Rekstrarhagfræði III Áhætta og óvissa 7 Rekstrarhagfræði III Áhætta og óvissa

Vænt virði= E(xi)=x1+x2+x3+.......+nxn eða Útkoma úr happdrætti: xi eru útkomur en i líkur. Vænt virði= E(xi)=x1+x2+x3+.......+nxn eða Einnig sett fram á eftirfarandi hátt:

Væntar nytjar

Hlutleysi gagnvart áhættu

Áhættusækni

Áhættufælni

Áhættufælni Á næstu glæru hefur einstaklingur þrjá valkosti: Halda núverandi tekjum ($10.000) án þess að taka áhættu; Taka sanngjörnu veðmáli eða 50-50 líkum á að vinna-tapa $2.000; Taka sanngjörnu veðmáli eða 50-50 líkum á að vinna-tapa $5.000.

Áhættufælni Utility U 5 8 10 12 15 Income (thousands of dollars)

Áhættufælni Núverandi $10.000 tekjur gefa nytjarnar U3. Nytjarnar af $2.000 veðmálinu er meðaltal nytjanna af $12.000 (ef hann vinnur) og nytjanna af $8.000 (ef hann tapar). Meðalnytjarnar eru U2 < U3. Nytjarnar (U1 < U2) af $5.000 veðmálinu er meðaltal nytjanna af að vinna ($15.000) og tapa ($5.000).

Áhættufælni Utility U U3 U2 U1 5 8 10 12 15 Income (thousands 5 8 10 12 15 Income (thousands of dollars)

Áhættufælni Við áhættufælni og jafnt vænt virði ($10.000 fyrir þrjá kostina hér), munu einstaklingar velja öruggar (áhættulausar) tekjur fram yfir áhættutekjur sem gefa minni nytjar. Á glærunum hér gefa öruggar tekjur að upphæð $9.500 sömu nytjar og $2.000 veðmálið. Einstaklingurinn væri reiðubúinn að greiða allt að $500 til að forðast áhættuna af $2.000 veðmálinu.

Áhættufælni Utility U U3 U2 U1 5 8 9.5 10 12 15 Income (thousands 5 8 9.5 10 12 15 Income (thousands of dollars)

Tryggingar minnka áhættu Á næstu glærum má útskýra hvatann til að kaupa tryggingar. Gerum ráð fyrir að einstaklingur með $10.000 tekjur horfi fram á 50 prósent líkur á að þurfa að greiða $4.000 í óvæntan sjúkrakostnað. Án trygginga myndu nytjar þessa einstaklings vera U1, eða meðalnytjar $6.000 og $10.000.

Tryggingar minnka áhættu Utility U U1 Income (thousands of dollars) 6 7.5 10

Tryggingar minnka áhættu Sanngjörn eða óvilhöll trygging er trygging sem hefur iðgjald að sömu upphæð og vænt virði taps. Á glærunum hér kostar sanngjörn trygging $2.000, en það er vænt virði þess sem tryggingarfélagið þyrfti að greiða hvert ár í skaðabætur. Þetta myndi tryggja einstaklingi $8.000 í árstekjur og nytjarnar U2

Tryggingar minnka áhættu Utility U U2 U1 Income (thousands of dollars) 6 7.5 8 10

Tryggingar minnka áhættu Þar sem tryggingafélög hafa annan kostnað til viðbótar við að greiða bætur, geta þau ekki selt tryggingar á tryggingafræðilegum (sanngjörnum) iðgjöldum. Á glærunum hér er einstaklingurinn reiðubúinn að greiða allt að $2.500 fyrir heilsutrygginguna, þar semn öruggar (tryggðar) $7.500 tekjur gefa sömu nytjar (U1) og óöryggar (ótryggðar). Iðgjald að upphæð $3.500 myndi hins vegar minnka nytjar í U0.

