ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΛΑΤΑ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ Β1 2015-2016

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΑΙΘΡΑ Αναστασία Δερματά Βίκυ Αγγελοπούλου Ελευθερία Βλάχου Χρήστος Καλαντζής ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γιώργος Αγγελόπουλος Γιώργος Καρνέζης Κωνσταντίνα Αναγνωστοπούλου Παναγιώτα Βελούδη ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ειρήνη Βασιλάκη Ελευθερία Αναγνωστοπούλου Παναγιώτης Γιαννούλης Χρύσα Αυγερινού Υπεύθυνη καθηγήτρια: Ναταλία Κολοκοτρώνη, ΠΕ03 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Τα Μαθηματικά κατείχαν σημαντικό ρόλο σε όλη την πορεία της ανθρώπινης ιστορίας. Η ανάδειξή τους σε Επιστήμη, με την αποδεικτική διαδικασία, διαμορφώθηκαν κυρίως από τον 6ο έως τον 3ο π.Χ. αιώνα στην αρχαία Ελλάδα. Από την Αναγέννηση μέχρι σήμερα, παρατηρείται το φαινόμενο της ανάπτυξης της σύγχρονης επιστήμης, με τα Μαθηματικά να έχουν κεντρική θέση. Με την πάροδο των αιώνων, ο ρόλος τους επεκτάθηκε και στις άλλες επιστήμες. Οι αρχαίοι Έλληνες μέσω της ενασχόλησης τους με τη φιλοσοφία κλήθηκαν να αναζητήσουν απαντήσεις σε ερωτήματα που ξεπερνούσαν τις ανθρώπινες γνωστικές ικανότητες. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα την εξέλιξη της Φιλοσοφίας στην ανάπτυξη των επιστημών όπως των Μαθηματικών, της Φυσικής, της Αστρονομίας. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Αίθρα (10ος – 9ος π.Χ. αιώνας) Ήταν κόρη του βασιλιά της Τροιζήνας, Πιτθέα και μητέρα του Θησέα. Ήταν δασκάλα της αριθμητικής. Ιέρεια, λοιπόν, των απαρχών της πλέον εγκεφαλικής επιστήμης, η Αίθρα μάθαινε αριθμητική στα παιδιά της Τροιζήνας, με μια πολύπλοκη μέθοδο που προκαλεί δέος αφενός γιατί και δεν υπήρχε το μηδέν, και αφετέρου γιατί οι αριθμοί συμβολίζονταν πολύπλοκα, αφού τα σύμβολά τους απαιτούσαν πολλές επαναλήψεις (Κρητομυκηναϊκό σύστημα αρίθμησης). ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

Θαλής ο Μιλήσιος (640-546 π.Χ.)

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ο αρχαιότερος προσωκρατικός φιλόσοφος, ο πρώτος των «επτά σοφών» της αρχαιότητας, μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος. Είναι ο ιδρυτής της Ιωνικής σχολής της φυσικής φιλοσοφίας στη Μίλητο. Αναφέρεται ότι πρώτος αυτός διατύπωσε απόψεις αναφορικά με την περιφορά του Ήλιου περί της Γης (γεωκεντρικό σύστημα), μίλησε για τροχιές περιφοράς ενώ προέβη και σε σχετικές μετρήσεις, αρκετά ακριβείς! Ερμήνευσε το φαινόμενο της έκλειψης Ηλίου, και προέβλεψε με ακρίβεια την έκλειψη Ηλίου στη Μ. Ασία (Μάιος 585 π.Χ.). ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Εμπνευστής της απόδειξης των γεωμετρικών προτάσεων (με την εισαγωγή του απαγωγικού συλλογισμού και της υπόθεσης), θεωρείται ο ‘πατέρας’ της Γεωμετρίας. Έχει την πατρότητα των θεωρημάτων των σχετικών με την ισότητα: 1. των κατακορυφήν γωνιών, και 2. των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου (καθώς και άλλων, τα οποία περιλαμβάνονται στα σχολικά βιβλία). Είναι γνωστός κυρίως για το ομώνυμο θεώρημά του, ενώ ανακάλυψε την ομοιότητα των τριγώνων (το θεμέλιο της Τριγωνομετρίας), με τη βοήθεια της οποίας υπολόγισε την απόσταση πλοίου από το λιμάνι, καθώς και το ύψος μίας πυραμίδας στην Αίγυπτο, από το μήκος της σκιάς της. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-496 π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ιδρυτής της «Πυθαγόρειας Σχολής», της πρώτης ιδεαλιστικής σχολής στην Ελλάδα. Είχε διαιρέσει τα μαθηματικά σε 4 κλάδους: Αριθμητική, Μουσική, Γεωμετρία, Αστρονομία, διαίρεση που διατηρήθηκε στην Εκπαίδευση μέχρι τον Μεσαίωνα («τετρακτύς» ή «quadrivium»). Για την Πυθαγόρειο Φιλοσοφία όλοι οι αριθμοί ήταν ρητοί, δηλαδή για δύο οποιαδήποτε ευθύγραμμα τμήματα (συγκρινόμενα μεταξύ τους με τον λόγο -κλάσμα- των μηκών τους) είχαν ‘κοινό μέτρο’, ήταν δηλαδή ‘σύμμετρα’. Η ανατροπή από τον ίδιο αυτής της πεποίθησης (όταν ανακάλυψε την ασυμμετρία της διαγωνίου του τετραγώνου ως προς την πλευρά του) οδήγησε στην ανακάλυψη των αρρήτων (ασυμμέτρων) αριθμών, ένα από τα σημαντικότερα βήματα για την εξέλιξη των Μαθηματικών. Το «Πυθαγόρειο Θεώρημα» (μαζί με την απόδειξή του) αποτελεί τη ‘διασημότερη’ ανακάλυψη του Πυθαγόρα. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων καθένα εκ των οποίων έχει πλευρά μία εκ των καθέτων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Μερικά, ακόμα, επιτεύγματα που αποδίδονται στον Πυθαγόρα και τη Σχολή του είναι: Το άθροισμα των ν όρων της ακολουθίας των αρτίων αριθμών και της ακολουθίας των περιττών αριθμών (αριθμητικές πρόοδοι με πρώτο όρο 2 και 1 αντίστ. και διαφορά ω=2). Η μελέτη της εξίσωσης χ + ψ = z (οι ακέραιες λύσεις της οποίας ονομάζονται «πυθαγόρειες τριάδες»). Οι αναλογίες: αριθμητική, γεωμετρική και αρμονική. Η διάκριση των (κυρτών) γωνιών σε οξείες, ορθές και αμβλείες. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ 2 2 2

