Νοεροί υπολογισμοί και εκτιμήσεις Mental calculations and estimations 26η Ιανουαρίου 2018 Χαράλαμπος Λεμονίδης Καθηγητής Διδακτικής μαθηματικών Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Επιστημονική Σχολή «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» http://mathslife.eled.uowm.gr/ Κάποια από τα σημαντικά έργα της σχολής αυτής είναι: Τα σχολικά βιβλία μαθηματικών της Α’ και Γ’ τάξης, που εκδόθηκαν από το υπουργείο Παιδείας και διδάσκονται σε εθνικό επίπεδο. Ο διαγωνισμός των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής για μαθητές Ε’ και Στ’ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Το δίκτυο εκπαιδευτικών των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής http://www.uowm.gr/mathslife/.

Κάποιες αρχές των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής Μάθηση με κατανόηση Πλαισιωμένα μαθηματικά που να δημιουργούν κίνητρα Διδασκαλία μαθηματικών για όλους

Η κλασική αντίληψη για τη διδασκαλία των μαθηματικών: Τα μαθηματικά θεωρούνται σαν μια σιδερένια πανοπλία ιππότη ενός μεγέθους (συνήθως μεγάλου) την οποία ο εκπαιδευτικός των μαθηματικών προσπαθεί να την φορέσει σε όλους τους μαθητές!

Με ποια μέσα κάνουμε υπολογισμούς; Με μηχανές Με το μυαλό Με χαρτί και μολύβι

Ας κάνουμε κάποιους υπολογισμούς 88 + 45 49 x 6 1 ½ : ½ Τι είναι οι νοεροί υπολογισμοί (mental calculations); Ας κάνουμε κάποιους υπολογισμούς 88 + 45 49 x 6 1 ½ : ½ Συγκρίνω το ¾ και το 5/6

Ορισμός Νοερός υπολογισμός είναι ο υπολογισμός που πραγματοποιείται νοερά και με τη χρήση στρατηγικών. Παράγει μια ακριβή απάντηση. Πραγματοποιείται συνήθως χωρίς τη χρήση εξωτερικών μέσων όπως χαρτί και μολύβι, αν και μπορεί να χρησιμοποιείται το χαρτί και το μολύβι, για «σύντομες σημειώσεις» που υποστηρίζουν τη μνήμη. (Λεμονίδης, 2013) Από πολλούς γίνεται σύγχυση μεταξύ του νοερού υπολογισμού και της εκτίμησης

Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί; Ορισμός Σύμφωνα με τον Sowder (1988) «εκτίμηση (estimation) είναι η διαδικασία μετατροπής αριθμών από ακριβείς σε προσεγγιστικούς και ο νοερός υπολογισμός με αυτούς τους αριθμούς, για να ληφθεί μια απάντηση η οποία είναι αρκετά κοντά στο αποτέλεσμα του ακριβούς υπολογισμού». Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί;

Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί; Α. Η χρησιμότητα και η εφαρμογή τους στην πράξη: Χρησιμοποιούνται πολύ στην καθημερινή ζωή και μάλιστα περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς. Β. Η συμβολή τους σε άλλες μαθηματικές έννοιες: H εξάσκηση με αυτούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της αίσθησης του αριθμού. Bοηθούν στην κατανόηση και την ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού. Αποτελούν την βάση για να αναπτυχθούν οι ικανότητες των κατ’ εκτίμηση υπολογισμών. H νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων.

Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί; Γ. Η συμβολή τους σε γνωστικές ικανότητες: Με τους νοερούς υπολογισμούς εξασκείται η ικανότητα αναπαράστασης και χρήσης αφηρημένων εννοιών στη βραχύχρονη μνήμη, ασκείται επίσης και η ικανότητα της ευελιξίας. Ασκείται, τέλος και η μεταγνωστική ικανότητα των μαθητών, όταν αυτοί παρουσιάζουν τους τρόπους με τους οποίους υπολόγισαν.

Αίσθηση του αριθμού, οι νοεροί υπολογισμοί και η εκτίμηση Τι είναι η αίσθηση του αριθμού; Η αίσθηση του αριθμού αναφέρεται στη γενική κατανόηση ενός ατόμου των αριθμών και των πράξεων και στην ικανότητα χειρισμού καταστάσεων της καθημερινής ζωής που περιέχουν αριθμούς. Η ικανότητα αυτή προϋποθέτει τη χρήση ευέλικτων, χρήσιμων και αποτελεσματικών στρατηγικών στον νοερό υπολογισμό και την εκτίμηση, για τη διαχείριση αριθμητικών προβλημάτων (McIntosh, Reys, & Reys, 1992; Reys & Yang 1998 ; Sowder, 1992).