Tryggingar minnka áhættu Utility U U2 U1 U0 Income (thousands of dollars) 6 6.5 7.5 8 10

Áhættufælni og tryggingar Einstaklingur horfir fram á 20% líkur á að hús hans brenni og 80% líkur á að ekki brenni. EV= 0,2(20)+0,8(100)=84 Óvissan við e gefur sömu nyt of g. Ef einstaklingurinn þyrfti að greiða $20 fyrir tryggingu þá er öruggt ástand og óvíst ástand jafngild, mælt í nytjum. Ef einstaklingurinn þyrfti aðeins að greiða $15 fyrir tryggingu þá er öruggt ástand (h) betra en óvíst ástand.

Áhættusækni og tryggingar Einstaklingur horfir fram á 20% líkur á að hús hans brenni og 80% líkur á að ekki brenni. EV= 0,2(20)+0,8(100)=84 Einstaklingurinn væri ekki viljugur að greiða meira en $10 fyrir tryggingu.

Áhættufælni og tryggingar Geoffrey horfir fram á 90% líkurá að tekjur hans verði $20 og 10% líkur á að þær verði $0. EV= 0,1(0)+0,9(20)=18 Óvissan við e gefur sömu nyt of öruggir $16. Geoffrey væri reiðubúinn að greiða allt að $4 fyrir tryggingu.

Áhættusækni og tryggingar Elisabet hefur $38 í tekjur. Hún er að skoða þann möguleika að selja tryggingar. Hún hefur hug á að bjóða Geoffrey eftirfarandi: Geoffrey greiðir π til Elísabetar og ef hann verður fyrir tjóni, þ.e. Tapar $20, þá bætir Elísabet honum það. Ef Geoffrey samþykkir, þá breytast tekjur Elísabetar og hún hefur ekki lengur örugga $38. Þess í stað verða þær EV= 0,9($38+ π)+0,1($18+ π) Með því að bera saman línurnar bb’ og dd’ sjáum við Elísabet vill fá meira en $0 fyrir að tryggja Geoffrey.

Viljinn til að selja tryggingar Látum bb’ vera þá stöðu sem Elísabet vildi ekki selja tryggingu á fyrri myndinni, þ.e. Sama og bb’ á fyrri mynd. Gefum okkur nú að Elísabet velji að jóða tryggingu á $1,50. Þá er EV= 0,9($38+$1,50)+0,1($18+$1,50). Væntar nytjar þessa eru sýnd sem kk’ á myndinni hér. Við sjáum að bb’ og kk’ hafa sömu hæð, þannig að þetta er jafngilt fyrir Elísabetu. Lágmarksverð á tryggingu er því $1,50 og Hámarksverð er $4.

Viljinn til að greiða fyrir tryggingar Einstaklingur á auð að upphæð $100.000. Hann horfir fram á 25% líkur á að tapa $20.000 bíl sínum við þjófnað á næsta ári. Gefum okkur að nytjafall hans sé: U(W)=ln(W) Ef hann mætir framtíðinni án trygginga þá er: Vænt notagildi = 0,75(100.000) + 0,25(80.000) = 0,75 ln 100.000 + 0,25 ln 80.000 = 11,45714 Tryggingafræðileg sanngjörn trygging myndi kosta 5.000 (þ.e 25% af $20.000). Ef einstaklingurinn kaupir tryggingu á því verði, þá er: Vænt notagildi = U(95.000) = ln 95.000 = 11,46163 Betra er því fyrir einstaklinginn að tryggja. Hvert er hámarksverð sem hann væri reiðubúinn að greiða fyrir tryggingu? Vænt notagildi = U(100.000 - x) = ln (100.000 - x) = 11,45714 Leysum fyrir x og fáum: 100.000 – x = e11,45714 eða x = 5.426

Fjölþætting minnkar áhættu Á næstu glærum eru sýndar nytjar einstaklings með $10.000 í tekjur, sem ætlar að fjárfesta $4.000 í áhættusömum eignum. Gerum ráð fyrir að aðeins séu tvær tegundir af slíkum eignum, hlutabréf í fyrirtæki A og fyrirtæki B. Hlutabréf kosta $1, en munu hækka í $2 ef fyrirtækið gengur vel á næsta ári.