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Η ανακάλυψη ότι: το ισόπλευρο τρίγωνο, τοτετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο είναι τα μόνα κανονικά πολύγωνα με τα οποία μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο. Η ανακάλυψη ότι: το άθροισμα των γωνιών ενός τυχαίου τριγώνου ισούται με δύο ορθές (αν και αποδίδεται εξίσου και στον Θαλή). Η υποδιαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, που ουσιαστικά αποτελεί μερική περίπτωση γεωμετρικής κατασκευής των ριζών δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Η κατασκευή των πέντε κυρτών κανονικών στερεών (4-εδρο, κύβος, 8-εδρο, 12-εδρο, 20-εδρο). Η κατασκευή της μουσικής κλίμακας. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ιπποκράτης Ο Χίος (470-400 π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Σ’ αυτόν αποδίδεται η πρώτη απόπειρα να γραφούν Στοιχεία της Γεωμετρίας. Μεγάλη ήταν η συμβολή του στα δύο εκ των μεγαλύτερων γεωμετρικών προβλημάτων της ελληνικής αρχαιότητας: στον διπλασιασμό του κύβου (εύρεση ακμής κύβου όγκου 2κ.μ., δηλαδή η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της κυβικής ρίζας του 2), γνωστό ως «Δήλιο πρόβλημα», και τον τετραγωνισμό του κύκλου (δοθέντος κύκλου γνωστού εμβαδού, η εύρεση /κατασκευή με κανόνα και διαβήτη πλευράς τετραγώνου ίσεμβαδικού με τον κύκλο). Ένα βήμα προς τον τετραγωνισμό του κύκλου αποτέλεσε ο τετραγωνισμός του μηνίσκου (χωρίο επιπέδου περικλειομένου από δύο τεμνόμενα τόξα - όχι απαραιτήτως ίσων- κύκλων), πρόταση γνωστή ως οι «Μηνίσκοι του Ιπποκράτη». ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ζήνων Ο Ελεάτης (495-435 π.Χ.) Ήταν μαθητής του φιλόσοφου Παρμενίδη. Ασχολήθηκε με τις έννοιες του απείρου και του συνεχούς της ευθείας και, διατύπωσε συλλογισμούς γνωστούς ως «τα παράδοξα του Ζήνωνος», που είναι: «ο Αχιλλέας και η χελώνα», «Βέλος», «Διχοτομία» και «Στάδιο». ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ο Αχιλλέας και η χελώνα: Ο Αχιλλέας και η χελώνα κινούνται σε ευθεία γραμμή προς την ίδια κατεύθυνση, με τη χελώνα να προηγείται. Ο Αχιλλέας είναι πολύ πιο γρήγορος από τη χελώνα, αλλά για να τη φτάσει πρέπει πρώτα να περάσει από το σημείο Ρ, από το οποίο ξεκίνησε η χελώνα. Όταν, όμως βρεθεί στο Ρ, τότε η χελώνα θα βρίσκεται στο σημείο Ρ1. Ο Αχιλλέας για να φτάσει τη χελώνα θα πρέπει πρώτα να περάσει από το Ρ1, αλλά τότε η χελώνα θα έχει φτάσει σε ένα νέο σημείο Ρ2. Όταν ο Αχιλλέας βρεθεί στο Ρ2 τότε η χελώνα θα έχει προχωρήσει σε ένα πιο πέρα σημείο, έστω Ρ3, κ.ο.κ. Έτσι ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα !! ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Φιλόλαος ο Κροτωνιάτης (περ. 470-385 π.Χ.) Ίππασος ο Μεταπόντιος (5ος αι. π.Χ.) Οπαδοί της Πυθαγόρειας Φιλοσοφίας. Ο Ίππασος ‘διεκδικεί’ ιστορικά από τον ίδιο τον Πυθαγόρα την πατρότητα της ανακάλυψης των ασυμμέτρων μεγεθών, μια ανακάλυψη σταθμό στην Ιστορία των Μαθηματικών, που όμως έφερε την Πυθαγόρειο Σχολή σε πολύ δύσκολη θέση. (Ο Εύδοξος, αργότερα, θα επιτύχει την ενσωματώση των ασυμμέτρων μαζί με τους σύμμετρους /ρητούς αριθμούς, στη «Γενική Θεωρία των Αναλογιών».) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Θεόδωρος ο Κυρηναίος (5ος αι. π.Χ.) Ανήκε στους Πυθαγορείους. Υπήρξε δάσκαλος του Πλάτωνα στα Μαθηματικά. Βρήκε και απέδειξε ότι υπάρχουν και άλλοι άρρητοι, εκτός από την τετραγωνική ρίζα του 2. (Έδειξε ότι οι πλευρές των τετραγώνων με εμβαδά 3,5,6,7,10,11, 12,13,14,15, είναι ασύμμετρες με την διαγώνιο του μοναδιαίου τετραγώνου. Με άλλα λόγια απέδειξε ότι οι τετραγωνικές ρίζες αυτών των αριθμών είναι άρρητοι.) Ασχολήθηκε με την Αρμονία (μαθηματική θεωρία της Μουσικής). ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Θεαίτητος ο Αθηναίος (417-369 π.Χ.) Μαθητής του Θεοδώρου του Κυρηναίου. Δίδαξε στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Είναι ο πρώτος δημιουργός της «θεωρίας των (τετραγωνικών και κυβικών) αρρήτων», όπως αυτή παρουσιάζεται στο 10ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Στο Πλάτωνος Θεαίτητος ο Θεόδωρος συζητώντας με τον Σωκράτη περιγράφει τον Θεαίτητο. Σε άλλο απόσπασμα του ίδιου έργου, υπάρχει ένας διάλογος ανάμεσα στον Σωκράτη και τον Θεαίτητο, για τους ασυμμέτρους. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Αρχύτας Ο Ταραντίνος (428-347 π.