ΒΑΒΥΛΩΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3000 π.Χ. – 247 π.Χ. Σουμέριοι (πόλεις-κράτη) – έναρξη δυναστείας των Αρσακιδών
ΜΕΣΟΠΟΤΑΜΙΑ Κατά το 2ο μισό του 19ου αιώνα ξεκίνησε μια προσπάθεια αναβίωσης της ιστορίας των μαθηματικών, με επίκεντρο τα μαθηματικά των Αιγυπτίων, Βαβυλωνίων και Αρχαίων Ελλήνων. Βαβυλώνιοι . Ζούσαν στη Μεσοποταμία, ένα εύφορο κομμάτι γης ανάμεσα στο Τίγρη και στον Ευφράτη.
ΑΝΑΣΚΑΦΕΣ ΑΠΌ ΤΟ 1842 ΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΑΝΑΣΚΑΦΕΣ ΑΠΌ ΤΟ 1842 ΩΣ ΣΗΜΕΡΑ Επιγραφές σε στήλες , ανάγλυφα κ.ά έως και ολόκληρης βιβλιοθήκης όπως αυτής του Ασουρμπανιμπάλ. Νόμοι και πρακτικά από δίκες Ισολογισμοί εσόδων εξόδων Συμβάσεις αγοραπωλησιών, γάμων και υιοθεσιών Διαθήκες Αλληλογραφία μεταξύ Βασιλέως και ανωτάτων κρατικών λειτουργών κ.α.
ΣΦΗΝΟΕΙΔΗΣ ΓΡΑΦΗ Γράφανε με σμίλη πάνω σε υγρές πήλινες πλάκες, τις οποίες άφηναν μετά να στεγνώσουν. Το 1700 ο Thomas Hyde σε ένα βιβλίο του με θέμα τους Αρχαίους Πέρσες, παρουσίασε την απεικόνιση μιας επιγραφής, χαρακτήρισε τα σύμβολα της ‘σφηνοειδή’. Δεν πίστευε ότι πρόκειται για γραφή, αλλά για διακοσμητικά στοιχεία .
Δυσκολίες Χρονολογικός προσδιορισμός της γραφής κάθε πήλινης πλάκας Αποκατάσταση των τμημάτων της πλάκας που έχουν καταστραφεί Η επισήμανση της έννοιας των μαθηματικών συμβόλων Μέχρι τα μέσα του 19ου αι.δεν γνωρίζαμε καν την ύπαρξη των Σουμερίων. Η τελική υποταγή της Βαβυλώνας στους Πέρσες έγινε το 539 π.Χ. σχεδόν μισό αιώνα πριν τους Περσικούς πολέμους στη αρχαία Ελλάδα. Έτσι για τους αρχαίους Έλληνες ήταν ήδη ‘παρελθόν’.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα δυσκολίας ερμηνείας : αναφερόμενοι στο ίδιο βαβυλωνιακό πρόβλημα , δυο σπουδαίοι μελετητές Ο Otto Neugebauer, Αυστριακός (1899-1990), θεωρεί , 1935-1937 τη γλώσσα Σουμεριακή . Ο Francois Thureau-Dangin, 1938, Γάλλος τη θεωρεί την γλώσσα Βαβυλωνιακή. Αυτό οδηγεί σε δύο διαφορετικές ‘μεταφράσεις’
ΔΥΟ ΕΙΔΗ ΣΦΗΝΟΕΙΔΟΥΣ ΓΡΑΦΗΣ Οι πρώτες συστηματικές ανασκαφές στη Μεσοποταμία άρχισαν το 1842 από τον Emil Botta, πρόξενο της Γαλλίας στη Μοσούλη. Ακολούθησαν πολλοί άλλοι, Άγγλοι, Γάλλοι, Γερμανοί, Αμερικανοί. Τα ευρήματα βρίσκονται σήμερα στο Βρετανικό Μουσείο , στο Μουσείο του Βερολίνου, της Φιλαδέλφειας και αλλού. Τελικά, αποδείχθηκε ότι υπήρχαν δυο είδη γραφής . Η πρώτη από λαό πριν τους Βαβυλώνιους, μη-σημίτες , τους Σουμέριους. Μόνο στη Νιπούρ βρέθηκαν 60000 πλάκες, που ανάγονται στη 3η χιλιετία π.Χ. και καλύπτουν μια περίοδο μεγαλύτερη από 2000 χρόνια.
ΜΕΛΕΤΗΤΕΣ Ο Γερμανός Georg Friedrich Grotefend (1775-1853) δάσκαλος των ελληνικών σε Γυμνάσιο της Γοτίγγης, αποκρυπτογράφησε δέκα χαρακτήρες και αναγνώρισε τρία ονόματα. Ο Άγγλος Henry Creswicke Rawlinson (1810-1895) , αξιωματικός του Βρετανικού στρατού στη Περσία, βρήκε το κλειδί της σφηνοειδούς γραφής . Η διαπίστωση – κλειδί ήταν ότι το ίδιο σημάδι μπορούσε να αποδίδει περισσότερους από ένα φθόγγους. Ο ίδιος διάβασε 150 χαρακτήρες και κατάλαβε το νόημα περίπου 200 λέξεων. Ακολούθησαν οι Edward Hincks , 1853, Ιρλανδός κληρικός και γλωσσολόγος , Jules Oppert, 1855, Γάλλος.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ εξηκονταδικό σύστημα Συνολικά έχουν βρεθεί πάνω από μισό εκατομμύριο πήλινες πλάκες. Οι 400 περίπου έχουν μαθηματικό περιεχόμενο. Χρονολογούνται : Εποχή Δυναστείας Χαμμουραμπί 1800π.Χ.-1600π.Χ. Εποχή Σελευκιδών 300π.Χ. έως αρχές Χριστιανικής περιόδου Παρατηρείται κενό 1300 χρόνων.
