ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Διερεύνηση Μεθόδων Ενημέρωσης και Βελτιστοποίησης Μοντέλων Πεπερασμένων Στοιχείων με Χρήση Πειραματικών Δεδομένων Αλέξανδρος Αραϊλόπουλος ΑΕΜ 1372 Επιβλέπων.
Advertisements

Ο Άνθρωπος είναι ένα ον το οποίο φτιάχνει πολιτισμό και έχει βαθύ στοχασμό, συναισθήματα και σεβασμό στη ζωή των άλλων. Ορισμός.
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ.
Δηλαδή, οι συναρτήσεις Μ(x,y) και N(x,y) αποτελούνται από εκφράσεις που έχουν τον ίδιο βαθμό ως προς x και y. Παραδείγματα: f(x,y) = 3x 4 -0,5x 2 y 2 +xy.
Εισαγωγή στην Οικονομική Ι Θεωρία Καταναλωτή. Χρησιμότητα είναι η ιδιότητα εκείνη που κάνει ένα αγαθό να είναι επιθυμητό. Συνολική χρησιμότητα (U) ονομάζεται.
Γενική εισαγωγή στη φυσικοχημεία Dr. Παρθένα Παναγιωτίδου
Υδραυλική ανοικτών αγωγών Υδραυλική ανοικτών αγωγών Επισκόπηση του θέματος και σχόλια Δρ Μ. Σπηλιώτη Λέκτορα Κείμενα από Μπέλλος, 2008, Σούλης 2013 και.
ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ Ι
Τοπικά ακρότατα Τοπικό μέγιστο –Τοπικό ελάχιστο..
Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ Ενότητα 3: Η έννοια της μαθηματικής δραστηριότητας Δέσποινα Πόταρη Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ-3 η εβδομάδα Συνέχεια συναρτήσεων δυο μεταβλητών Ισοσταθμικές καμπύλες-Ασκήσεις.
Φυσική Β΄ Λυκείου Άσκηση 1 (άσκηση 4, εργ. οδ. Α΄ Λυκείου)
Διακριτά Μαθηματικά Μαθηματική Λογική.
ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΥΤΑΞΙΑΣ.
F(x,y,y΄, y΄΄, y΄΄΄,y΄΄΄΄, …, y(n)) = 0
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Democritus University of Thrace Department of Production.
Παράγωγος κατά κατεύθυνση
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων
ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, διαλ. 4
Φυσική A’ Λυκείου ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
Ενότητα 2: Κινητική Κώστας Παπαδημητρίου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
Γραφικές παραστάσεις: Χάραξη ευθείας
Διαφορική εξίσωση Riccati.
γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΞΑΝΘΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Democritus University of Thrace Department of Production.
Ομογενείς δ.ε..
(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)
Ορισμένο Ολοκλήρωμα Τι εκφράζει το ορισμένο ολοκλήρωμα;
Νόμος του Hooke.
Συγγραφή επιστημονικής εργασίας
Binary Decision Diagrams
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Ημερίδα για τους Διαδραστικούς Δεκέμβριος 2010 Ειρήνη Περυσινάκη
Αρχή συστήματος συντεταγμένων: Το σημείο 0,0,0 (x, y, z)
Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών
Κρίσιμο συμβάν στη διδασκαλία των συναρτήσεων y=ax
Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)
گرد آورنده و مدرس : محمد ریخته گر
F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0
Οι Συναρτήσεις y=αx2 και y=αx2+βx+γ με α≠0 στο Γυμνάσιο
موضوع ارائه : نظريه تقريب. موضوع ارائه : نظريه تقريب.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)
ارائه دهندگان اعظم خیرالهی مریم خضریان سحر سلیمانی.
الباب الرابع : الارتباط و الانحدار الخطي البسيط
CHƯƠNG 4 DẠNG HÀM.
(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)
Θεωρία Βελτιστοποίησης και Εφαρμογές
מדדי מרכזיות שכיח Mo – (Mode) חציון (Median) Md –
ניהול איכות ובקרת איכות סטטיסטית
الفصل السادس: منطقية سلوك المستهلك
وړاندې کوونکى : انجنيرسميع الله ”پتيال ”
Στοιχεία θεωρίας σφαλμάτων
Φυσική για Μηχανικούς Ενέργεια Συστήματος
Κατασκευή πρότυπης καμπύλης
Παρουσίαση Αριθμητικών Χαρακτηριστικών 1) Διακριτών
Ισορροπία Στερεών Σωμάτων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Κεφάλαιο 6 Η Κανονική Κατανομή.
2. ομογενείς δ.ε. 1ης τάξης ως προς τις μεταβλητές τους.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)
Η έννοια της δύναμης Οι δυνάμεις προκαλούν μεταβολή στην ταχύτητα
Προσέγγιση στην επαλληλία των κινήσεων
(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)
F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0
Έργο δύναμης.
Μεταγράφημα παρουσίασης:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105) ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