Χ.) Ανήκε στους Πυθαγορείους. Επινόησε μια μέθοδο προσέγγισης των αρρήτων τετραγωνικών ριζών. Όρισε την έννοια του αριθμητικού μέσου. Ασχολήθηκε γενικότερα με τους μέσους (αριθμητικό, γεωμετρικό και αρμονικό), τους οποίους εφαρμόζει στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής (Αρμονία). Ασχολήθηκε με το Δήλιον πρόβλημα. (Συγκεκριμένα, έδωσε μία λύση με τη μελέτη μιας συνεχούς σπείρας, ενός κώνου και ενός κυλίνδρου.) (Ήταν ήδη αποδεκτό πως το πρόβλημα του 2-πλασιασμού του κύβου, δηλαδή της εύρεσης της κυβικής ρίζας του 2 ήταν μη επιλύσιμο με κανόνα και διαβήτη.) Ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε μαθηματικές αρχές στη Μηχανική. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πλάτων ο Αθηναίος (427-347 π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Μέγας φιλόσοφος, ιδρυτής της ομώνυμης ακαδημίας, σε μια εποχή που μεγιστοποιείται η προσπάθεια για οργάνωση και μεθοδολογική επεξεργασία των γεωμετρικών γνώσεων της εποχής. Στην προσπάθεια αυτή η «Ακαδημία» με τον Πλάτωνα και τους διαδόχους του συνέβαλε τα μέγιστα. Για τον Πλάτωνα τα μαθηματικά αντικείμενα ήταν μορφές, οντότητες ιδανικές που ανήκαν στον λεγόμενο «κόσμο των Ιδεών». Πίστευε για τα Μαθηματικά ότι έπρεπε να υπηρετούν τη φιλοσοφία για την προσέγγιση του Θεού, και όχι τις υλικές ανάγκες. Ένθερμος θαυμαστής της Γεωμετρίας, ενίσχυε την καλλιέργειά της μέσα στην Ακαδημία, πιστεύοντας απόλυτα στην εκπαιδευτική της αξία. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ «Αεί ο Θεός γεωμετρεί» συνήθιζε να λέει, ενώ στην είσοδο της Ακαδημίας είχε τοποθετήσει την περιβόητη επιγραφή: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην». Διατηρούσε στενούς δεσμούς με τους Πυθαγορείους. Ο ίδιος υπήρξε μαθητής του μαθηματικού Θεόδωρου του Κυρηναίου. Έδωσε γενική μορφή στην Αναλυτική Μέθοδο (η μέθοδος επίλυσης ενός προβλήματος κατά την οποία υποθέτεις ότι ισχύει η απαίτηση του προβλήματος και με διαδοχικούς αντιστρεπτούς συλλογισμούς φθάνεις σε γνωστή / δεδομένη / ισχύουσα πρόταση). Συνέβαλλε σημαντικά στη μελέτη των γεωμετρικών τόπων. Έρευνες αφιέρωσε και στη Στερεομετρία, και συγκεκριμένα στα κανονικά πολύεδρα. Προσδιόρισε τύπους που έδιναν τις πυθαγόρειες τριάδες. Έδωσε μια απλή και ιδιαίτερα ευφυή λύση του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Τα Πλατωνικά Στερεά Φωτιά Γη Αέρας Νερό ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΣΥΜΠΑΝ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Εύδοξος ο Κνίδιος (407-354 π.Χ.) Διετύπωσε τη Γενική Θεωρία των Αναλογιών (σύμμετρων και ασύμμετρων μηκών). Απέδειξε το θεώρημα (που είχε διατυπωθεί από τον Δημόκριτο) ότι: Ο όγκος πυραμίδας (ή κώνου) ισούται με το 1/3 του πρίσματος (ή κυλίνδρου) που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Ανέπτυξε τη «μέθοδο της εξαντλήσεως» (ουσιαστικά πρόκειται για πρωταρχική μορφή της θεωρίας των ορίων και των συγκλινουσών ακολουθιών), με την οποία προσδιορίστηκαν εμβαδά και όγκοι πολλών σχημάτων. Εφάρμοσε τη Σφαιρική Γεωμετρία για τη συναρμολόγηση μηχανισμών για τη μελέτη και την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, πρωτοποριακών για την εποχή του. Δίδαξε στην Ακαδημία του Πλάτωνα. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ιππίας ο Ηλείος (περί το 400 π.Χ.) Ανακάλυψε την πρώτη υπερβατική καμπύλη (γνωστή ως «τετραγωνίζουσα του Ιππία»), στην προσπάθειά του να λύσει το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Δεινόστρατος (περί το 390 π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Μαθητής του Ευδόξου, δίδαξε στην ακαδημία του Πλάτωνα. Επέλυσε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου με τη χρήση της τετραγωνίζουσας του Ιππία. (Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες ήδη γνώριζαν πως αυτό το προβλημα ήταν μη επιλύσιμο με κανόνα και διαβήτη.) Μέναιχμος (περί το 350 π.Χ.) Μαθητής του Ευδόξου, δίδαξε στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Ανακάλυψε τις τρεις κωνικές τομές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή) οι οποίες τότε ονομάζονταν «Μεναίχμιος τριάς» με τη βοήθεια των οποίων έλυσε το Δήλιο πρόβλημα.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Όσο κι αν φαίνεται παράξενο, ο Αριστοτέλης, αν και δεν ήταν μαθηματικός ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά. Μεταξύ άλλων: Ασχολείται με τη φύση των Μαθηματικών αντικειμένων (τα ορίζει ως «αντικείμενα, τα οποία προκύπτουν με αφαίρεση, αίροντας πρώτα ο,τιδήποτε αισθητηριακό, όπως το βάρος [….] τη σκληρότητα και το αντίθετό της, τη θερμότητα […], το ποσόν […] καθώς και τις ιδιότητές τους που είναι ποσά και συνεχή, τις οποίες εξετάζει χωριστά.») Αναλύει τα παράδοξα του Ζήνωνα: «Διχοτομία» και «Στάδιο» στο έργο του Φυσικά, και διατυπώνει τη θεωρία του αναφορικά με το άπειρο και το συνεχές της ευθείας. Μελετά τους Πυθαγορείους, παραθέτει τις απόψεις του αναφορικά με τη συμμετρία και την ασυμμετρία, την οποία θεωρεί ως ένα από τα αίτια γένεσης της θεωρητικής επιστήμης. Πολλές φορές καταφεύγει σε μαθηματικά παραδείγματα για να επεξηγήσει τις σκέψεις του (ομοίως και ο Πλάτων.