Αίσθηση του αριθμού, οι νοεροί υπολογισμοί και η εκτίμηση Τι είναι η αίσθηση του αριθμού; Οι Kalchman, Moss, & Case (2001, σελ. 2) σημειώνουν ότι τα χαρακτηριστικά της καλής αίσθησης του αριθμού περιλαμβάνουν: α) ευχέρεια στην εκτίμηση και την κρίση των μεγεθών, β) ικανότητα αναγνώρισης παράλογων αποτελεσμάτων, γ) ευελιξία στους νοερούς υπολογισμούς, δ) ικανότητα κίνησης μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων και χρήση της πιο κατάλληλης αναπαράστασης. Προφανώς η αίσθηση του αριθμού προσδιορίζεται διαφορετικά ανάλογα με την ηλικία και τις γνώσεις που διαθέτουν τα παιδιά στις διάφορες ηλικίες.

Αίσθηση του αριθμού, οι νοεροί υπολογισμοί και η εκτίμηση Τι είναι η αίσθηση του αριθμού; Σύμφωνα με τα παραπάνω παρατηρούμε ότι οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις είναι ένα υποσύνολο της αίσθησης του αριθμού και εμπεριέχονται σε αυτήν. Μπορούμε να πούμε, λοιπόν, ότι οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις συνδέονται και εξαρτώνται άμεσα από την αίσθηση του αριθμού.

Αποτελέσματα ερευνών

Πρακτικές προτάσεις διδασκαλίας Πλουραλισμός στις στρατηγικές στόχος η ευελιξία Ανάπτυξη των μεταγνωστικών ικανοτήτων Εξατομίκευση της διδασκαλίας όπου χρειάζεται

Ας κάνουμε κάποιες εκτιμήσεις Εκτιμήσεις Ας κάνουμε κάποιες εκτιμήσεις Η Μαρία έτρεξε 1/2 km το πρωί και 3/8 km το απόγευμα. Έτρεξε τουλάχιστον 1km ; Στα 816 ml μιας ουσίας το 9,84% είναι αλκοόλη. Πόση περίπου αλκοόλη έχει η ουσία; Έξι ανεξάρτητες μετρήσεις έγιναν από μια ομάδα για την εύρεση του ύψους του βουνού Έβερεστ σε πόδια: 28.990, 28.991, 28.994, 28.998, 29.001, 29.026. Με βάση αυτές τις μετρήσεις πόσο περίπου μπορούμε να πούμε ότι είναι το ύψος του Έβερεστ;

Διάφορα είδη εκτίμησης υπολογιστική εκτίμηση (computational estimation), απαιτεί να εκτιμηθεί το αποτέλεσμα ενός υπολογισμού εκτελώντας κάποιον νοερό υπολογισμό με προσεγγίσεις των αρχικών αριθμών. Για να είναι σωστό το αποτέλεσμα θα πρέπει να βρίσκεται μέσα σε κάποιο διάστημα, το οποίο προσδιορίζεται από το ίδιο το πρόβλημα, ή κάποια εξωτερική πηγή, όπως είναι ο εκπαιδευτικός. Π.χ. Εκτιμήστε περίπου το άθροισμα των πιο κάτω ποσών: 1,26 €, 4,79 €, 0,99 €, 1,37 €, 2,58 €

Διάφορα είδη εκτίμησης εκτίμηση μέτρων (estimating measures), Μπορούμε να ορίσουμε την εκτίμηση μέτρων ως τη διαδικασία με την οποία φτάνουμε σε μια μέτρηση χωρίς τη χρήση εργαλείων μέτρησης. Για παράδειγμα, για να εκτιμήσει κάποιος το μήκος της περιμέτρου ενός φράχτη με πασσάλους σε σταθερή απόσταση, μπορεί πρώτα να εκτιμήσει το μήκος μεταξύ των πασσάλων και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσει, ώστε να εκτιμήσει τελικά το μήκος της περιμέτρου του φράχτη. Το ποτήρι του κρασιού περιέχει περίπου 125ml. Πόσα περίπου ml περιέχει ολόκληρο το μπουκάλι;

Διάφορα είδη εκτίμησης εκτίμηση πλήθους (estimating numerosity) Η εκτίμηση πλήθους τίθεται συνήθως με την ερώτηση «πόσα είναι» και ζητείται να βρεθεί ο αριθμός των στοιχείων σ’ ένα σύνολο. Για παράδειγμα, προσπαθούμε να εκτιμήσουμε τον αριθμό των ανθρώπων μέσα σε μια αίθουσα κινηματογράφου, τον αριθμό των καρτών σε μια στοίβα από κάρτες, πόσες είναι οι καραμέλες σ’ ένα κουτί, κτλ. Π.χ. Πόσες περίπου είναι οι καραμέλες που υπάρχουν στο μεσαίο βάζο;

Διάφορα είδη εκτίμησης και εκτίμηση αριθμογραμμής (number line estimation) H εκτίμηση αριθμογραμμής απαιτεί είτε την ερμηνεία ενός αριθμού σε μια θέση στον χώρο, πάνω σε μια αριθμογραμμή, είτε την ερμηνεία ενός σημείου του χώρου της αριθμογραμμής με έναν αριθμό. Π.χ. Ένωσε τους αριθμούς με τη θέση που πρέπει να έχουν στην αριθμογραμμή.