ΜΑΘΗΜΑ 7ο Συνάρτηση και παράγωγος συνάρτησης ΣΤΟΧΟΙ Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: αντιλαμβάνεστε πότε μια απεικόνιση είναι συνάρτηση κατανοείτε το συμβολισμό f’(x) και dy/dx για την παράγωγο μιας συνάρτησης, υπολογίζετε την παράγωγο με τη βοήθεια της κλίσης, παραγωγίζετε συναρτήσεις με δυνάμεις του x

Ορισμός Έστω δύο σύνολα Χ και Y. Λέμε ότι μια συνάρτηση από το Χ στο Υ, είναι μια απεικόνιση (κανόνας) που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο του Χ ένα και μόνο ένα σημείο του Y. Το σύνολο Χ ονομάζεται πεδίο ορισμού και το σύνολο Υ πεδίο τιμών. Η συνάρτηση συμβολίζεται f: X→ Y, y=f(x), x,y Є R

Απεικονίσεις x x

Παράδειγμα 1 Η απεικόνιση του παραπάνω μηχανισμού γίνεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης f(x), με την οποία με μοναδικό τρόπο κάθε τιμή. Επομένως ο μηχανισμός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη συνάρτηση, f(x)=2x+3 ή εναλλακτικά y=2x+3 Πλέον για κάθε τιμή εισόδου μπορούμε μέσω της συνάρτησης να υπολογίζουμε σε ποια τιμή αντιστοιχίζουμε τη συγκεκριμένη είσοδο: f(5)=2(5)+3=10+3=13 f(-17)=2(-17)+3=-34+3=-31

Εφαρμογή 1 Να υπολογίσετε: (α) f(25) (β) f(1) (γ) f(17) (δ) g(0) (ε) g(48) (στ) g(16) για τις συναρτήσεις f(x)= -2x + 50 g(x)= (-1/2)x +25 Υπάρχει κάποια σύνδεση των δύο συναρτήσεων;

Εφαρμογή 2 Δy Δx Κλίση = Δ𝑦 Δx

Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η κλίση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,4) Επίλυση Δy Δx = 4−2 3−1 = 2 2 =1 Β Α Δx

Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η κλίση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(4,1) Επίλυση Δy Δx = 1−2 4−1 = −1 3 Δx=3 Α Δy=-1 Β

Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η κλίση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(5,2) Επίλυση Δy Δx = 2−2 5−1 = 0 4 =0 Δx=4 Δy=0 Α Β

Κλίση μη γραμμικής συνάρτησης

Για τη συνάρτηση y=f(x) γνωρίζουμε ότι f(α) είναι η τιμή της συνάρτησης για x=α, δηλαδή το ύψος της συνάρτησης από τoν άξονα των x. Συμβολίζουμε με f’(α) την κλίση της συνάρτησης στο ίδιο σημείο. f’(α) f(α) α

Ορισμοί Η κλίση της συνάρτησης f(x) στο σημείο x=α ονομάζεται παράγωγος της f στο α και συμβολίζεται: 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Η παράγωγος της συνάρτησης σε σημείο είναι αριθμός. Η παράγωγος συνάρτηση είναι συνάρτηση Αν 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 τότε 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛 𝑥 𝑛−1

Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η παράγωγος συνάρτηση της y=f(x) όταν: (α) 𝑦= 𝑥 4 (β) 𝑦= 𝑥 10 (γ) y=x (δ) y=1 (ε) 𝑦= 1 𝑥 4 (στ) 𝑦= 𝑥

α) 𝑦= 𝑥 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =4 𝑥 3 (β) 𝑦= 𝑥 10 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =10 𝑥 9 (γ) y=x 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =1 𝑥 0 =1 (δ) y=1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0 (ε) 𝑦= 1 𝑥 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑥 −4 𝑑𝑥 =−4 𝑥 −5 =− 4 𝑥 5 (στ) 𝑦= 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 1 2 ′ = 1 2 𝑥 1 2 −1 = 1 2 𝑥 − 1 2 = 1 2 𝑥

Κανόνες παραγώγισης Αν ℎ 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 =𝑐 𝑓 ′ 𝑥 Αν ℎ 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 =𝑐 𝑓 ′ 𝑥 Αν ℎ 𝑥 =𝑓 𝑥 ±𝑔 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 ±𝑔′(𝑥) Αν y=f 𝑔 𝑥 θέτουμε u=g(x), οπότε y=f(u) και 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑋 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Αν y=uv τότε 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 +𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Αν 𝑦= 𝑢 𝑣 τότε 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 −𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 2