Vektorid.

I Vektor tasandil. Vektor tasandil. Vektori mõiste. Vektori pikkus ja koordinaadid. Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted. Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus. Siht näitab, kuidas vektor asetseb, Suund kummale poole on vektor suunatud. Pikkus on vektori arvväärtuseks. Vektoreid võib tähistada nende algus- ja lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt. Vektoreid võib tähistada ka ladina väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted. Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis seda tähistatakse nii: a b. Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite vastavad koordinaadid on seega võrdelised. Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis seda tähistatakse nii: a b. Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis seda tähistatakse nii: a b.

Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) , siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) . Vektori koordinaadid. Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 ) ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB koordinaatide leidmiseks lahutame lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori koordinaadid tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu. Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) , siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine. y Kui meil on teada vektori koordinaadid, saame leida selle pikkuse Pythagorase teoreemi järgi (jälgi joonist), vaadeldes koordinaate kaateteina. NB! Pikkus on skalaar. a Y | a | = X2 + Y2 . X x

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) . Tehted vektoritega. Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse. a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine. a a + b + c + d c d b Vektorite matemaatilisel liitmisel nende vektorite vastavad koordinaadid liidetakse. Vektorite geomeetrilisel liitmisel asetatakse vektorid nii, et iga eelmise vektori lõpp-punkt ühtib järgmise algusega. Summavektor kulgeb esimese algusest viimase lõpp-punkti. a a + b + c + d d c b

Vektorite lahutamine. a b - a b Vektorite matemaatilisel lahutamisel lahutatakse teise vektori koordinaadid vastavatest esimese vektori koordinaatidest. Vektorite geomeetrilisel lahutamisel asetatakse vektorid nii, et nende alguspunktid ühtivad. Vahevektor kulgeb teise vektori lõpp-punktist esimese vektori lõpp-punkti. Vektori lahutamine tähendab vastandvektori liitmist. a b b - a

Vektori korrutamine arvuga. Kui vektorit a korrutada arvuga k, korrutub vektori pikkus arvu k absoluut-väärtusega ja koordinaa-did arvuga k. Kui arv k > 0, jääb vektori suund samaks, kui k < 0, muutub vektori suund vastupidiseks. Mistahes vektori korruta- misel arvuga 0 saame tulemuseks nullvektori, mida tähistatakse 0. -½·a -a 2·a a ½·a

Vektorite skalaarkorrutis. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatak-se nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutiste summaga. a · b = | a | · | b | · cos α või a · b = x1 · x2 + y1 · y2 .

Vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub, et kui vektorid on risti, on nende skalaarkorrutis null (kuna koosinus täisnurgast on võrdne nulliga). Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis. Punkt ruumis. Vektor ruumis. Kohavektor. Tehted vektoritega. Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis. z yz xz y xy x Punkti paigutamiseks ruumi ei piisa enam kahest teljest, tuleb lisada kolmas, z-telg. Nüüd kirjeldab punkti asukohta järjestatud arvukolmik: ( X ; Y ; Z ). Teljestik jaotab ruumi kolmeks tasandiks: yz-tasandiks, xz-tasandiks ja xy-tasandiks. z yz xz xy X y Z Y x

Punkt ruumis. Kui üks punkti koordinaatidest on null: Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil, Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil, Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil. Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid: Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel, Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel, Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel. Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis. Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde. Vektori korrutamisel skalaariga ja skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida täpselt samamoodi kui tasandil. | a | = X2 + Y2 + Z2 , a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) , a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon. Skalaarkorrutise abil saab leida ka ühe vektori skalaarset ristprojektsiooni teise vektori sihil. Valemina: vektori skalaar-projektsioon teise vektori sihil võrdub vektorite ska-laarkorrutise ja esimese vektori pikkuse jagatisega. u pruv v pruv = ( u · v ) : | u |

Ühikvektorid. Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k. Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma koordinaatide ja vastavate ühikvektorite korrutiste summana.

Punkti kohavektor. z P y Q x Valime teljestikul mingi punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ). Vektor, mis moodustub koordinaatide alguspunkti ja punkti P vahel, on punkti P kohavektor. Punkti kohavektori koordinaadid on võrdsed selle punkti koordinaati-dega. z P y Q x

Vektorite komplanaarsus. Vektoreid, mis asuvad ühel ja samal tasandil või paralleelsetel tasanditel, nimetatakse komplanaar-seteks. Komplanaarsust nimeta-takse ka samarihilisuseks, s.t. vektorid kuuluvad samasse rihti. Kui kolme vektori koordi-naatidest moodustatud kolmerealine determinant on võrdne nulliga, on need vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu. Ruumi iga vektori saab avaldada kolme mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu. Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed. Koostada ja lahendada võrrandisüsteem: Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks. Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on lahendid. Ei olnud ju raske! k + m + n = k + m + n = k + m + n = s = ( ; ; ) u = ( ; ; ) v = ( ; ; ) w = ( ; ; ) 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vektorkorrutis. Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on järgmised omadused: Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga. Tema siht on risti mõlema vektori sihiga. Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi reegliga. Tegurite järjekorra muutumisel muutub vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis. z a x b b a y x a x b = |a|·|b|·sinα Eeskirjad vektorkorru-tiste leidmiseks: z a x b = |a|·|b|·sinα a x b b a y i j k a x b = ax ay az bx by bz x

Aitäh! Julius Juurmaa