Στρατηγικές στην υπολογιστική εκτίμηση 1. Στρογγυλοποίηση: Μετατρέπονται το ένα ή και τα δύο μέλη στον πλησιέστερο αριθμό που καταλήγει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά (π.χ. στο 496+498, και οι δύο προσθετέοι μπορεί να μετατραπούν σε 500). Μπορεί να ακολουθήσει διόρθωση της εκτίμησης αν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια. Μπορούμε να διακρίνουμε δύο τύπους στρογγυλοποίησης: Στρογγυλοποίηση με κανόνα: η στρογγυλοποίηση εδώ βασίζεται στον γνωστό κανόνα στρογγυλοποίησης με βάση το 5. Στρογγυλοποίηση που βασίζεται στην κατάσταση: παίρνεται υπόψη το πλαίσιο του αριθμητικού προβλήματος και η ειδική κατάσταση του υπολογισμού. Για παράδειγμα, στο γινόμενο 65x23 όλες οι στρογγυλοποιήσεις 60x20, 70x20 or 70x23 είναι αποδεκτές.

Στρατηγικές στην υπολογιστική εκτίμηση Στρατηγική εμπρόσθιου άκρου: Παρόλο που μπορεί να φανεί χρήσιμη και στις τέσσερις πράξεις, η κύρια χρησιμότητά της είναι στην πρόσθεση. Μπορεί να πραγματοποιηθεί σε δύο βήματα. Στην αρχή επικεντρώνεται στα ψηφία στο αριστερό άκρο των αριθμών, αγνοώντας τα υπόλοιπα. Αφότου διατυπωθεί μία εκτίμηση, μπορεί να γίνει μια ρύθμιση με υπολογισμό των τμημάτων που αγνοήθηκαν. Για παράδειγμα, 50,48+35,13+705,5+90,89 υπολογίζεται το άθροισμα από τα ακέραια μέρη (εμπρόσθιο άκρο) 50+35+705+90 = 880, μετά μπορεί να γίνει μια ρύθμιση αθροίζοντας τα δεκαδικά μέρη 0,48+0,13+0,5+0,89 είναι περίπου 2 και έτσι έχουμε συνολικά 880+2 περίπου 882.

Στρατηγικές στην υπολογιστική εκτίμηση Συσσώρευση (clustering) ή Μέσος όρος (averaging): Αυτή η ειδική στρατηγική εφαρμόζεται στην πρόσθεση πολλών αριθμών και όταν οι αριθμοί αυτοί βρίσκονται γύρω από μία ειδική τιμή. Για παράδειγμα, το 23+18+19+22 μπορεί να υπολογιστεί ως 4x20=80). 4. Στρατηγική συμβατών αριθμών (Compatible numbers strategy): Αυτή η στρατηγική περιλαμβάνει την επιλογή των αριθμών που καθιστούν τον υπολογισμό εύκολο και δίνουν μια καλή εκτίμηση του αρχικού προβλήματος. Για παράδειγμα, στο άθροισμα: 35+46+65+71+60+38, το 35+71 είναι περίπου 100, το 46+60 είναι περίπου 100 και το 65+38 είναι περίπου 100. Το άθροισμα λοιπόν είναι περίπου 300. Αυτά τα ζεύγη των αριθμών είναι “συμβατά”.

Στρατηγικές στην υπολογιστική εκτίμηση 5. Στρατηγική ειδικών αριθμών (special numbers strategy): Σε πολλές περιπτώσεις οι μαθητές εκπαιδεύονται να ξεχωρίζουν τους αριθμούς που είναι κοντά σε ειδικές τιμές. Αυτό συμβαίνει με τα κλάσματα, όπου οι ειδικές τιμές είναι 0, 1/2 και 1. Για παράδειγμα, στο άθροισμα ¾ +1/25 + 7/13 το 3/4 μπορεί να θεωρηθεί περίπου 1, το 1/25 περίπου 0 και το 7/13 περίπου 1/2. Άρα το άθροισμα είναι περίπου 1,5.

Αποτελέσματα ερευνών στην υπολογιστική εκτίμηση Οι γνώσεις υποψηφίων δασκάλων για την υπολογιστική εκτίμηση Σε μια έρευνα των Lemonidis and Kaimakami (2013) εξετάστηκαν 50 υποψήφιοι δάσκαλοι στο τέλος των σπουδών τους, με στόχο να διερευνηθούν οι γνώσεις τους στους κατ’ εκτίμηση υπολογισμούς. Η εξέτασή τους έγινε με προσωπική συνέντευξη και χρονομετρήθηκε ο χρόνος απάντησης στις ερωτήσεις.

Αποτελέσματα ερευνών στην υπολογιστική εκτίμηση

Βιβλία για νοερούς υπολογισμούς και εκτιμήσεις Χ. Λεμονίδης (2013). Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής. Νοεροί υπολογισμοί. Λογαρέζω με το τσιμίδι μ’. Εκδόσεις Ζυγός. Θεσσαλονίκη, σελ. 440. Lemonidis, Ch. (2015). Mental Computation and Estimation: Implications for mathematics education research, teaching and learning. Routledge. P.244.