθοδοι προϋπολογισμού κεφαλαίου

A. Επανάληψη Υπολογισμοί Παρούσας αξίας Αποτίμηση στοιχείων ενεργητικού μεγάλης διάρκειας Φόρμουλες υπολογισμού παρούσας αξίας Συχνότητα ανατοκισμού Αποτίμηση ομολόγων Ανάλυση δανείων Δίνουμε ιδιαίτερη έμφαση στην συχνότητα ανατοκισμού και στην ανάλυση δανείων

Παρούσα αξία Το άθροισμα χρηματικών ροών μπορεί να ξεκινά μετά την πρώτη περίοδο, να διακόπτεται ενδιάμεσα, κλπ

Οι παρούσες αξίες έχουν προσθετική ιδιότητα Παρούσα αξία Οι παρούσες αξίες έχουν προσθετική ιδιότητα Π.χ., παρούσα αξία $100 που θα εισπραχθούν σε δύο χρόνια με r=10% είναι 100/(1.10)2=82.64

Παρούσα αξία Παράδειγμα Αγοράσατε ένα νέο Ηλεκτρονικό Υπολογιστή με δανεισμό. Οφείλετε να πληρώσετε $3,000 σε μετρητά σε δύο χρόνια. Αν τα χρήματά σας έχουν απόδοση 8%, τι ποσό σήμερα θα σας εξασφαλίσει σε δύο χρόνια την οφειλόμενη πληρωμή;

Παρούσα αξία Παράδειγμα Αγοράσατε ένα νέο Ηλεκτρονικό Υπολογιστή με δανεισμό. Οφείλετε να πληρώσετε $3,000 σε μετρητά σε δύο χρόνια. Αν τα χρήματά σας έχουν απόδοση 8%, τι ποσό σήμερα θα σας εξασφαλίσει σε δύο χρόνια την οφειλόμενη πληρωμή;

Παρούσα αξία Παράδειγμα Οι χρηματικές ροές από την κατασκευή και πώληση ενός κτιρίου είναι οι ακόλουθες. Με απαιτούμενη απόδοση 7%, υπολογίσατε την καθαρή παρούσα αξία.

Παρούσα αξία Παράδειγμα Οι χρηματικές ροές από την κατασκευή και πώληση ενός κτιρίου είναι οι ακόλουθες. Με απαιτούμενη απόδοση 7%, υπολογίσατε την καθαρή παρούσα αξία. Για μεγαλύτερη ακρίβεια, ΠΠ=0.9346 ->ΠΑ=-93,460 ΠΠ=0.8734->ΠΑ=262,020

Φόρμουλες παρούσας αξίας Υπάρχουν φόρμουλες που διευκολύνουν τον υπολογισμό της παρούσας αξίας χρηματικών ροών που αναμένονται να ληφθούν σε διαφορετικές περιόδους.

Παρούσα αξία –πρόσοδος διηνεκής (χρηματική ροή απεριόριστου χρόνου) Διηνεκής πρόσοδος (perpetuity) – Θεωρούμε ότι η χρηματική ροή θα λαμβάνεται απεριόριστα.

Διηνεκής πρόσοδος - παραδείγματα Παράδειγμα 1: Consol bond – ομόλογο της Τράπεζας της Αγγλίας Παράδειγμα 2: Το Ίδρυμα Πιερίδη θέλει να χρηματοδοτήσει Έδρα Μαθηματικών της Χρηματοοικονομικής (καλύπτοντας $75,000 το χρόνο) στο Πανεπιστήμιο Κύπρου. Αν η δωρεά επενδυθεί και αποδίδει 8% το χρόνο, τι ποσό οφείλει να δωρίσει το ίδρυμα Πιερίδη σήμερα; Δωρεά=$75,000/0.08=$937,500

Διηνεκής πρόσοδος με σταθερό ρυθμό ανάπτυξης g: σταθερός ρυθμός ανάπτυξης προσόδου i.e. Ct= (1+g) Ct-1

Πρόσοδος με σταθερό ρυθμό ανάπτυξης - Παράδειγμα Το Ίδρυμα Πιερίδη θέλει να χρηματοδοτήσει Έδρα Μαθηματικών Χρηματοοικονομικής (καλύπτοντας $75,000 το χρόνο με ετήσιο ρυθμό ανόδου g=5%) στο Πανεπιστήμιο Κύπρου. Αν η δωρεά επενδυθεί και αποδίδει 8% το χρόνο, τι ποσό οφείλει να δωρίσει το ίδρυμα Πιερίδη σήμερα; Δωρεά=75,000/(0.08-0.05)=2,500,000

