jedan zanimljiv zadatak T E O R E M A L E P T I R A jedan zanimljiv zadatak Jasmina Milić

Dokazati da je C središte duži MN F E Dat je krug k(O, r). Neka je C središte tetive AB i neka tetive DE i FG prolaze kroz C (tako da F i E pripadaju istom luku). Neka FD i EG seku AB redom u tačkama M i N. M A N B C TEOREMA LEPTIRA D Dokazati da je C središte duži MN G

α = α’ (uglovi nad lukom DG) β = β’ (uglovi nad lukom FE) D O K A Z A B C D E F G M N α α’ β β’ I <DFG = α <DEG = α’ <FDE = β <FGE = β’ α = α’ (uglovi nad lukom DG) β = β’ (uglovi nad lukom FE)

Posmatrajmo trouglove II Posmatrajmo trouglove ΔFCD i ΔECG 1. α = α’ 2. β = β’ A B C D E F G M N α α’ β β’ ΔFCD ~ ΔECG FD FC EG EC

Iz centra O spustimo normale na DF i EG Neka su H i J podnožja normala B C D E F G M N β β’ α α’ III Iz centra O spustimo normale na DF i EG H O Neka su H i J podnožja normala OH ∟DF OJ ∟EG J Posmatrajmo trouglove ΔFOH i ΔHOD 1. FO = DO = r (hipotenuza) 2. OH = OH zajednička str. 3. <OHF = <OHD = 90° ΔFOH ΔHOD ~ SSU FH = HD FD = 2FH Slično, ΔEOJ ΔGOJ ~ EG = 2EJ

IV II : FD EG F FC EC E α α’ III: FD = 2FH M C EG = 2EJ A N H B J β O β’ O H J α α’ FH FC EJ EC α = α’ ΔFCH ~ ΔECJ

V <FHC = θ <EJC = θ’ A B C D E F G M N β β’ O H J α α’ θ θ’ θ = θ’ Iz IV (korespodentni uglovi)

VI F E α OCMH tetivni četvorougao α’ M C A <MOC = θ’’ N θ = θ’’ B H D E F G M N β β’ α α’ H J O OCMH tetivni četvorougao (III: <H + <C = 180°) <MOC = θ’’ θ = θ’’ (uglovi nad lukom MC) θ θ" θ"' θ' OCNJ tetivni četvorougao (III: <J + <C = 180°) <NOC = θ’’’ θ’ = θ’’’ (uglovi nad lukom MC)

A B C D E F G M N β β’ α α’ O H J VII θ" θ"' Iz V i VI θ" = θ'"

odnosno C je središte duži MN VIII ΔOCM i ΔOCN <C = 90° OC zajednička stranica θ" = θ'" A B C D E F G M N β β’ α α’ O H J θ" θ"' USU ΔOCM = ΔOCN ~ MC = CN odnosno C je središte duži MN

Tačan izvor Teoreme leptira nije poznat. U literaturi se može naći više različitih dokaza. Dokaz koji je prikazan u ovoj prezentaciji dat je u knjizi: D. O. Shklyarsky, N. N. Chentsov, I. M. Yaglom, Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics, v 2, Moscow, 1952. Prikaz je urađen po ugledu na animaciju koja se nalazi na web adresi: http://agutie.homestead.com/files/butterflytheorem1.html

U dokazu teoreme primenjene su sličnost i podudarnost trouglova i korišćene su osnovne teoreme o krugu. Ove oblasti geometrije se obrađuju u prvom razredu gimnazije pa bi na ovom nivou zadatak mogao biti zanimljiv.