Από τις 400 πλάκες που βρέθηκαν :
Οι λύσεις που δίνονται είναι καθαρά πρακτικού χαρακτήρα * Οι λύσεις που δίνονται είναι καθαρά πρακτικού χαρακτήρα. Δίνονται οδηγίες για τα βήματα που πρέπει να γίνουν, ώστε να λυθεί το πρόβλημα, χωρίς δικαιολόγηση ή επεξήγηση (δηλ. το πώς και όχι το γιατί). Κυρίως προβλήματα υπολογισμού επιφανειών, όγκων, παραγωγής συγκεκριμένου έργου σε συνάρτηση με χρόνο και εργατικό δυναμικό, κ.ά. (Σκοπός : η εξυπηρέτηση αναγκών οικονομίας, καθημερινών συναλλαγών και εμπορίου) . Δεν υπάρχει ρητή διατύπωση θεωρήματος, ούτε κάτι που να μπορεί να ταυτιστεί με εκείνο που ονομάζουμε σήμερα λογική απόδειξη.
Μαθηματικός Πίνακας PLIMPTON 322
Πλάκα με πίνακας πολλαπλασιασμού Οι δύο αριστερές στήλες αποτελούν την πρόσοψη της πλάκας, ενώ οι δύο στήλες δεξιά αποτελούν την πίσω όψη. Στη πρώτη στήλη της πρόσοψης, βλέπουμε σύμβολα γραμμένα που παριστάνουν τους αριθμούς από το 1 μέχρι και το 12 και στη δεύτερη κατά σειρά τους αριθμούς 9, 18, 27,. ,108. Απέναντι από τον αριθμό 7 της πρώτης στήλης είναι γραμμένος ο αριθμός v vvv , σημαίνει 63 = 1 . 60+3, αφού, όπως έχουμε αναφέρει, οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν το σύμβολο v όχι μόνο για τη μονάδα, αλλά και για κάθε αριθμό της μορφής 60v , με v φυσικό.
Πλάκα με πίνακα Πολλαπλασιασμού το 10 Πλάκα με πίνακα Πολλαπλασιασμού το 10 ∢ Αποκατάσταση πήλινων πλακών με μαθηματικό περιεχόμενο, έχει γίνει από πολλούς μελετητές και συγγραφείς. Ο A. Aaboe και ο R.C. Buck αποκατέστησαν την πλάκα που περιέχει τους πολλαπλασιασμούς των αριθμών 1,2,3,……,20,30,40,50 με το 9. Ο A. Aaboe στο ίδιο έργο του έχει αποκαταστήσει και μία άλλη πλάκα–πίνακα των πολλαπλασιασμών του 45 με τους αριθμούς 1,2,3,….,
Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 1ο Η πινακίδα ΑΟ 8862 , αντιγραμμένη από τον Neugebauer ΜΚΤ ΙΙ Πίνακας 35.
Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 1ο
Ερμηνεία παραδείγματος 1 Με το σημερινό συμβολισμό : xy +x-y =183 x+y =27 } (1) Ο συγγραφέας, θέλοντας να απλοποιήσει το πρόβλημα, εισάγει μία νέα μεταβλητή y′= y+2 δηλ. y = y′ - 2 Οι (1) γίνονται : xy′ = 183 +27 = 210 x+y′ = 27+2 =29 } (2) Η επίλυση του απλοποιημένου συστήματος (2) ακολουθεί μία πάγια διαδικασία που τη συναντούμε επανειλημμένα σε άλλα κείμενα. Με σύγχρονο συμβολισμό: Αν xy′ = P x+y′ = a τότε x = ½ a + ω y′ = ½ a - ω } (3) και ω = (1/2 a )2 - P Αυτό που κάνουν βήμα βήμα οι Βαβυλώνιοι, ισοδυναμεί με την εφαρμογή των τύπων (3)
Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 2ο Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 2ο Η συγκομιδή μου ήταν 4 gur δημητριακών ανά ένα bür (μοναδιαία επιφάνεια). Από ένα άλλο bür η συγκομιδή μου ήταν 3 gur δημητριακών . Η σοδειά του πρώτου χωραφιού ήταν κατά 8,20 περισσότερη εκείνης του δεύτερου. Οι επιφάνειες των δύο χωραφιών μαζί ήταν 30,0. Ποιό το μέγεθος των χωραφιών ;
Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 3ο Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 3ο
Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 4ο Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 4ο
Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 5ο Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 5ο
Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 6ο Βαβυλωνιακή άλγεβρα - Παράδειγμα 6ο
ΣΥΝΟΨΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ
ΣΥΝΟΨΗ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