Fjölþætting minnkar áhættu Ef fyrirtækið gengur illa þá verða hlutabréfin verðlaus. Hvort fyrirtæki hefur 50-50 möguleika á að ganga vel. Ef gengi fyrirtækjanna er óhað hvort öðru, þá má drag úr áhættu með því að fjárfesta í bréfum beggja fyrirtækja.

Fjölþætting minnkar áhættu Ef fjárfest er $4.000 í bréfum fyrirtækis A þá eru 50 prósent líkur á að eiga $14.000 og 50 prósent líkur á að eiga $6.000 eftir ár. Þetta gefur nytjarnar U1. Ef einstaklingur fjárfestir $2.000 í bréfum hvors fyrirtækis, þá eru fjórar mögulegar útkomur sem sjá má í töflunni. Fyrirtæki B Gott Vont Fyrirtæki A $14.000 $10.000 $6.000

Fjölþætting minnkar áhættu Utility U U1 Income (thousands of dollars) 6 10 14

Fjölþætting minnkar áhættu Hver þessara möguleika er jafnlíklegur, og í helmingi tilfellana endar einstaklingurinn með sínar upphaflegar $10.000. Þessi fjölþættingarflétta hefur enn vænt virði $10.000, en minnkar áhættu. Á glærunni sýnir punktur C það ástand að fyrirtæki B gangi illa og punktur D það ástand að fyritæki B gangi vel. Punktur E (meðaltal C og D) er niðurstaða fjölþættingar og gefur nytjarnar U2 > U1.

Fjölþætting minnkar áhættu Utility D U U2 U1 E C Income (thousands of dollars) 6 10 14

Áhætta og breytileiki EV= 0,6($100)+0,4($50)=$80 Breytileiki er σ2=0,4(50-80)+0,6(100-80)=600

Áhætta og breytileiki EV= 0,4($100)+0,333($80)+0,267($50)=$80 Breytileikinn er σ2=0,4(100-80)+0,333(80-80)+0,267(50-80)=400,3 Þetta er minni breytileiki en á fyrri myndinni og Einstaklingurinn metur þetta sem punkt b í stað e áður.

Hagfræði upplýsinga Líkan um nytjahámörkun Á næstu glærum er líkan um einstakling sem horfir fram á tvær mögulegar útkomur (stundum kallað ástand heimsins), en einstaklingurinn veit ekki hvor útkoman verður. Neyslumöguleikar einstaklingsins við þetta mismunandi ástand er sýnt sem C1 og C2, og mögulegt virði þeirra má lesa af ásunum.

Hagfræði upplýsinga Certainty line C2 E C2 E B U2 D A A C2 U1 C1 E A

Hagfræði upplýsinga Punktur A gefur einstaklingnum meiri neyslu við ástand 1 en við ástand 2. Þessi einstaklinur gæti viljað gefa frá sér einhverja neyslu við ástand 1 til að auka neyslu við ástand 2. Það gæti gerst með því að greiða tryggingariðgjald við ástand 1 til að auka neyslu við ástand 2 (þegar illa fer).

Hagfræði upplýsinga Ef til dæmis skilmála tryggingariðgjaldsins mætti lesa út úr halla línunnar AE, þá gæti einstaklingurinn aukið nytjar sínar úr U1 í U2 með því að kaupa tryggingu og færast þannig í punkt E. Með kaupum á tryggingu getur einstaklingurinn fengið öruggan CE1 (sem er jafnt CE2).