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ευκλείδης (350-270 π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Θεωρείται ο «Πατέρας» της Επιστημονικής θεωρίας (με την έννοια του αξιωματικά θεμελιωμένου γνωστικού δομήματος), δοθέντος του ότι υπήρξε ο πρώτος ιστορικά που συνέγραψε ένα τέτοιο επιστημονικό έργο: Αναφερόμαστε στα «Στοιχεία», έργο που αποτελείται από 13 βιβλία. Συγκεκριμένα, είναι ο πρώτος που παρήγαγε ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων (θεωρημάτων και πορισμάτων) με βάση ένα σύνολο πρωταρχικών εννοιών, ορισμών και 5 μόνο αρχικές αναπόδεικτες προτάσεις (αιτήματα). Ήταν οπαδός του Πλάτωνα. Ο Πτολεμαίος ο Α΄ τον διόρισε πρώτο πρύτανι στο νεοϊδρυθέν Πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας. Όταν ο Πτολεμαίος ρώτησε τον Ευκλείδη αν υπάρχει ευκολότερος τρόπος για να μάθει Γεωμετρία, του απάντησε: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για την Γεωμετρία.» ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Τα Στοιχεία Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, τα Μαθηματικά είναι επεξεργασμένα ως ένα αξιωματικό, λογικά παραγωγικό σύστημα. Τα Στοιχεία ξεκινούν με ένα σύνολο ορισμών (του σημείου, της γραμμής, της ευθείας, της επιφάνειας, της επίπεδης γωνίας, της ορθής, αμβλείας και οξείας γωνίας, διαφόρων επίπεδων σχημάτων, των παράλληλων ευθειών κ.λπ.) Τους ορισμούς ακολουθούν πέντε αιτήματα: 1. από κάθε σημείο μπορεί να αχθεί ευθεία γραμμή σε κάθε άλλο σημείο, 2. κάθε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να προεκταθεί συνεχώς και ευθύγραμμα και από τα δύο άκρα του, 3. μπορούμε να χαράξουμε κύκλο οποιασδήποτε ακτίνας με κέντρο οποιοδήποτε σημείο, 4. όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες, και 5. μια διατύπωση των συνθηκών κάτω από τις οποίες δύο ευθείες τέμνονται. Μετά τα αιτήματα ακολουθούν πέντε αξιώματα (προτάσεις των οποίων η αλήθεια είναι προφανής αφ' εαυτής και οι οποίες είναι αναγκαίες για την ορθή σκέψη γενικά και τη μαθηματική ειδικότερα.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Τα αξιώματα περιλαμβάνουν προτάσεις όπως ότι «αυτά που είναι ίσα με το ίδιο πράγμα είναι και ίσα μεταξύ τους», ότι «αν στα ίσα προστεθούν ίσα προκύπτουν ίσα αθροίσματα και ότι «το όλον είναι μεγαλύτερο από το μέρος». Αυτοί οι ισχυρισμοί θέτουν τα θεμέλια για τις προτάσεις που περιλαμβάνονται στα 13 βιβλία που ακολουθούν. Το «συμπέρασμα» της τυπικής ευκλείδειας απόδειξης μιας πρότασης συνάγεται με λογική αναγκαιότητα από ορισμούς, αιτήματα, αξιώματα και προτάσεις που έχουν αποδειχθεί προηγουμένως.) Στα βιβλία Α-ΣΤ αναπτύσσονται τα στοιχεία της Επιπεδομετρίας. Το βιβλίο Ι είναι αφιερωμένο στην ταξινόμηση των ασυμμέτρων μεγεθών. Τα βιβλία ΙΑ-ΙΓ ασχολούνται με την Στερεομετρία. Στα βιβλία Ζ-Θ, αντιμετωπίζει αριθμητικά ζητήματα, στα οποία περιλαμβάνεται η θεωρία αριθμών και αριθμητικών αναλογιών. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ένας νεαρός μαθητής ρώτησε τον Ευκλείδη τι όφελος θα έχει από τη μελέτη της Γεωμετρίας. Τότε ο Ευκλείδης απευθύνθηκε σε έναν δούλο λέγοντάς του: «δώσε του (μαθητή) τρεις οβολούς για να έχει όφελος από αυτό που έμαθε.» ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ο Ευκλείδης εφάρμοσε την Γεωμετρία: στην Οπτική, συγγράφοντας τα Οπτικά και τα Κατοπτρικά (ξεκινώντας από το νόμο της ανάκλασης του φωτός σε επίπεδη επιφάνεια συνάγει τους αντίστοιχους νόμους της ανάκλασης του φωτός σε κυρτά και κοίλα κάτοπτρα) στην Αστρονομία, με το έργο Φαινόμενα στη Μουσική, με το έργο Κατατομή Κανόνος στα Εικαστικά, περιλαμβάνοντας σε όλα του τα έργα στοιχεία από τη θεωρία της προοπτικής. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Αρχιμήδης Ο Συρακούσιος (287-212 π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Αν ο Ευκλείδης αποτελεί το πρότυπο δασκάλου και εκπαιδευτικού συγγραφέα ο οποίος παρουσιάζει τη γνώση έτσι ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητή από αρχάριους, ο Αρχιμήδης αποτελεί το πρότυπο του ερευνητή, ο οποίος δεν ενδιαφέρεται τόσο να παρουσιάσει με ομαλό (εκπαιδευτικό) τρόπο μια αλήθεια, όσο να την ανακαλύψει, να την αποδείξει και να την παρουσιάσει σε ώριμους ερευνητές. Στο έργο του: Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (μέθοδος) κάνει διάκριση ανάμεσα στη μέθοδο ανακάλυψης και στη μέθοδο απόδειξης των γεωμετρικών αληθειών. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Μαζί με τον Εύδοξο, θεωρείται ο θεμελιωτής του Απειροστικού Λογισμού. Χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης, για τον υπολογισμό της περιοχής, κάτω από το τόξο παραβολής, με την άθροιση απείρων όρων ακολουθίας (σειρά). Έδωσε μια εξαιρετικά ακριβή προσέγγιση για τον αριθμό π. Όρισε την επίπεδη έλικα που έφερε το όνομά του και υπολόγισε το μήκος της. Υπολόγισε τον όγκο και την επιφάνεια της σφαίρας, θεωρώντας την ως κοινό όριο των επιφανειών εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σε αυτήν σχημάτων. Ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό της παραβολής. Στο Περί Ελίκων δίνει τρόπο εύρεσης της εφαπτομένης σε καμπύλη (τρόπος που εφαρμόζεται μέχρι και σήμερα.) Προσδιόρισε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής (ουσιαστικά κάνοντας χρήση των άνω και κάτω ολοκληρωματικών αθροισμάτων). ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Το έργο του Αρχιμήδη χαρακτηρίζεται από τη στενή σχέση θεωρίας και εφαρμογών, Μαθηματικών και Μηχανικής. Δικαίως θεωρείται ο ‘‘πατέρας’’ της Θεωρητικής Μηχανικής. Ανακάλυψε την υδραυλική αντλία. Ανακάλυψε και απέδειξε τον θεμελιώδη νόμο της Υδροστατικής (τότε είπε και το περίφημο «Εύρηκα!»). Ασχολήθηκε με τη γεωμετρική Οπτική (λέγεται ότι με χρήση κατόπτρων και την εστίαση των ηλιακών ακτινών έκαψε το στόλο των Ρωμαίων κατά την πολιορκία των Συρακουσών.) Σύμφωνα με λεπτομερή περιγραφή του Πλούταρχου, κατασκεύασε μια αποτελεσματική αμυντική μηχανή για να αποκρούσει τους Ρωμαίους (κατά τη πολιορκία των Συρακουσών). Επινόησε και μελέτησε τη χρήση του μοχλού για τη μετακίνηση αντικειμένων. Φέρεται, μάλιστα, να είπε το περίφημο: «Δός μοι πα στω και ταν γαν κινήσω.» (Δός μου μέρος να σταθώ και θα (μετα)κινήσω την Γη.») ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Τραγικός, όσο και ένδοξος ο επίλογος της ζωής του: Ο Αρχιμήδης, γέροντας πλέον, βρισκόταν ‘‘επί τω έργω’’ μελετώντας ένα γεωμετρικό σχήμα, τη στιγμή που αλώθηκαν οι Συρακούσες από τους Ρωμαίους. Ένας ρωμαίος στρατιώτης εισέβαλε στο σπίτι του και τον διέταξε να τον ακολουθήσει προς τον Μάρκελλο.(Κατά άλλους βρισκόταν δίπλα στη θάλασσα και χάρασσε γεωμετρικά σχήματα στην άμμο.) Ο Αρχιμήδης δεν ήθελε, πριν επιλύσει το πρόβλημα. Τότε ο στρατιώτης οργίστηκε και (παρά τις οδηγίες που είχε για το σεβασμό της ζωής του) τον σκότωσε με το ξίφος. Φέρεται λίγο πριν, ο Αρχιμήδης να είπε το γνωστό: «Μη μού τους κύκλους τάραττε.», ή κατά άλλους: «Πάρ’ κεφαλάν και μη παρά γραμμάν.»(κτύπα το κεφάλι μου και όχι το σχήμα) παρακαλώντας τον στρατιώτη, όχι για τη ζωή του, αλλά για τη διάσωση του σχήματος και της λύσης του προβλήματος. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ                                        </p<> </iframe<> ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ερατοσθένης Ο Κυρηναίος ( 276-194 π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς. Θεωρείται ο πρώτος που υπολόγισε την περίμετρο της Γης. Συγκεκριμένα, υπολόγισε το μήκος του μεσημβρινού που διέρχεται από την πόλη Συήνη (Ασσουάν) και την Αλεξάνδρεια, (κάνοντας χρήση των όμοιων τριγώνων). Ακόμα, κατασκεύασε ένα χάρτη του κόσμου όπως τον θεωρούσε. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Απολλώνιος ο Περγαίος (265 -170 π.Χ.) Γνωστός, κυρίως για τη Θεωρία των Κωνικών Τομών (Κωνικά) επεκτείνοντας και εξελίσσοντας την αντίστοιχη μελέτη του Μεναίχμου, και βάζοντας τα θεμέλια της σύγχρονης Αναλυτικής Γεωμετρίας. Ασχολήθηκε ιδιαίτερα με γεωμετρικούς τόπους του επιπέδου. Μάλιστα ένας εξ αυτών, φέρει και το όνομά του: ‘‘Απολλώνιος Κύκλος’’ (βρίσκεται μέσα στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας). Έλυσε και το Δήλιο πρόβλημα. Επίσης, ανέπτυξε και την Προβολική Γεωμετρία. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ίππαρχος ο Νικαεύς (190-120 π.Χ.) Μαθηματικός που διέπρεψε στην αστρονομία, κάνοντας χρήση της σφαιρικής Τριγωνομετρίας, και εφαρμόζοντας εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. (Επινόησε διαδικασία υπολογισμού πλευράς κανονικού 9-γώνου και 11-γώνου, και υπολογισμό πλευράς κανονικού 2ν-γώνου όταν είναι γνωστή η πλευρά του κανονικού ν-γώνου.) Επινόησε τις γεωγραφικές συντεταγμένες (γεωγραφικό μήκος και γεωγραφικό πλάτος). Κατασκεύασε χάρτες με τη βοήθεια των γεωγραφικών συντεταγμένων και τη στερεογραφική προβολή. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Νικομήδης (περί το 200 π.Χ.) Επινόησε την κογχοειδή καμπύλη με η βοήθεια της οποίας επέλυσε το Δήλιο πρόβλημα (του 2-πλασιασμού του κύβου) καθώς και το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Διοκλής (1ος αι. π.Χ.) Επινόησε την κισσοειδή καμπύλη με τη βοήθεια της οποίας επέλυσε το Δήλιο πρόβλημα. Με τη βοήθεια των κωνικών τομών έλυσε το πρόβλημα της διαίρεσης της σφαίρας (ισοδυναμεί με πρόβλημα επίλυσης εξίσωσης 3ου βαθμού). Διονυσόδωρος ο Μήλιος (2ος-1ος αι. π.