Φόρμουλα – ετήσια πρόσοδος Ετήσια πρόσοδος (annuity) – Στοιχείο ενεργητικού αποδίδει ένα σταθερό ποσό κάθε χρόνο για προκαθορισμένο αριθμό χρόνων. ΠΑ ετήσιας προσόδου= Σημείωση: η φόρμουλα χρησιμοποιείται και με άλλη συχνότητα, πχ μηνιαία, αλλά με το επιτόκιο της περιόδου (μηνιαίο).

Πρόσοδος παράδειγμα με μηνιαίες πληρωμές Πρόσοδος παράδειγμα με μηνιαίες πληρωμές Παράδειγμα Κάνετε ενοικιαγορά (leasing) αυτοκινήτου για 4 χρόνια. Θα πληρώνετε μόνο $300 το μήνα. Αν το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου σας είναι 0.5% το μήνα, ποιο είναι το κόστος της ενοικιαγοράς;

Πρόσοδος παράδειγμα με μηνιαίες πληρωμές Πρόσοδος παράδειγμα με μηνιαίες πληρωμές Παράδειγμα Κάνετε ενοικιαγορά (leasing) αυτοκινήτου για 4 χρόνια. Θα πληρώνετε μόνο $300 το μήνα. Αν το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου σας είναι 0.5% το μήνα, ποιο είναι το κόστος της ενοικιαγοράς;

Συχνότητα ανατοκισμού Γενικά η συχνότητα ανατοκισμού δεν είναι πάντα χρονιαία. Δύναται να είναι, π.χ., μηνιαία, όπως στα περισσότερα τραπεζικά δάνεια. Δεδομένου ετήσιου επιτοκίου r και συχνότητας ανατοκισμού m (π.χ., με m=12 εννοούμε μηνιαίο ανατοκισμό) υπολογίζουμε το επιτόκιο κάθε περιόδου r/m και οι τόκοι υπολογίζονται από: (1+r/m)-1 για κάθε περίοδο και (1+r/m)m-1 ανά χρόνο. Το καλούμενο ουσιαστικό επιτόκιο ανά χρόνο δεν είναι r αλλά (1+r/m)m-1

Συχνότητα ανατοκισμού - ουσιαστικό (συνολικό) επιτόκιο i ii iii iv v Περίοδοι Επιτόκιο Ετήσιο Αξία Ουσιαστικό ανά ανά επιτόκιο μετά επιτόκιο χρόνο περίοδο (i x ii) ένα χρόνο ανά χρόνο 1 6% 6% 1.06 6.000% 2 3 6 1.032 = 1.0609 6.090 4 1.5 6 1.0154 = 1.06136 6.136 12 .5 6 1.00512 = 1.06168 6.168 52 .1154 6 1.00115452 = 1.06180 6.180 .0164 6 1.000164365 = 1.06183 6.183

Παράδειγμα Παράδειγμα: Επενδύουμε 10,000 Ευρώ με r=6% το χρόνο και εξαμηνιαίο ανατοκισμό. Μετά ένα χρόνο θα έχουμε (1.03)^2=1.0609 ανά Ευρώ, δηλ. για 10000 Ευρώ θα έχουμε 10609 Ευρώ.

Συνεχής ανατοκισμός Όταν χωρίσουμε το χρόνο σε m περιόδους με ο ανατοκισμός μετά t χρόνια ισούται με: (1+r/m)tm =exp( rt ) Παράδειγμα: Επενδύουμε 1$ με r=6% το χρόνο και συνεχή ανατοκισμό. Θα έχουμε 1$exp(0.06)=1.061837 σε ένα χρόνο και 1$exp(0.06x2)=1.127497 σε δύο χρόνια.

Υπολογισμός τόκων με ανατοκισμό Παράδειγμα Ένα δάνειο για αγορά αυτοκινήτου γίνεται με επιτόκιο 6% το χρόνο. Υπολογίσατε το ουσιαστικό επιτόκιο με μηνιαίο ανατοκισμό. Το ποσό δανεισμού είναι $10,000 για ένα χρόνο.

