Pravouhlý a všeobecný trojuholník Trigonometria Pravouhlý a všeobecný trojuholník

Pravouhlý trojuholník - vety Pytagorova veta c² = a² + b² Euklidova veta o výške v² = AP . PB Euklidova veta o odvesne b² = AB . AP a² = PB . AB

Pytagorova veta Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma odvesnami

Euklidova veta o výške Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa  rovná obsahu obdĺžnika, ktorého strany sú AP, PB.

Euklidova veta o odvesne Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika, ktorého strany sú úsečky AB a AP.

Obsah trojuholníka 3. Dané sú dve strany a uhol, ktorý zvierajú: Daná je strana a výška na túto stranu: S=(va . a)/2 = (vb . b)/2 = (vc . c)/2 Herónov vzorec – dané sú strany: S = √{s (s – a)(s – b)(s – c)} s = a + b + c 3. Dané sú dve strany a uhol, ktorý zvierajú: S = (a . b . sin γ)/2 = (b . c . sin α)/2 = (c . a . sin β)/2

Riešenie všeobecného trojuholníka Sínusová veta – pomer strán sínusov protiľahlých uhlov vo všeobecných trojuholníkoch je konštantný a rovná sa priemeru opísanej kružnice. Kosínusová veta – obsah štvorca nad stranou všeobecného trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad zvyšnými dvoma stranami, zmenšenému o dvojnásobok súčinu týchto dvoch strán a kosínusu uhla, ktorý zvierajú.

Sínusová veta Dôkaz: ∆ BCS je rovnoramenný Výška na základňu rozdelí uhol pri vrchole P na polovicu => výška na základňu rozdelí aj základňu na polovicu Z obrázku vyplýva, že: čo po úprave dáva:

Kosínusová veta Dôkaz pre pravouhlý ∆: ∆ AC0C: b² = x² + v² => v² = b² - x² ∆ BC0C: a² = v² + y² => v² = a² - y² b² - x² = a² - y² x + y = c y = c – x b² - x² = a² - (c – x)² b² - x² = a² - (c² - 2cx + x²) b² = a² - c² + 2cx cos α = x/b => x = b . cos α Po dosadení do vzorca dostaneme a² = b² + c² - 2 . b . c . cos α a² = b² + c² - 2 × b × c × cos α b² = a² + c² - 2 × a × c × cos β c² = a² + b² - 2 × a × b × cos γ

Kosínusová veta Dôkaz pre tupouhlý ∆: ∆ ADC: b² = y² + v² => v² = b² - y² ∆ BDC: a² = v² + x² => v² = a² - x² b² - y² = a² - x² x = c + y b² - y² = a² - (c + y)² b² - y² = a² - (c² + 2cy + y²) b² = a² - c² - 2cy cos α = y/b => x = b . cos α b² = a² - c² - 2 c (b . cos α) a² = b² + c² - 2 . b . c . cos α