Χ.) Μαζί με τον Διοκλή εργάστηκε πάνω στο πρόβλημα της διαίρεσης της σφαίρας. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ήρων Ο Αλεξανδρεύς (περί το 65 μ.X.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Έγραψε σχόλια στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Ασχολήθηκε ιδιαίτερα με τη μετρική Γεωμετρία (η Ευκλείδεια Γεωμετρία με τη χρήση των λόγων των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων, με έμφαση στην έννοια του μήκους ως αριθμού και στην έννοια του υπολογισμού και της μέτρησης, έναντι της κατασκευής με κανόνα και διαβήτη) στο έργο του Μετρικά. Γνωστός είναι ο ομώνυμος τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού τριγώνου από τις πλευρές του. Έκανε εκτεταμένη χρήση της Γεωμετρίας στη Μηχανική. Η πιο διάσημη εφεύρεση του είναι ο ατμοστρόβιλος, η πρώτη ατμομηχανή στην ιστορία. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ο ατμοστρόβιλος

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς (70 -140 μ.Χ.) Είναι ο θεμελιωτής της Σφαιρικής Γεωμετρίας, της πρώτης μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας (στην οποία η επιφάνεια της σφαίρας είναι ό,τι είναι το επίπεδο στην Ευκλείδεια, και οι μέγιστοι κύκλοι είναι ό,τι είναι οι ευθείες στην Ευκλείδεια), και εισάγει για πρώτη φορά τα σφαιρικά τρίγωνα (τρίγωνα τα οποία έχουν πλευρές τόξα μέγιστων κύκλων). Ομοίως, θεμελιώνει και τη Σφαιρική Τριγωνομετρία, και διατυπώνει το ομώνυμο θεώρημα («θεώρημα του Μενελάου», εφαρμογή του οποίου αποτελεί στην επιπεδομετρία το «θεώρημα της διχοτόμου»). ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Κλαύδιος Πτολεμαίος (85 – 165 μ.Χ.) Έγραψε το περίφημο έργο Μαθηματική Σύνταξις, που αποτελούσε τη μεγαλύτερη γραπτή συγκέντρωση των αστρονομικών γνώσεων των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, και που αργότερα ονομάστηκε από τους θαυμαστές του Μεγάλη Σύνταξις. Οι άραβες, τον 8ο αι. που μετέφρασαν το έργο αυτό στη γλώσσα τους, ένωσαν το άρθρο ‘‘Αℓ’’ (‘‘η’’) με τη λέξη ‘‘μεγίστη’’ που αραβοποιημένα προφερόταν ‘‘μαγέστα’’, με αποτέλεσμα το έργο να φτάσει ως τις μέρες μας με τον τίτλο ‘‘Αλμαγέστα’’ (ή Αλμαγέστη). Επινόησε και διατύπωσε το ομώνυμο θεώρημα (που αφορά τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο), με την εφαρμογή του οποίου ανακάλυψε και απέδειξε γνωστούς τριγωνομετρικούς τύπους (μεταξύ των οποίων για το ημ και το συν αθροίσματος και διαφοράς γωνιών). ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς (περί το 250 μ.Χ.) Θεωρείται από πολλούς μελετητές της ιστορίας των Μαθηματικών ως ο «πατέρας της Άλγεβρας», όχι γιατί ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με αυτήν (ο ίδιος ο Ευκλείδης είχε ασχοληθεί με τους πρώτους αριθμούς, και μάλιστα απέδειξε πως είναι άπειροι στο πλήθος, καθώς και με την ταξινόμηση των τετραγωνικών ριζών), αλλά γιατί: πρώτον, είναι ο πρώτος που τη διαχώρισε σαφώς από τη Γεωμετρία εισάγοντας έναν νέο αλγεβρικό συμβολισμό, και δεύτερον, ασχολήθηκε σε έκταση με διάφορα αλγεβρικά προβλήματα και αύξησε τον όγκο των γνώσεων που υπήρχε μέχρι τότε σε αυτήν, ιδρύοντας τη Θεωρία των αριθμών. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Στο έργο του, Αριθμητικά πραγματεύεται την επίλυση εξισώσεων πρώτου, δευτέρου, ακόμα και τρίτου βαθμού με δύο αγνώστους, ενώ ενδιαφέρεται αποκλειστικά για ακέραιες ή και ρητές λύσεις. (ουσιαστικά επεκτείνει και εξελίσσει τη θεωρία που ξεκίνησε από τις πυθαγόρειες τριάδες.) Γνωστές και από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου είναι και οι «γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις», ενώ ασχολήθηκε ιδιαιτέρως με τη διαιρετότητα και την ανάλυση των αριθμών. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πάππος ο Αλεξανδρεύς (περί το 320 μ.Χ.) Ένας εκ των σημαντικότερων Γεωμετρών της αρχαιότητας, έμεινε στην ιστορία για το έργο Μαθηματική συναγωγή, το οποίο αποτελείται από οκτώ βιβλία, μέσα στα οποία περιέχονται σχόλια, συμπληρώσεις, παρατηρήσεις και γενικεύσεις προτάσεων πάνω σε όλα τα προηγούμενα έργα Γεωμετρίας, ενώ συμπληρώνει και ο ίδιος δικά του θεωρήματα. Στη Μαθηματική συναγωγή περιέχονται παρατηρήσεις πάνω και σε αστρονομικού περιεχομένου έργα των αρχαίων Ελλήνων. Τα σχόλια του Πάππου προσφέρουν έναν όγκο σημαντικών ιστορικών και βιβλιογραφικών πληροφοριών. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Υπατία η Αλεξανδρινή (375-415 μ.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ήταν κόρη του Θέωνα του Αλεξανδρέα, ο οποίος έγραψε σχόλια και προσθήκες στα Στοιχεία του Ευκλείδη, στη Μαθηματική Σύνταξη (Αλμαγέστη) του Κλαύδιου Πτολεμαίου. Ο Πρόκλος (410-485 μ.