Υπολογισμός τόκων με ανατοκισμό Παράδειγμα Ένα δάνειο 10,000 για αγορά αυτοκινήτου γίνεται με επιτόκιο 6% το χρόνο. Με μηνιαίο ανατοκισμό η πληρωμή θα είναι σε ένα χρόνο 10,616.78 (καλύπτει αποπληρωμή κεφαλαίου και τόκους)

Αποτίμηση ομολόγων Παράδειγμα Σήμερα είναι Σεπτέμβρης 2015, ποια είναι η αξία του ομολόγου (bond) πού πληρώνει κουπόνια 115 Ευρώ κάθε Σεπτέμβρη για 5 χρόνια. Το Σεπτέμβρη του 2020 πληρώνει το τελευταίο κουπόνι, το κεφάλαιο (face value) 1000 Ευρώ, και μετά το ομόλογο αποσύρεται από την αγορά (Κουπόνι=11.5% στο κεφάλαιο). Η απαιτούμενη απόδοση σε τέτοια ομόλογα είναι 7.5%.

Απόδοση λήξης ομολόγων Απόδοση λήξης του ομολόγου είναι η απόδοση που δίνει σαν παρούσα αξία του ομολόγου την τιμή του στην αγορά C : Κουπόνι, π.χ. 9% του κεφαλαίου I : Κεφάλαιο r : Απόδοση λήξης

Τιμές και αποδόσεις ομολόγων Ομόλογο 5 χρόνων (9%) και ομόλογο 1 χρόνου (9%) Τιμή Σημείωση: Παρατηρούμε μία αντίστροφη σχέση μεταξύ απόδοσης και τιμής ομολόγου Τα ομόλογα με μεγαλύτερη διάρκεια είναι περισσότερο ευαίσθητα σε αλλαγές επιτοκίων (αποδόσεων) Απόδοση λήξης

Όροι αποπληρωμής δανείου Παράδειγμα Δάνειο $100 χιλιάδων θα αποπληρωθεί σε δύο ισόποσες δόσεις, μία τον χρόνο, με επιτόκιο 10% και μηνιαίο ανατοκισμό. Ερωτήσεις: Πόσο είναι το επιτόκιο που πληρώνει ο δανειζόμενος; Ποιό είναι το ποσό κάθε δόσης; Ποιό μέρος του ποσού της κάθε δόσης είναι τόκοι και ποιό είναι αποπληρωμή κεφαλαίου;

Όροι αποπληρωμής δανείου Πόσο είναι το επιτόκιο που πληρώνει ο δανειζόμενος; 0.10/12=0.008333 (ανά μήνα) => (1.008333)12 – 1 = 0.104713 (ανά χρόνο) Το ουσιαστικό επιτόκιο είναι 0.104713 τον χρόνο. Στα παρακάτω, αν οι δόσεις είναι μηνιαίες για υπολογισμούς θα χρησιμοποιήσουμε το επιτόκιο ανά μήνα, αν οι δόσεις είναι ανά χρόνο το ουσιαστικό επιτόκιο (ανά χρόνο).

Όροι αποπληρωμής δανείου Ποιό είναι το ποσό κάθε δόσης; Εδώ δόσεις πληρώνονται μία φορά τον χρόνο. Το δανειζόμενο ποσό είναι η παρούσα αξία των δόσεων: 100000 = C/(1.104713) + C/(1.104713)2  100000 = C(0.905212+0.81941) = C(1.724622) C = 57983.72 Σημείωση: είχαμε μόνο δύο δόσεις και τις προεξοφλήσαμε την κάθε μία χωριστά. Αν ήταν πολλές θα χρησιμοποιούσαμε την φόρμουλα της προσόδου.