Hagfræði upplýsinga Certainty line C2 E C2 E B U2 D A A C2 U1 C1 E A

Ástands-val aðferðin

Ástands-val aðferðin Útgjaldalínan I sýnir W=PgWg+PbWb. Ef tryggingamarkaðurinn er trygginagafræðilega Sanngjarn, þá verður hámörkun við W*= Wg=Wb. Annars yrði hámörkun t.d. við Wg>Wb Wb Certainty line W* U1 I’ I W* Wg

Ástands-val aðferðin Tökum tryggingadæmið aftur. Einstaklingur á auð að upphæð $100.000 og horfir fram á 25% líkur á að $20.000 bifreið hans verði stolið. Wg er auður ef ekki verður stolið og Wb er auður ef bílnum er stolið. Vænt notagildi = 0,75U(Wg) + 0,25U(Wb) = 0,75 ln Wg + 0,25 ln Wb Vitum að Wg = 100.000 og Wb = 80.000 Vænt notagildi = 0,75 ln 100.000 + 0,25 ln 80.000 = 11,45714 Hvernig mun áhættufælinn einstaklingur skipta á óvissu og öryggi? PgWg* + PbWb* = PgWg + PbWb Ef verð er jafnt líkunum (Pg=0,75 og Pb=0,25) 0,75(100.000) + 0,25(80.000) = 95.000 = 0,75Wg + 0,25Wb Hámörkun nytja mun leiða til: Wg = Wb = 95.000 Einstaklingurinn mun færa sig á öryggislínuna og fá Vænt notagildi = ln 95.000 = 11,46163

Ástands-val aðferðin Til þess verður einstaklingurinn að geta fært $5.000 frá góðum tímum og breytt þeim í $15.000 á vondum tímum. Tryggingafræðilega sanngjörn trygging myndi leyfa færslu sem kostaði $5.000 í $20.000 á vondum tímum (en $0 ef það verða góðir tímar). Auðbreytingin sem tryggingin lofar er dWb/dWg = 15.000/-5.000 = -3, eða sama hlutfall og líkurnar hafa (–) π/1- π = (-) 0,75/0,25 = (-) 3

Ástands-val aðferðin Trygging sem kostar $5.200 og borgar $20.000 skilar einstaklingnum einnig á öryggislínu (Wg = Wb = 94.800 ) Vænt notagildi = ln 94.800 = 11,45953, sem er meira en upphafleg staða. Önnur trygging, sem kostar $4.900 og hefur $1.000 sjálfsábyrgð, gefur eftirfarandi útkomu: Wg = 100.000 – 4.900 = 95.100 Wb = 80.000 – 4.900 + 19.000 = 94.100 Vænt notagildi = 0,75 ln 95.100 + 0,25 ln 94.100 = 11,46004 Þó þessi trygging skili einstaklingnum ekki á öryggislínuna er hún samt nytjaaukandi.

Hrakval á tryggingamarkaði Þegar tryggingasalar hafa minni upplýsingar en tryggingakaupendur þá getur hrakval komið til á tryggingamarkaði. Á næstu glæru hefur einstaklingur 1 hlutfallslega litla áhættu á að verða fyrir ástandi 2, þannig að sanngjarna tryggingu má lesa af útgaldalínunni AE og punktur E er möguleiki. Fyrir einstakling 2 er tjón mun líklegra, þannig að sanngjarna tryggingin sést af línunni AF.

Hrakval á tryggingamarkaði C2 Certainty Line E F A C1

Hrakval á tryggingamarkaði Ef tryggingarfélagið getur ekki séð hversu mikil áhættan er við tiltekinn einstakling, þá er ekki mögulegt að leysa dæmið með þessum hætti. Einstaklingur 2 mun kaupa tryggingu sem ætluð er einstakling af tegund 1 og viðbótartjón mun leiða til þess að tryggingarfélagið tapar á tryggingu AE. Tryggingasalinn mun þurfa að hækka verð, sem leiðir til minni nytja fyrir einstakling af tegund 1 ef hann kaupir tryggingu og til þess að hann kýs að vera ótryggður.