Χ.) (του οποίου το Υπόμνημα εις το πρώτον των Ευκλείδου Στοιχείων αποτελεί μια από τις κύριες πηγές για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών) ήταν επικεφαλής μιας νεοπλατωνικής σχολής στην Αθήνα. Η Υπατία ήταν η εκπρόσωπος της ίδιας σχολής στην Αλεξάνδρεια. Η Υπατία μελέτησε και έγραψε σχόλια στα Στοιχεία του Ευκλείδη, στα Αριθμητικά του Διόφαντου και σε άλλα μαθηματικά έργα ελλήνων κλασικών. Δολοφονήθηκε από φανατικούς οπαδούς του αρχιεπισκόπου Αλεξανδρείας Κυρίλλου. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΑΛΛΕΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Θεμιστόκλεια (6ος αι. π.Χ.) Μύησε τον Πυθαγόρα στις αρχές της αριθμοσοφίας και της γεωμετρίας και αποτέλεσε την αιτία για να δεχτεί ο Πυθαγόρας γυναίκες στη σχολή του. Θεανώ (6ος αι. π.Χ.) Μαθήτρια και σύντροφος του Πυθαγόρα (παρά τα 36 χρόνια διαφοράς τους) και στην οποία αποδίδεται η πυθαγόρεια άποψη περί χρυσής τομής. Με την βοήθεια των θυγατέρων της (Δαμούς, Μυίας ή Μυρίας και Αριγνώτης) διέδωσε το επιστημονικό και φιλοσοφικό πυθαγόρειο σύστημα σε όλη την Ελλάδα και την Αίγυπτο. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Φιντύς (6ος αι. π.Χ.) Αναφέρεται ως εμπνεύστρια της ισότητας που συνδέει τις πυθαγόρειες τριάδες. Λασθενία (4ος αι. π.Χ.) Σπούδασε ντυμένη ως άνδρας στην Ακαδημία Πλάτωνος, έγινε σύντροφος του Σπευσίππου και τής αποδίδεται ο ορισμός της σφαίρας. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Δαμώ (6ος π.Χ. αιώνας) Κόρη του Πυθαγόρα και της Θεανούς, δίδαξε τα πυθαγόρεια δόγματα στη Σχολή του Κρότωνος. Μετά την διάλυση της Σχολής, η Δαμώ, στην οποία ο Πυθαγόρας είχε εμπιστευτεί τα γραπτά του έργα, με την ρητή εντολή να μην τα ανακοινώσει σε αμύητους, κατέφυγε στην Αθήνα. Για μεγάλο χρονικό διάστημα τήρησε την παραγγελία του πατέρα της. Αργότερα όμως δημοσίευσε μόνο τη γεωμετρική διδασκαλία του Πυθαγόρα (με τίτλο ‘Η προς Πυθαγόρου Θεωρία’), με την βοήθεια του Φιλολάου και του Θυμαρίδα. Κατά τον Γεμίνο τον Ρόδιο, η κατασκευή του κανονικού 4- έδρου και του κύβου οφείλονται στην Δαμώ. Ο Διογένης ο Λαέρτιος τής αποδίδει τη ρήση: «Των σχημάτων το κάλλιστον, σφαίραν είναι των στερεών, των δ’ επιπέδων, κύκλος.» ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΠΟΛΥΓΝΩΤΗ (7ος – 6ος αι. π.Χ.) ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΕΙΑ (6ος αι. π.Χ.) ΑΡΙΓΝΩΤΗ (6ος αι. π.Χ.) ΜΥΙΑ (6ος αι. π.Χ. ) ΔΕΙΝΩ (6ος αι. π.Χ.). ΕΛΟΡΙΣ Η ΣΑΜΙΑ(6ος αι. π.Χ.). ΜΕΛΙΣΣΑ (6ος αι. π.Χ.). ΤΥΜΙΧΑ (6ος αι. π.Χ.). ΠΤΟΛΕΜΑΪΣ (6ος αι. π.Χ.) ΔΙΟΤΙΜΑ από την Μαντίνεια (6ος – 5ος αι. π.Χ.) ΒΙΤΑΛΗ (6ος – 5ος αι. π.Χ.) ΠΕΡΙΚΤΙΟΝΗ (5ος αι. π.Χ. ) ΑΞΙΟΘΕΑ (4ος αι. π.Χ.) ΝΙΚΑΡΕΤΗ η Κορίνθια (4ος π.Χ. ) ΠΑΝΔΡΟΣΙΩΝ (4ος αι.μ.Χ.) ΑΡΕΤΗ η Κυρηνεία (4ος – 3ος αι.π.Χ.) ΠΥΘΑΪΣ (2ος αι. π.Χ.) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Σχέση Άλγεβρας- Γεωμετρίας Από τον Θαλή μέχρι και πριν το Διόφαντο διαπιστώνουμε μια άρρηκτη σύνδεση μεταξύ Γεωμετρίας και Άλγεβρας. Είδαμε τη θεμελίωση τόσο των ρητών όσο και των αρρήτων μέσα από λόγους (γεωμετρικών) ευθυγράμμων τμημάτων. Αξιοσημείωτη είναι επίσης η αναφορά (από τον Πυθαγόρα, ακόμα) σε τρίγωνους, τετράγωνους και λοιπούς αριθμούς. Ακόμα και τα βασικά προβλήματα της αρχαιότητας έχουν ταυτόχρονα την αλγεβρική και την γεωμετρική τους ανάγνωση, παρ’ όλο που η επίλυσή τους επιχειρείται και επιτυγχάνεται γεωμετρικά . Οι μετρικές σχέσεις στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, και ο συνδυασμός Άλγεβρας-Γεωμετρίας στις κωνικές τομές (ακόμα και χωρίς σύστημα συντεταγμένων) καταδεικνύουν την άρρηκτη σχέση μεταξύ της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας. Ο Διόφαντος είναι ο πρώτος που ‘αυτονόμησε’ την Άλγεβρα από τη Γεωμετρία εισάγοντας έναν νέο αλγεβρικό συμβολισμό. Τέλος, αναφορικά με τον Αρχιμήδη, τον Εύδοξο, τον Ζήνωνα και όσους ασχολήθηκαν με τη δομή της ευθείας, αλλά και με τα άνω και κάτω αθροίσματα κ.τ.λ. η Γεωμετρία ήταν παρούσα σε όλες αυτές τις μελέτες. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Η εφαρμογή των αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών στη Φυσική, την Αστρονομία και τη Γεωγραφία Από όσα αναφέραμε έως τώρα, έγινε φανερό πόσο εκτεταμένη είναι η εφαρμογή της Γεωμετρίας σε άλλους τομείς όπως η Αστρονομία, η Φυσική (Οπτική, Μηχανική), η Γεωγραφία (γεωδαισία και χαρτογράφηση), από διακεκριμένους μαθηματικούς της αρχαιότητας όπως ο Θαλής, ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Εύδοξος, ο Ερατοσθένης, αλλά και ο Αναξίμανδρος ο Μιλήσιος (611-546 π.Χ.) που ίδρυσε τη Μαθηματική Γεωγραφία καθώς και ο Αρίσταρχος ο Σάμιος (310-230 π.Χ.) που έμεινε στην ιστορία για το ηλιοκεντρικό του σύστημα. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Τα αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά στην Τέχνη (Μουσική) Όπως αναφέραμε, τόσο οι Πυθαγόρειοι όσο και ο Ευκλείδης (Κατατομή Κανόνος) κάνοντας κατάλληλη χρήση των Μαθηματικών έγραψαν τη θεωρία της Μουσικής. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Τα αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά στην Τέχνη (Εικαστικά) ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ο λόγος φ της διαίρεσης σε μέσο και άκρο λόγο, πιστεύεται από πολλούς ότι αποτελεί βασικό κανόνα ωραιότητας και αρμονίας. Όσον αφορά την Τέχνη, με τη χρήση του λόγου φ, κατασκευάστηκαν διάφορα έργα της αρχαιότητας όπως ο Παρθενώνας, το Θέατρο του Ιερού της Επιδαύρου, το Θέατρο του Ωρωπού Αττικής κ.ά. Αλλά και σε μεταγενέστερα έργα τέχνης όπως στους πίνακες «Ο Μυστικός Δείπνος» και «Μόνα Λίζα» του Leonardo da Vinci, ο αριθμός φ είναι… παρών. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Το πρόβλημα της υποδιαίρεσης τμήματος (με κανόνα και διαβήτη) σε μέσο και άκρο λόγο (δηλαδή να βρεθεί σημείο Β ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ έτσι ώστε ΑΒ2 =ΑΓ.ΒΓ ), το οποίο τον 19ο αιώνα ονομάστηκε «πρόβλημα της χρυσής τομής» απασχόλησε τον Ευκλείδη στα Στοιχεία (νωρίτερα και τους Πυθαγορείους), οδήγησε στην ανακάλυψη του ασυμμέτρου αριθμού φ (είναι περίπου ίσος με 1,618 και ονομάζεται «χρυσούς αριθμός») ο οποίος συμβολίζεται έτσι διεθνώς, προς τιμήν του γλύπτη Φειδία. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Το χρυσό ορθογώνιο και η λογαριθμική σπείρα ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Χρυσό ορθογώνιο είναι εκείνο στο οποίο: αν διαιρέσουμε το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς του με το μήκος της μικρότερης πλευράς του παίρνουμε πηλίκο ίσο με τον χρυσό αριθμό Φ Το χρυσό ορθογώνιο εμφανίζεται συνέχεια στην κατασκευή του Παρθενώνα. Στο παραπάνω σχήμα μόνο, βλέπουμε έξι (6) τέτοια χρυσά ορθογώνια.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Το χρυσό ορθογώνιο και η λογαριθμική σπείρα ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία  διαιρώντας ένα χρυσό ορθογώνιο,  και στα τετράγωνα που προκύπτουν φέρουμε  ένα τεταρτημόριο  κύκλου με ακτίνα την πλευρά τους τότε προκύπτει το παρακάτω σχήμα  που ονομάζεται λογαριθμική σπείρα. Η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται στη φύση, στα θαλάσσια όστρακα (ναυτίλος) στους κυκλώνες, στους σπειροειδείς γαλαξίες και αλλού.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Σύμφωνα με τον θεατρικό συγγραφέα, σκηνοθέτη και μαθηματικό Απόστολο Δοξιάδη (Τρίτο Μεσογειακό Συνέδριο Μαθηματικής Εκπαίδευσης Αθήνα, Ιανουάριος 2003: «στον παραπάνω πίνακα του Ραφαέλ, "Η Σχολή των Αθηνών", οι κεφαλές του Πυθαγόρα, του Ευκλείδη και του Πλάτωνα, σχηματίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο. Γνωρίζοντας την τεράστια επιρροή της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας στην αναγεννησιακή τέχνη καθώς και το γεγονός ότι οι μεγάλοι αυτοί ζωγράφοι όχι μόνο σημείωναν στον καμβά τους αλλά και ότι "έπαιζαν" με διάφορους συμβολισμούς, άρχισα να "σκάβω" τον πίνακα, προσπαθώντας να ανακαλύψω κι άλλες μυστικές, κρυφές σχέσεις πίσω από τα εικονιζόμενα πρόσωπα. Το αποτέλεσμα με άφησε άφωνο! ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Όλος ο πίνακας είναι ένας περίτεχνος γεωμετρικός καμβάς που αποτελείται από... ...σχήματα που υπακούν στη "χρυσή αναλογία" του αριθμού φ, δηλαδή του αριθμού 1,618...  ………….. Έτσι αντιλήφθηκε και "μοντελοποίησε" τη σχέση ανάμεσα στις Επιστήμες της Αρχαίας Ελλάδας και ακριβώς επάνω στη γεωμετρική αυτή βάση άρχισε να ζωγραφίζει τις μορφές του. "Η Σχολή των Αθηνών", ήταν στην αρχαία Αθήνα κάτι σαν ένα  σημερινό Φροντιστήριο και ανήκε στον Πλάτωνα. Λέγεται μάλιστα ότι στην είσοδό του υπήρχε επιγραφή που έγραφε: "Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω", δηλαδή, "Δεν μπαίνει κανείς που δεν ξέρει Γεωμετρία". Τί έκανε ο Ραφαέλ; Μα έκανε πράξη ακριβώς το παραπάνω ρητό. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Ακόμα και εμείς, οι σύγχρονοι παρατηρητές αυτού του αριστουργήματος, πότε άραγε "μπήκαμε" πραγματικά στον πίνακα; Πότε "μπήκαμε" στη Σχολή των Αθηνών; Μα φυσικά, μόλις (ανά)-γνωρίσαμε τη κρυφή γεωμετρία του Ραφαέλ. Μόνο τότε αποκτήσαμε ουσιαστική πρόσβαση στο καλλιτεχνικό αποτέλεσμα καθώς οι κρυφοί αυτοί συμβολισμοί αποτελούν προφανώς συστατικό, δομικό στοιχείο, έστω πρωτογενές, των εκφραστικών προθέσεων του ζωγράφου. Μέχρι πρότινος, θαυμάζαμε το "υπέροχο μπλε" του Ραφαέλ, κ.τ.λ. Η ανακάλυψη της κρυφής γεωμετρίας, δημιουργεί νέο πεδίο αναγνώσεων.»   ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Σας ευχαριστούμε για την προσοχή σας!!