Όροι αποπληρωμής δανείου Ποιό μέρος του ποσού της κάθε δόσης είναι τόκοι και ποιό είναι αποπληρωμή κεφαλαίου; Η πρώτη δόση είναι 57983.72 Οι τόκοι του πρώτου χρόνου είναι 100000(0.104713)=10471.31  57983.72 - 10471.31 = 47512.41 47512.41 είναι αποπληρωμή κεφαλαίου

Όροι αποπληρωμής δανείου Ποιό μέρος του ποσού της κάθε δόσης είναι τόκοι και ποιό είναι αποπληρωμή κεφαλαίου; Η δεύτερη δόση είναι 57983.72 100000 - 47512.41 = 52487.59 είναι το απομένον κεφάλαιο  52487.59(0.104713)=5496.136 5496.136 είναι τόκοι στην δεύτερη δόση Check: 52487.59+ 5496.136=57983.72

B. Προχωρημένες Μέθοδοι Προϋπολογισμού Κεφαλαίου Η μέθοδος της Καθαρής Παρούσας Αξίας (ΚΠΑ) – Net Present Value (NPV). Υπολογισμός χρηματοροών. Αμοιβαίως αποκλειστέα επενδυτικά σχέδια – σχέδια με διαφορετική διάρκεια. Φόρμουλα για ΚΠΑ με άπειρες επαναλήψεις. Βέλτιστος χρόνος επένδυσης σε συνθήκες ανάπτυξης (το απλό πρόβλημα χωρίς επαναλήψεις).

Το κριτήριο της καθαρής παρούσας αξίας (ΚΠΑ) Net present value (NPV) ΚΠΑ: αποδεχόμαστε ένα νέο επενδυτικό σχέδιο αν η ΚΠΑ των χρηματοροών είναι θετική. Η μέθοδος της ΚΠΑ είναι η μόνη που επιτρέπει μεγιστοποίηση της αξίας της μετοχής της εταιρείας, λαβαίνει υπ όψιν όλες τις χρηματοροές και διατηρεί την προσθετική αξία των χρηματοροών. Για να υπολογίσουμε την ΚΠΑ οι χρηματοροές προεξοφλούνται με το μέσο κόστος κεφαλαίου (weighted average cost of capital - WACC).

Υπολογισμοί χρηματοροών για ΚΠΑ (επανάληψη) Για τον υπολογισμό της ΚΠΑ, υπολογίζουμε τις χρηματοροές α) αγνοούμε τις αποσβέσεις (depreciation), β) αγνοούμε πληρωμές τόκων και αποπληρωμή του κεφαλαίου δανείων, αλλά γ) λαβαίνουμε υπ όψιν μας την φοροαπαλλαγή που επιτρέπουν οι αποσβέσεις. Μετά προεξοφλούμε τις χρηματοροές με το μέσο κόστος κεφαλαίου Κ (δηλαδή με το WACC).

ΚΠΑ - παράδειγμα Ένα απλό παράδειγμα υπολογισμού ΚΠΑ. Εάν η διάρκεια ενός επενδυτικού σχεδίου είναι 10 χρόνια, απαιτεί επένδυση (σε χρόνο μηδέν) 5000, ο φορολογικός συντελεστής είναι 50%, και η εταιρεία χρησιμοποιεί 10% κόστος κεφαλαίου για να αξιολογήσει νέες επενδύσεις και την μέθοδο αποσβέσεων ευθείας γραμμής (straight line depreciation), ποια είναι η ΚΠΑ της επένδυσης? Για να υπολογίσουμε τις χρηματοροές θα κάνουμε μία πρόβλεψη εσόδων-εξόδων (α pro forma income statement to estimate the cash flows).

ΚΠΑ - παράδειγμα Pro forma income statement -------------------------------------------------------------------------- Rev έσοδα 2500 -VC μεταβλητά κόστα -700 -FCC σταθερά κόστα -300 - dep αποσβέσεις -500 ------- ------- EBIT κέρδη προ φόρων και τόκων 1000 -kdD πληρωμές τόκων (kd = επιτόκιο, D = κεφάλαιο) -100 EBT κέρδη προ φόρων 900 -T φόροι (c = 50%) -450 NI καθαρά κέρδη 450

ΚΠΑ - παράδειγμα Οι πραγματικές χρηματοροές είναι (αγνοούμε εντελώς τους τόκους και για τις αποσβέσεις και λαβαίνουμε υπ’ όψιν μας μόνο την φοροαπαλλαγή που επιτρέπουν οι αποσβέσεις):   (2500 – 700 – 300)(1 – .50) + .50(500) = 750 + 250 = 1000 Επομένως η ΚΠΑ (κάνουμε χρήση ετήσιας προσόδου) είναι: ΠΑ(1000 κάθε χρόνο με κόστος κεφαλαίου 10% ετησίως) – 5000 = 6144.57 – 5000 = 1144.57. Η επένδυση έχει θετική ΚΠΑ και γίνεται αποδεκτή.

ΚΠΑ – άλλο ένα παράδειγμα Θέλουμε να κάνουμε μία επένδυση για να βελτιώσουμε την παραγωγικότητα της εταιρείας. Απαιτεί κεφάλαιο 10000 (σε χρόνο μηδέν), έχει διάρκεια 5 χρόνων και μειώνει το κόστος παραγωγής 3000 τον χρόνο. Για να την κάνουμε θα πάρουμε ένα δάνειο 1000 με τόκους 15% τον χρόνο και θα αποπληρώνουμε το κεφάλαιο με ποσό 2000 τον χρόνο. Οι φόροι είναι 40%, το κόστος κεφαλαίου 20% και η εταιρεία χρησιμοποιεί αποσβέσεις ευθείας γραμμής. Ποια είναι η ΚΠΑ? (ο συντελεστής 5 χρόνων προσόδου είναι 2.991)

ΚΠΑ – άλλο ένα παράδειγμα Απάντηση (αγνοούμε ότι σχετίζεται με το δάνειο). Χρηματοροές: 3000(1-0.40)+0.40(2000) = 2600 ετησίως Παρούσα αξία χρηματοροών: 2600(2.991) = 7776.60 ΚΠΑ = 7776.60 – 10000 = -2223.40 και η επένδυση δεν γίνεται αποδεκτή.

Αμοιβαίως αποκλειστέα επενδυτικά σχέδια Αμοιβαίως αποκλειστέα επενδυτικά σχέδια. Επενδύσεις με διαφορετική χρονική διάρκεια. Θεωρούμε επενδύσεις με διαφορετική χρονική διάρκεια κάνοντας την παραδοχή ότι επαναλαμβάνονται. Διάφορες μέθοδοι έχουν χρησιμοποιηθεί:   1. Απλή μέθοδος: τις επαναλαμβάνουμε μέχρι να φθάσουμε τον ίδιο χρονικό ορίζοντα και μετά συγκρίνουμε ΚΠΑ. 2. Υπολογίζουμε την ισοδύναμη ετήσια αξία για όλες και μετά συγκρίνουμε. 3. Συγκρίνουμε ΚΠΑ με άπειρες επαναλήψεις.

Αμοιβαίως αποκλειστέα επενδυτικά σχέδια Αμοιβαίως αποκλειστέα επενδυτικά σχέδια. Επενδύσεις με διαφορετική χρονική διάρκεια. Εκτός από την διαφορά του χρονικού ορίζοντα πρέπει να λάβουμε υπ’ όψιν μας και πιθανή διαφορά στο κόστος κεφαλαίου μεταξύ των επενδύσεων. Από τις προηγούμενες μεθόδους, μόνο η τρίτη είναι πάντα σωστή (φυσικά με την προϋπόθεση ότι η επένδυση δύναται να επαναληφθεί σε άπειρο χρονικό ορίζοντα). Αν το κόστος κεφαλαίου των επενδύσεων είναι το ίδιο (έχουν το ίδιο ρίσκο) τότε και μόνο τότε και οι προηγούμενες δύο μέθοδοι είναι σωστές.

Ισοδύναμη Ετήσια Αξία (Equivalent Annuity Value – EAV) Επενδυτικό σχέδιο διάρκειας Τ χρόνων έχει γνωστή ΚΠΑ με κόστος κεφαλαίου Κ. Επίσης για την διάρκεια των Τ χρόνων έχουμε υπολογίσει τον συντελεστή ετήσιας προσόδου PVAF(K,T) (= present value annuity factor). Γνωρίζουμε εξ’ ορισμού ότι ΚΠΑ = PVAF(K,T)(Ισοδύναμη Ετήσια Αξία) => (Ισοδύναμη Ετήσια Αξία) = ΚΠΑ / PVAF(K,T).

Άπειρες επαναλήψεις ΚΠΑ(Τ,) Η φόρμουλα για την καθαρή παρούσα αξία με άπειρες επαναλήψεις ΚΠΑ(Τ,) υπολογίζεται από το άθροισμα ΚΠΑ(Τ,) = ΚΠΑ + ΚΠΑ/(1 + K)Τ + ΚΠΑ/(1 + K)2Τ + … και ισούται με ΚΠΑ(Τ,) = ΚΠΑ(1 + K)Τ/[(1 + K)Τ – 1]

Άπειρες επαναλήψεις ΚΠΑ(Τ,) Για την φόρμουλα της ΚΠΑ(Τ,) υπάρχει μαθηματική απόδειξη. Υπάρχει όμως και μια εύκολη. Αν κυτάξουμε την φόρμουλα προσεκτικά βλέπουμε ότι στην πραγματικότητα είναι μια εφαρμογή της διηνεκούς προσόδου. Απλά ας προσέξουμε ότι η αξία του σχεδίου στο τέλος των Τ χρόνων είναι ΚΠΑ(1 + K)Τ. Το ποσό αυτό επαναλαμβάνεται άπειρες φορές επομένως έχουμε την αξία άπειρων επαναλήψεων (όμως επανάληψη κάθε Τ χρόνια και όχι κάθε χρόνο) χρησιμοποιώντας την φόρμουλα της διηνεκούς προσόδου και διαιρώντας με το κόστος κεφαλαίου [(1 + K)Τ – 1] όπου η περίοδος είναι Τ χρόνια και όχι ένα.

ΚΠΑ με πολλές (n) επαναλήψεις ΚΠΑ(Τ,n) = ΚΠΑ + ΚΠΑ/(1 + K)Τ + ΚΠΑ/(1 + K)2Τ + …+ ΚΠΑ/(1 + K)(n-1)Τ και με την χρήση της φόρμουλας προσόδου του ποσού ΚΠΑ(1 + K)Τ που θα πάρουμε n φορές με κόστος κεφαλαίου για περίοδο Τ χρόνων [(1 + K)Τ – 1], ΚΠΑ(Τ,n) = ΚΠΑ(1 + K)Τ[1-(1+K)(-nΤ)]/[(1+K)Τ – 1].

Άπειρες επαναλήψεις ΚΠΑ(Τ,) και Ισοδύναμη Ετήσια Αξία Άπειρες επαναλήψεις ΚΠΑ(Τ,) και Ισοδύναμη Ετήσια Αξία Η συνολική ΚΠΑ για επένδυση διάρκειας Τ αλλά με άπειρες επαναλήψεις και κόστος κεφαλαίου Κ ανά χρόνο συμβολίζεται ως ΚΠΑ(Τ,) και επίσης ισούται (βάσει της φόρμουλας διηνεκούς προσόδου) με ΚΠΑ(Τ,) = (ισοδύναμη ετήσια αξία)/K επομένως επίσης ισχύει ότι ΚΠΑ(Τ,)K = (ισοδύναμη ετήσια αξία)

Παράδειγμα Έχουμε δύο αμοιβαίως αποκλειστέα επενδυτικά σχέδια με διαφορετική χρονική διάρκεια (και διαφορετικό κόστος κεφαλαίου). Οι χρηματοροές είναι: Χρόνος Έργο A Έργο B 0 -10.00 -10.00 1 6.00 6.55 2 6.00 6.55 3 6.55 Το κόστος κεφαλαίου είναι 10% για το A, αλλά 40% για το έργο μεγαλύτερου ρίσκου B. Για κάθε έργο πρέπει να υπολογίσουμε την απλή ΚΠΑ, την ΚΠΑ(Τ,), και την ισοδύναμη ετήσια αξία. Ποιο έργο είναι αποδεκτό και γιατί?

Παράδειγμα Πρώτα υπολογίζουμε την απλή ΚΠΑ: Χρόνος ροές(A) PVIF(10%) ΠΑ(Α) ροές(B) PVIF(40%) ΠΑ(Β) 0 -10.00 1.000 -10.00 -10.00 1.000 -10.00 1 6.00 .909 5.45 6.55 .714 4.68 2 6.00 .826 4.96 6.55 .510 3.34 3 6.55 .364 2.39 ------- ------- .41 .41 Σημείωση ότι PVIF(10%) είναι η παρούσα αξία ανά ευρώ. Με την απλή ΚΠΑ και τα δύο επενδυτικά σχέδια είναι ίδιας αξίας (προσεγγιστικά λόγω στρογγυλοποίησης).

Παράδειγμα Η ΚΠΑ(Τ,) για το κάθε έργο είναι: ΚΠΑ(Τ,) = ΚΠΑ(2,) γιά το A ΚΠΑ(Τ,) = ΚΠΑ(3,) για το B Η ισοδύναμη ετήσια αξία είναι: A: Κ ΚΠΑ(Τ,) = .10(2.36) = .236 B: Κ ΚΠΑ(Τ,) = .4(.65) = .260 Σημείωση ότι μπορούσαμε να την υπολογίσουμε και από (Ισοδύναμη Ετήσια Αξία) = ΚΠΑ / PVAF(K,T). Απάντηση: Δεχόμαστε το A γιατί έχει μεγαλύτερη ΚΠΑ(Τ,). Λόγω διαφορετικού κόστους κεφαλαίου δεν συγκρίνουμε την ισοδύναμη ετήσια αξία αλλά την ΚΠΑ(Τ,).

Βέλτιστος χρόνος επένδυσης σε συνθήκες οικονομικής ανάπτυξης Θα αναλύσουμε το απλό πρόβλημα χωρίς επαναλήψεις (η επένδυση γίνεται μόνο μία φορά). Θέλουμε τον βέλτιστο χρόνο να γίνει μία επένδυση (optimal investment timing) που μεγιστοποιεί την αξία της, όταν με την πάροδο του χρόνου έχουμε αυξητικούς ρυθμούς (growth) στα (συνήθως) έσοδα της επένδυσης. Στην οικονομική επιστήμη αυτό συνήθως αναφέρεται σαν το πρόβλημα βέλτιστου χρόνου υλοτομίας (optimal harvesting or optimal tree-cutting problem) . Άλλο παράδειγμα είναι ο βέλτιστος χρόνος παλαίωσης προϊόντων οινοποιίας. Εδώ τα έσοδα (revenues) Rev(t) είναι συνάρτηση του χρόνου, συνήθως αυξητική.

Βέλτιστος χρόνος επένδυσης σε συνθήκες οικονομικής ανάπτυξης Έχει παρατηρηθεί κυρίως σε νέα προϊόντα αυξανόμενης ζήτησης ότι όσο περισσότερο περιμένουμε τόσο μεγαλύτερη η αξία της επένδυσης σε, π.χ. ένα εργοστάσιο δικής μας παραγωγής (αντί να δίνουμε την παραγωγή υπεργολαβία αλλού). Οφείλουμε όμως να λάβουμε υπ΄ όψιν μας και το κόστος ευκαιρίας, ότι δηλαδή καθυστερώντας την επένδυση καθυστερούμε και την παρούσα αξία της επένδυσης (επομένως για σήμερα που κάνουμε την μελέτη της επένδυσης μειώνεται η παρούσα αξία). Η ανάλυση αυτών των δύο παραγόντων καθορίζει τον βέλτιστο χρόνο της επένδυσης.

Βέλτιστος χρόνος επένδυσης σε συνθήκες οικονομικής ανάπτυξης Ας δούμε ένα πρόβλημα βέλτιστου χρόνου σαν αυτό της υλοτομίας (κοπής δένδρου/ων). Γενικά θα έχουμε δύο κόστα, κόστος I που πληρώνεται για να γίνει η επένδυση σε χρόνο μηδέν (αγορά γης, επένδυση σε εγκαταστάσεις, φύτεμα, κλπ), και κόστος X που ενδεχόμενα πληρώνεται με την κοπή του δένδρου. Το κόστος X(t) μπορεί να είναι συνάρτηση του χρόνου ενώ το κόστος I θα πληρωθεί αμέσως και το θεωρούμε σταθερό. Σε αυτά τα προβλήματα όταν θέλουμε μία μαθηματική λύση είναι ευκολότερο να θεωρήσουμε ένα συνεχές κόστος κεφαλαίου Κ γιά τα έσοδα και έξοδα. Δηλαδή σήμερα, αφού επενδύσουμε κεφάλαιο Ι, θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την παρούσα αξία των καθαρών εσόδων που θα έχουμε σε χρόνο t. Max(t) [Rev(t) e-Kt - X(t) e-Kt - I] = Max(t) [(Rev(t) - X(t)) e-Kt]

Βέλτιστος χρόνος επένδυσης σε συνθήκες οικονομικής ανάπτυξης Για να βρούμε τον βέλτιστο χρόνο που μεγιστοποιεί την αξία της επένδυσης, βρίσκουμε την παράγωγο ως προς τον χρόνο και την θέτουμε ίση με μηδέν (παρατηρώντας ότι το Ι δεν είναι συνάρτηση του χρόνου και δεν λαβαίνει μέρος στην παραγώγιση): 0 = - K e-Kt (Rev(t) - X(t)) + e-Kt [dRev(t)/dt - dX(t)/dt]  μετά απλοποιούμε αφαιρώντας το e-Kt και λύνοντας ως προς K παίρνουμε K = [dRev(t)/dt - dX(t)/dt]/(Rev(t) - X(t)) ή K = [dRev(t)/dt]/Rev(t) αν το X(t) = 0. Σημείωση: η παράγωγος του γινομένου (Α Β)’ = Α (Β)’ + (Α)’ Β. Επίσης η παράγωγος (e-Kt)’ είναι -Κe-Kt, κλπ.

Βέλτιστος χρόνος επένδυσης σε συνθήκες οικονομικής ανάπτυξης Το προηγούμενο αποτέλεσμα είναι ενδιαφέρον και πολύ σημαντικό: Λέει ότι έχουμε την μέγιστη αξία της επένδυσης στο χρονικό σημείο όπου το οριακό όφελος να περιμένουμε (όπως φαίνεται στο δεξιό μέρος της εξίσωσης) ισούται με το κόστος ευκαιρίας Κ του κεφαλαίου (αριστερά). Σημείωση: είναι σύνηθες σε νέες τεχνολογίες το οριακό όφελος να είναι αρχικά μεγάλο και σταδιακά να μειώνεται. Με την σχέση λοιπόν αυτή θα βρούμε τον βέλτιστο χρόνο της επένδυσης. Αφού όμως τον βρούμε οφείλουμε να υπολογίσουμε και την αξία της επένδυσης – δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι σε βέλτιστο χρόνο η αξία (σήμερα) θα είναι θετική.

Παράδειγμα Αν επενδύσουμε σήμερα (χρόνος t = 0 ) κεφάλαιο I = 15000, η δραστηριότητα θα μας αποφέρει καθαρά έσοδα Rev(t) = 10000sqrt(1+t) σε χρόνο t (όπου sqrt είναι η τετραγωνική ρίζα). Σημείωση: στο παράδειγμά μας X = 0. Βλέπουμε ότι περιμένοντας τα καθαρά έσοδα αυξάνονται. Θα τα πάρουμε όμως στο μέλλον και υπάρχει ένα κόστος ευκαιρίας K = 5% (με συνεχή ανατοκισμό). Οφείλουμε τώρα να λύσουμε την σχέση K = [dRev(t)/dt]/Rev(t) για τον χρόνο t, αφού βρούμε την παράγωγο των Rev(t).

K = [dRev(t)/dt]/Rev(t) = [d(10000sqrt(1+t))/dt]/ Rev(t) Παράδειγμα K = [dRev(t)/dt]/Rev(t) = [d(10000sqrt(1+t))/dt]/ Rev(t) = [(0.5)10000/sqrt(1+t)]/[10000sqrt(1+t)] = 0.5/(1+t) με K = 0.05 => 0.05 = 0.5/(1+t) ή (1+t) = 0.5/0.05 = 10 και ο βέλτιστος χρόνος είναι t = 9 χρόνια. Σε 9 χρόνια θα πάρουμε το ποσό 10000sqrt (1+9). Οφείλουμε όμως να υπολογίσουμε ποία είναι σήμερα η παρούσα αξία του, και πως αυτή συγκρίνεται με την επένδυση I = 15000 που θα κάνουμε. Σημείωση: η παράγωγος (sqrt(1+t))’ = 1/(sqrt(1+t).

Παράδειγμα Η καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης είναι (10000sqrt(10))exp(-0.05(9)) – 15000 = 10000(3.162278)(0.637628) – 15000 = 20163.57 – 15000 = 5163.57 Η καθαρή παρούσα αξία είναι θετική και θα προχωρήσουμε με αυτή την επένδυση. Σημείωση: 0.637628 είναι ο προεξοφλητικός παράγοντας 9 χρόνων με συνεχή ανατοκισμό και επιτόκιο 5%.